Bessel函数学习指导

6 2 Bessel 函数函数 一 一 Bessel 方程的解方程的解 Bessel 函数函数 1 Bessel 方程的级数解方程的级数解 第一类第一类 Bessel 函数函数 2 第二类第二类 Bessel 函数函数 Neumann 函数函数 3 第三类第三类 Bessel 函数函数 Hankel 函数函数 4 常用常用 Bessel 函数的级数表示函数的级数表示 二 二 Bessel 函数的基本性质函数的基本性质 1 与与 Bessel 函数有关的微分公式和递推关系函数有关的微分公式和递推关系 2 渐近性质渐近性质 3 Bessel 函数的零点函数的零点 三 生成函数与积分表示三 生成函数与积分表示 1 Bessel 函数的生成函数函数的生成函数 2 Bessel 函数的积分表示函数的积分表示 四 与四 与 Bessel 方程有关的本征问题方程有关的本征问题 1 方程的通解方程的通解 2 本征值和本征函数本征值和本征函数 3 本征函数的正交归一关系本征函数的正交归一关系 4 按本征函数的广义按本征函数的广义 Fourier 展开展开 五 可化为五 可化为 Bessel 方程的微分方程方程的微分方程 六 变型六 变型 或虚案量或虚案量 的的 Bessel 函数函数 七 例题 一 一 Bessel 方程的解方程的解 Bessel 函数函数 1 Bessel 方程的级数解方程的级数解 第一类第一类 Bessel 函数函数 1 Bessel 方程的级数解 阶 Bessel 方程 6 2 1 为方便起见将上列方程变形为 222 0 x yxxy xxy x x 0 为其正则奇点 设方程的解为 0 代入上列方程 归并同次幂系数 得 使 x 的同次幂系数为零 有 6 2 3 6 2 4 n 2 6 2 5 因为 0 从 6 2 3 得到指标方程指标方程 解得它的两个根为 设 令 由 6 2 4 式得 由 6 2 5 式得 到系数递推关系系数递推关系 n 2 6 2 6 所有的系数 n 2 当 n 为偶数时可由表示 当 n 奇数时 可由表示 因为 0 故所有的 k 0 1 2 而 因此 求得方程 6 1 1 式的一个解 2 第一类 Bessel 函数 取 则 6 2 7 此式称为阶 第一类 Bessel 贝塞尔函数 返回页首返回页首 3 解的讨论 1 非负整数 方程有两个 Frobenius 级数解 因为 非负整数 令 同理 可得方程的另一个线性无关的解 6 2 8 因为不是整数 x 0 是支点 规定 argx 当时 0 由于方程的另 一奇点是 x 因此 级数的收敛范围是 0 x 级数的收敛范围是 0 x 方程 6 2 1 的通解为 0 x 6 2 9 2 即为半奇数 方程有两个 Frobenius 级数解 取 重复 1 的步骤 可以求得一个解为 取 系数递推关系 6 2 5 式 为 当 n 2m 1 则有 因为 故 可以是任意常数 也可以为零 这样 当 n 为奇数 时 系数 bn 为零 当 n 为偶数时 若若 总之 根据递推式 所有的 bn 均可由 b0 表示 因而 可以求得第二个 Frobenius 级数解 6 2 10 3 即 非负整数时 只有一个 Frobenius 级数解 这时 6 2 11 可见与线性相关 返回页首返回页首 2 第二类第二类 Bessel 函数函数 Neumann 函数函数 当 m 时 求出与 Jm x 线性无关的另一特解 1 利用 Abel 公式 5 1 22 式 2 直接令第二个解形为 5 2 24 式代入方程求解 3 物理学家用另外的方法求第二个解 在 6 2 9 中 把任意常数 分别取为 可得方程 6 2 1 式的一个特解 6 2 12 它称为阶第二类 Bessel 函数或阶 Neumann 函数 不难证明 Wronski 行列式 c 为任意常数 无论是否为整数 与都线性无关 当 0 1 时 由于 6 2 11 式原因 使得成为不定式 把整数阶的 Neumam 函数定义为 6 2 13 可以证明这个极限存在 而且是方程 6 2 1 式的解 这样 无论是否整数 方程 6 2 1 式的通解都可表示成 0 6 2 14 3 第三类第三类 Bessel 函数函数 Hankel 函数函数 在实际应用中 还引入第三类 Bessel 函数 或称 Hankel 函数 定义为 6 2 15 利用 Hankel 函数 方程 6 2 1 式的通解又可表示为 6 2 16 4 常用常用 Bessel 函数的级数表示函数的级数表示 数学物理中常遇到 Bessel 函数有 及半奇数阶 Bessel 函数 其中 的显式分别为 6 2 17 6 2 18 6 2 19 在 例 5 1 3 中我们已经得到阶 Bessel 函数的表示式 由 6 2 7 式 令 利用 函数性质 同 样可以得到 6 2 20 利用 Neumann 函数和 Hankel 函数的定义 可以得出 不难看出 等在 x 0 处收敛 而 N0 x N1 2 x N 1 2 x J 1 2 x 等在 x 0 处发散 返回页首返回页首 二 二 Bessel 函数的基本性质函数的基本性质 