2011数学建模论文

2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：城市表层土壤重金属污染分析摘要 关键词：相关分析 主成份分析1.问题重述按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（010 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？2.问题分析2.1 2.1 土壤重金属含量水平该城区土壤八种重金属元素平均含量均高于背景值，具体数据见表格1，说明这八种重金属元素都各自出现了一定程度的累积，其中Hg最为严重。表格 1 重金属平均含量及其与背景值的倍数As (g/g)Cd (ng/g)Cr (g/g)Cu (g/g)Hg (ng/g)Ni (g/g)Pb (g/g)Zn (g/g)平均值5.9295.252.657.3267.617.364.6197.1背景值3.61303113.23512.33169倍数1.642.271.704.347.651.412.082.863.模型假设1.假设所给重金属含量样本数据真实可靠2.4.变量说明及名词解释5.模型的建立与求解5.1 问题一5.1.1 重金属元素空间分布本文的采样数据是以1km为步长进行格网采样的，受到采样数据的限制，不适于对采样数据结合具体的研究区域进行分类研究；采用简单的以点代面的方式对土壤重金属含量进行空间展示。根据土壤重金属含量有效数据，采用分辨率为1km的研究区栅格格网作为底图，将每个采样点的土壤重金属含量数据赋给相应的栅格单元，得到重金属含量的空间分布图。空间分布图直观地反映出整个研究区域的土壤重金属的空间分布情况，同时有利于对土壤重金属含量的空间分布特征和变异情况进行具体分析。为了便于分析8种主要重金属元素在该城区的空间分布，我们分别作了8重金属元素其他等值图见附录重金属Cr含量空问分布特征重金属cr的空间分布特征不明显高值区域的土地利用方式主要为耕地，说明城市生活、大气降尘对重金属Cr的含量影响不大，主要是长期的施肥、灌溉等因素导致了Cr含量较高。 重金属Cu含量空间分布特征重金属Cu的分析，主要为耕地和林地，说明长期的的施肥、灌溉对Cu含量产生了一定的影响。此外，Cr、Cu利Ni之间的空问结构相似性，导致了它们的空间分布也呈现一定的相似性，说明它们可能来源于同意污染源，受共同土壤矿物的影响。重金属Ni含量空间分布特征 Cr和Ni相关性很高，主要原因可能是通常土壤矿物中Cr与Ni是相伴出现的，土壤Cr、Ni含量受共同的土壤矿物的影响，因此二者的空间结构和分布具有一定的相似性。重金属Pb含量空间分布特征由Pb的空间变异结构分析得知，Pb具有强烈的空间自相关，结构性因素起主要作用。说明Pb的含量主要是受土壤母质的影想，人类活动的因素对其影响不大。重金属Zn含量空间分布特征结合Zn的空间变异结构分析结果，Zn具有强烈的相关性，高值区域的土地利用类型主要为耕地和林地，所以这些地方Zn的含量高主要是因为土壤母质引起的，和人类活动的因素不大。重金属As含量空间分布特征高值区域呈现一定的扩散趋势，这是因为土壤中As多以可溶性状态存在，容易迁移。 重金属Cd含量空间分布特征这些地方的土地利用方式主要为林地、耕地、园地和居比生活地，植物对Cd的富集能力以及植物在土壤中的分解是Cd含量稍高的重要因素，另外土壤腐殖质对cd有富集作用。重金属Hg含量空间分布特征说明Hg含量高值区域主要是由人类活动造成的，此外Hg进入土壤后95以上能迅速被土壤吸持或固定，因此Hg容易在土壤中积累。5.1.2 污染程度分析总指标AsCdCrCuHgNiPbZn功能区13.1572681.021.561.082.314.090.861.392.02功能区24.9669611.061.641.142.976.650.891.502.25功能区33.0716950.991.380.841.674.060.811.211.40功能区44.4189921.051.591.092.705.890.871.442.08功能区53.0782471.041.551.072.263.980.861.371.985.2 问题二5.2.1 相关分析及其检验采用Pearson相关分析对城区8种重金属含量数据进行了相关分析，当两种重金属含量正相关，且相关性特别强，表明这两种重金属很可能来自同种污染源，这样就对重金属来源给出了解释。