高三解题—想得好才能做得好.doc

1 高三解题高三解题 想得好才能做得好想得好才能做得好 张志超 江苏省南京市第五中学 邮编 210004 为了凸显高考的选拔功能 让不同层次的考生在考试中各尽其能 数学试卷在中档题的 设置中 大都具有 一题多解 的特点 如果考生选择了好的解法 可以让你 简洁 易 解 如果选择了不好的解法 可以让你 繁琐 易错 笔者认为 解法的选择 是考生 数学能力差异的反映 最终将在考试成绩上得到显现 因此 在高三数学复习时 教师要引 导学生从数学知识整体与方法上全面去认识解题 力求从 一题多解 中学会辨析好与不 好的解法 把好方法的选择与解题落实在复习之中 用想得好去做得好 以下笔者以近年 来的一些高考真题为样题 谈谈对该问题的认识 1 2012 年江苏卷年江苏卷 11 设为锐角 若 则的值为 4 cos 65 sin 2 12 1 1 想法想法 从结论考虑 要求的值 可以先求出的值 其次求出sin 2 12 sin cos 的值 最后再利用及和角公式求出sin2 cos2 6262 sin cos 124124 值 sin 2 12 详解 详解 因为为锐角 得 4 cos 0 65 3 sin 65 所以 3 34 sinsin sin coscos sin 66666610 4 33 coscos cos cossin sin 66666610 2 3 34 4 33 247 3 4 33 724 3 sin22 cos221 1005010050 247 362724 36217 2 sin 2 sin2 coscos2 sin 12121250450450 反思 反思 从结论考虑 执果索因 思路正确但太死板 连同计算 6262 sin cos 124124 求出结果共需要 7 个步骤 费时费工 如果一步出错 满盘皆输 隶属不好的解法 不提倡用此法 求解 1 2想法想法 从结构考虑 那么2 2 2 123464 2 sin 2 sin 2 sin2 cos2 1264266 2 所以只要由条件 利用二倍角公式求出即可 4 cos 65 sin2 cos2 66 详解 详解 因为为锐角 得 4 cos 0 65 3 sin 65 所以 2 247 sin2 2sin cos2 2 1 666256625 coccoc 那么 217 2 sin 2 sin 2 sin2 cos2 126426650 故 17 2 sin 2 1250 反思反思 应用整体化的思想方法 从结构考虑 利用代数式的恒等变形 将需要求的 等价变形为与已知条件有关的 从思维的层面上看 这个想法优于想法 1 2 12 2 64 计算步骤也只要 4 步 而且每步计算都是整体化的 难度明显小于详解 1 隶属较好的解法 但是 的恒等变形不易想到 需要平时加强训练 2 2 2 123464 1 3 想法想法 从整体考虑 用换元法 令 得 将原题等 6 sin 2 sin 2 124 价于 设为锐角 若 则 显然变形后的习题 其难度 4 cos 5 sin 2 4 远远小于原题 详解 详解 因为为锐角 令 得为锐角 4 cos 65 6 所以 2 43247 cos sin sin22sincos cos22cos1 6552525 故 217 2 sin 2 sin 2 sin2cos2 124250 反思 反思 应用换元法 本题抓住了条件与结论中 都含有共同的元 引入新元等价建立 了条件与结论的新关系 使得问题变得简单 易解 应用此法不需多想与的2 12 6 关系 回避了的变形难点 只要换元 计算正确2 2 2 123464 即可 隶属好方法 最值得提倡 2 2 20102010 年全国卷年全国卷 1 1 文数文数 1111 已知圆的半径为 1 PA PB 为该圆的两条切线 A B 为两切点 那么的最小值OPA PB 为 A B C D 42 32 42 2 32 2 2 12 1想法想法 用函数方法 选择一个变量 PA x 建立关于 x 的函数 y 再求 y 的PA PB 3 最小值即可 详解详解 如图所示 设 PA PB APO 则x 0 x APB PO 2 1 sin 1x 2 2 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 令 则 42 2 1 xx x PA PBy 42 2 1 xx y x 0 x 怎样求 的最小值呢 42 2 1 xx y x 0 x 2 1 1 判别式法判别式法 由 得 由是正实数 所以 42 2 1 xx y x 42 1 0 xy xy 2 x 解得或 2 1 4 1 0yy 2 610yy 32 2y 32 2y 又因为是正实数 所以解得故 此时 2 x 10 0 y y 10y min 32 2PA PB 此题选 C 21x 2 1 2 均值不等式法 均值不等式法 因为 所以 2 10 x 42222 2 222 1 3 1 22 1 32 23 111 xxxx yx xxx 当且仅当取 故 此题选 C 21x min 32 2PA PB 也可以用换元法 令 得 2 1 1 xt t 2 322 32 23 tt yt tt 2 1 3 导数法 导数法 