1 与与 Bessel 函数有关的微分公式和递推关系函数有关的微分公式和递推关系 1 与 与 Bessel 函数有关的微分公式函数有关的微分公式 6 2 21 6 2 22 利用 6 2 20 式 得到一般的半奇数贝塞尔函数的初等函数表示式 6 2 23 6 2 24 2 Bessel 函数的递推关系式函数的递推关系式 求出 6 2 21 和 6 2 22 左边的导数并化简 得到 6 2 25 6 2 26 将上两式相加减 又可分别得到 6 2 27 6 2 28 以上两式称为 Bessel 函数的递推关系式 函数的递推关系式 在 6 2 22 式中 令 0 又可得到 6 2 29 3 柱函数 柱函数 公式 6 2 21 6 2 22 和 6 2 27 6 2 28 对 Neumann 函数 Hankel 函数 也适用 通常把任意一个满足这些递推关系的函数称为柱函数柱函数 注意 柱函数必满足 Bessel 方程 但满足 Bessel 方程的解不一定是柱函数 都是柱函数 返回页首返回页首 2 渐近性质渐近性质 图图 1 图图 2 当 0 时 1 在 x 0 的附近 略去高阶无穷小 可得 6 2 30 6 2 31 在 x 0 点 6 2 32 即第一类 Bessel 函数是有限的 而 Neumann 函数 是发散的 图 6 4 Hankel 函数与 Neumann 函数 有同样的奇异性 2 x 时 的渐近行为将类似于和 实际上有 详见参考书 目 12 13 7 6 2 33 6 2 34 显然 若要求方程 6 2 1 在 0 上的有限解 应在解式 6 2 20 中取 C2 0 3 Bessel 函数的零点函数的零点 Bessel 方程的本征问题与 Bessel 函数的零点有密切关系 从图 6 5 简要叙述整数阶 Bessel 函数零点的性质 从 6 2 7 式容易看出 6 2 35 因此 只要研究 x 0 时零点的性质 由图 6 5 可以看出 1 有无穷多个实数零点 而且在数轴上关于原点对称地分布 故以后只须研究的无穷多 个正零点 2 与 的零点此相间 即的任意两个相邻零点之间必存在一个而且仅存在一个 的零点 3 以 表示的第 k 个正零点 在 k 1 时由 6 2 33 式可得 4 除 x 0 外 的零点都是一阶的 m 0 时 J0 0 1 x 0 不是零点 m 0 时 x 0 为的 m 阶零点 通常 将所有不等于零的零点从 1 开始编号 称为第一个零点 第二个零点 第 k 个零 点 将等于零的零点规定为第零个零点 即 m 0 时 有第零个零点 因为 J0 0 0 J0 x 无第零个零点 Bessel 函数的零点值可以查表求出 返回页首返回页首 例例 6 2 1 计算不定积分 4 1 x Jx dx 解 422 12 d Ix Jx dxxx Jx dx dx 43 22 2 x Jxx Jx dx 43 23 2 x Jxx Jxc 例例 6 2 2 计算不定积分 3 0 x Jd 解 由递推式 6 2 27 式 并利用 6 2 29 式 可得 31202 2 2 JxJxJxJxJx 于是有 302 00 2 xx IJdJJd 0202 0 2 2 1 x JJJxJx 返回页首返回页首 三 生成函数与积分表示三 生成函数与积分表示 1 Bessel 函数的生成函数函数的生成函数 可以证明 0 x 6 2 36 函数称为 Bessel 函数的生成函数 把 x 看作参数 仿照 例 3 4 5 的作法 可以证明 6 2 36 式 从 6 2 36 式可以得出许多重要的结论 1 6 2 37 通常称 6 2 37 式为加法公式 2 6 2 38 只要在 6 2 36 式中 令并注意到便可得出 6 2 38 式 根据 6 2 38 式 使两边虚实部相等 并利用 6 2 11 式 又可得到 6 2 39 6 2 40 3 6 2 41 在 6 2 36 式中 令即可 返回页首返回页首 2 Bessel 函数的积分表示函数的积分表示 6 2 39 式和 6 2 40 式可以看成是函数 cos xsin 和 sin xsin 的 ourier 展开 和 为 其展开系数 6 2 42 6 2 43 类似地 可以把 6 2 38 式看成是函数 exp ixsin 展开为复数形式的 Fourier 级数 为 Fourier 系数 因此有 6 2 44 根据 6 2 36 式和 Laurent 展开的系数公式 3 4 2 可以把 Bessel 函数表示为围道积分的形式 即 6 2 45 其中 c 是包围 z 0 的任一闭合曲线 如果把 c 取作以 z 0 为圆心的单位圆 即 同样也可以得到 6 2 44 式 返回页首返回页首 四 与四 与 Bessel 方程有关的本征问题方程有关的本征问题 在数学物理问题中经常需要解下列本征问题 0 r a 6 2 46 6 2 47 式中 为待定的参数 m 常为非负整数 0 1 是不同时为零的实数 6 2 48 把它与标准的 S L 型方程 5 4 1 相比较 不难看出 k r r 在自变量区间的端点 r 0 为零 故在该点只能附 加自然边界条件 R 0 6 2 49 方程 6 2 46 和条件 6 2 47 6 2 49 构成 S L 问题 1 方程的通解方程的通解 在 S L 问题中 是非负的 1 若 0 方程 6 2 46 变为 Euler 型方程 其通解为 m0 d1 d2为任意常数 m 0 e1 e2 为任意常数 6 2 50 2 若 0 令 方程 6 2 46 化为 m 阶 Bessel 方型 因此方程的通解为 6 2 51 2 本征值和本征函数本征值和本征函数 根据自然边界条件 6 2 49 要想得到有限解必须取 d2 0 e2 0 c2 0 6 2 52 对 r a 的边界条件分别三种情况考虑 1 第一类边界条件 0 即 R a 0 6 2 53 1 0 时 m 0 R a d1 am 0 得 d1 0 m 0 R a e1 0 无论 m 0 或 m 0 当 0 只有零解 换句话说 在第一类边界条件下 要想得到非零解 0 是不可能的 2 0 要想得到非零解 只有 即 因此 第一类边界条件下的本征值与本征函数为 i 1 2 6 2 54 2 第二类边界条件 0 即 6 2 55 1 0 时 m 0 得 d1 0 m 0 e1 仍可任意 在第二类边界条件下 0 m 0 时 有任意常数解 m 0 只有零解 2 0 m 0 为得到非零解 即求 m 阶 Bessel 函数的导数的零点 或 m 阶 Bessel 函数极值点 根据递推式 6 2 27 函数与 的交点就是的零点 这样的零点有无穷多个 因此 i 1 2 m 0 时 为得到非零解 因此 i 1 2 考虑到 0 J0 0 1 可将 0 m 0 时的任意常数解作为此处 0 解的特例 因此 在第二类边界条件下的本征值与本征函数 m 0 i 1 2 6 2 56 m 0 i 1 2 6 2 57 3 第三类边界条件 都不为零 0 mm kJkaJka 4 结论 综上所述 本征问题 6 2 46 6 2 47 和 6 2 49 式的本征值为 6 2 59 相应的本征函数为 6 2 60 在第一类边界条件下 由的零点确定 在第二类边界条件下 由的零点确定 在第三类边界条件下 由超越方程 6 2 58 式的根确定 返回页首返回页首 3 本征函数的正交归一关系本征函数的正交归一关系 根据 S L 型问题的性质 3 对应于不同本征值 与 的本征函数 与 是正交的 考虑到 Bessel 方程化 S L 型时 r r 其正交关系为 6 2 61 注意 这里不同的本征函数由与 标志 而 m 是相同的 本征函数的模方 得 6 2 62 注意注意 上式在不同的边界条件下有不同的结果 1 在第一类边界条件下 6 2 63 这里是 m 1 阶 Bessel 函数在 m 阶 Bessel 函数的零点的值 2 在第二类边界条件下 当 m 0 时 6 2 64 注意注意 这里是的零点 当 m 0 时 6 2 65 3 在第三类边界条件下 0 imimi k Jk aJk a 故有 22 222 22 2 m iimi i am NkJk a ka 6 2 66 这里 i k 是超越方程 6 2 58 式的根 4 按本征函数的广义按本征函数的广义 Fourier 展开展开 根据 S L 问题的性质 4 定义在 0 a 中的任意分段光滑的函数 f r 可按 Bessel 函数展开 即有 6 2 67 6 2 68 注意注意 由于展开式与阶数 m 有关 在不同的边界条件有不同的表示式 必须弄清函数 f x 是在什么边界 条件下按哪阶 Bessel 函数的展开 在第二类边界条件 当 m 0 时 有本征值 0 相应的本征函数为常数 求对和 i 从 0 开始 6 2 69 由 6 2 65 式确定 在所有其它情况下 对 i 求和从 1 开始 返回页首返回页首 例例 6 2 3 在第一类边界条件下 把定义在 0 1 上的函数 f x A 常数 按零阶 Bessel 函数展开 解 由 6 2 67 式和 6 2 68 式 有 0 0 0 0 2 1 1 0 2 0 11 1 1 2 22 nn n a nn n nn nn nnn f xAc Jx cAJx xdx N NJ AA cJx xdx JJ 因此 所求的级数为 0 1 1 2 n n nn A AJx J 例例 6 2 4 在第二类边界条件下 把定义在 0 1 上的函数 f r Ar2 按零阶 Bessel 函数展开 解 在第二类边界条件下 0 1 0 1 ii ma 2 0 0 1 2 0 0 0 1 0 2 00 0 0 0 2 1 2 00 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 1 0 2 22 11 0 22 14 ii i ii i iii ii iii f rArc Jk r cAr Jk r rdr N A iNcAr rdr iNJJ A cAr Jr rdr NJ 可得 2 1 0 1 2 1 1 0 4 2 i i ii AA f rArJr J 返回页首返回页首 五 可化为五 可化为 Bessel 方程的微分方程方程的微分方程 为便于应用 我