令 求解很困难 此法不可取 32242 22 42 1 2 1 xx xxxx y x 0y 反思 反思 想法 1 是解决最值问题的一般性解法 其难点在于变量 x 的选择 尤其是怎样用 x 去表示 结合图形 利用向量数量积的几何意义 可突破难点 在建立函数cos2 后 怎样求其最小值 可以看出又多种选择 最好的为将其变形后 用均值不 42 2 1 xx y x P A B O 4 等式求解 最不能选择的是导数法 2 2想法想法 用函数方法 选择一个变量 建立关于的函 0APB PA PB 数 y 再求 y 的最小值即可 详解详解 如图设 得2 0 2 APB 1 tan PAPB 2 1 cos2 cos2 tan PA PBPAPB 22 2 2 22 1 sin1 2sin cos 1 2sin sinsin 换元 得 2 sin 01xx 11 21 232 23 xx PA PBx xx 故 此题选 C min 32 2PA PB 反思反思 选择了角为变量 建立 y 关于的三角函数 最后利用均值不等式求解 由于运 算过程用到一些三角关系式 从结构上讲比较简单 是好方法 2 3想法想法 建系用坐标法将用坐标表示 再利用坐标的限制条件求解 PA PB 详解详解 以圆心为原点 P 点在 x 正半轴上 建立直角坐标系系 得圆的方程为 设 其中 22 1xy 11110 0 A x yB xyP x 0 1x 因为 所以 AOPA 22 11101110110 001A x yxxyxx xyx x 222222222 11001101100 2 0 2 2212332 23PA PBxx xxyxxxxxx x 当且仅当时 取 故 此题选 C 24 00 2 2xx min 32 2PA PB 反思反思 坐标法是解决向量问题常用的方法 建系将向量坐标化 再利用向量的坐标运算 可将问题简化 隶属好方法 此题难点在利用 找到的关系 AOPA 10 1x x 3 2011 年广东理卷年广东理卷 11 等差数列 n a 前 9 项的和等于前 4 项的和 若 14 1 0 k aaa 则 k 3 1想法想法 由 可解得 d 再利用 求出 k 941 1SS a n a 4 0 k aa 222 10110111001 2PA PBxxyxxyxx xxy P A B O 5 详解详解 设公差为设公差为 d 由得 由 得 941 1SS a 117 666 n dan 4 0 k aa 4 1 2 k aa 171 10 662 kk 反思 按照要求 由因到果 计算不繁琐 这是常用解法 只是算法步骤较多反思 按照要求 由因到果 计算不繁琐 这是常用解法 只是算法步骤较多 3 2想法想法 由可得 得 因为 所 94 SS 56789 0aaaaa 104 0aa 4 0 k aa 以 k 10 详解详解 如想法 3 2 反思反思 从整体考虑 抓住的条件 利用等差数列中若 则 94 SS ijkm 的性质 得到 比较得 k 10 想法 3 2 优于 3 1 其 ijkm aaaa 104 0aa 4 0 k aa 关键在处理等差 等比数列问题时 应用了整体化的思想方法 简化了运算 4 20102010 年全国理年全国理 1616 已知是椭圆的一个焦点 是短轴的一个端点 线段的延FCBBF 长线交于点 且 则的离心率为 CDBF2FD uu ruur C 4 1想法 想法 因为是焦点 是端点 所以由 可以将 D 点坐标用椭圆基本量FBBF2FD uu ruur 与的关系表示 再将 D 点坐标代人椭圆方程 即可求得 bc 详解详解 设椭圆方程为第一标准形式 设 F 分 BD 所成的比为 22 22 1 xy ab 22 D xy 2 代入 22 22 3022333 0 122212222 c ccc ybxbybb xxxc yy 22 22 91 1 44 cb ab 3 3 e 反思反思 求离心率的常用方法是找椭圆基本量与的关系 本题利用坐标 方程求解 隶属为ac 一般性的解法 需要熟练掌握 4 2想法想法 利用几何性质 第二定义 分别将 BF 与 FD 的长用椭圆基本量与表示 再利ac 用 找到与的关系 即可求得 2 BFFD ac 详解详解 如图 22 BFbca 作轴于点 D1 则由 得 1 DDy BF2FD uu ruur 所以 1 2 3 OFBF DDBD 1 33 22 DDOFc 即 由椭圆的第二定义得 3 2 D c x 22 33 22 acc FDea ca xO y B F 1 D D 6 又由 得 2 BFFD 2 3 2 c aa a 3 3 e 反思 反思 利用几何性质可简化问题求解 平时要多留心几何解法 4 34 3想法想法 因为 BC 是过焦点 F 的弦 用椭圆极坐标 其中 分别求出 1cos ep e cos c e a 和 利用 可求得离心率 2 BFFD 详解详解 因为 1cos ep e cos c e a 所以 22 1cos11cos 1 ePePePeP BFDF eeee 因为 所以 解得 2 BFFD 2 2 1 2 1 BFe DFe 3 3 e 反思反思 用极坐标方法 其本质为圆锥曲线的统一定义 此法正是利