相关分析的结果见表X，从相关性分析结果可以发现，土壤中Cr、Ni、Cu显著正相关，且相关性较强；其次为As和Hg，Cd和Pb，Cu和Pb，Pb和Zn间也达到了显著的正相关。表格 2 重金属含量相关分析结果AsCdCrCuHgNiPbZnAs1.000Cd0.2551.000Cr0.1890.3521.000Cu0.1600.3970.5321.000Hg0.0640.2650.1030.4171.000Ni0.3170.3290.7160.4950.1031.000Pb0.2900.6600.3830.5200.2980.3071.000Zn0.2470.4310.4240.3870.1960.4360.4941.000对此相关分析的检验采用KMO和Bartlett的检验，度量值为0.778，说明此相关分析可以使用，检验的其他参数见表X。表格 3 对此次相关分析的检验KMO 和 Bartlett 的检验取样足够度的 Kaiser-Meyer-Olkin 度量0.778Bartlett 的球形度检验近似卡方905.711df28Sig.0.0005.2.2 主成份分析 主成份提取采用主成份分析来解析重金属污染源，分析结果见表X、表X。对城区319组数据中8种重金属进行主成份分析，提取的5个因子解释了总方差的87.756%，其中因子1解释了总方差的44.500%，因子2解释了总方差的14.377%，因子3解释了总方差的12.063%，因子4解释了总方差的9.596%，因子5解释了总方差的7.220%。表格 4 特征值和累积贡献率因子特征值占总变量的百分率(%)累积贡献率(%)13.56044.50044.50021.15014.37758.87730.96512.06370.94140.7689.59680.53750.5787.22087.756/ii 累计百分比达到80%85%以上的值对应的主成分在Total Variance Explained表可以看出，前三个主成分对应的值累计百分比达到89.584%，这暗示只要选取三个主成分，信息量就够了。/downloads128/doc/541670/SPSS1.doc利用SPSS进行主成分分析 文章题目2011-9-10 16：56访问/表格 5成份得分系数矩阵元素成份12345As-0.071-0.0750.0261.020-0.089Cd-0.1130.689-0.180-0.059-0.179Cr0.531-0.040-0.133-0.133-0.107Cu0.3080.0600.342-0.124-0.270Hg-0.124-0.1840.8990.0590.048Ni0.504-0.204-0.0690.112-0.006Pb-0.1200.580-0.062-0.035-0.060Zn-0.144-0.161-0.020-0.0731.176根据上述分析可得，主成份1为Cr、Ni和Cu的组合，这说明这三种重金属污染物可能是同一来源或相似来源；主成份2为Cd和Pb，表明两者可能有相似的来源；主成份3为Hg，主成份4为As，主成份5为Zn。 主成份分析的真实可信主成份2、3、4、5的方差累积贡献达到43.256%，几乎接近第一主成份的贡献值44.500%，解释了Cd、Pb、Hg、As和Zn为重金属主要污染元素，和题目相符，从而验证了主成份分析的真实可靠性。5.2.3 问题二结论5.3 问题三5.3.1 变异函数变异函数，又称变差函数、变异矩，是地统计分析所特有的基本工具。在一维条件下变异函数定义为，当空间点x在一维x轴上变化时，区域化变量Z(x)在点x和x+h处的值Z(x)与Z(x+h)差的方差的一半为区域化变量Z(x)在x轴方向上的变异函数，记为(h)，即 在二阶平稳假设条件下，对任意的h有，因此，公式可以改写为 。因此变异函数依赖于两个自变量x和h，当变异函数仅仅依赖于距离h而与位置x无关时，可改写成，即:。设是系统某属性Z在空间位置x处的值，为一区域化随机变量，并满足二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，和分别是区域化变量 在空间位置和处的实测值i=1,2,N(h)，那么，变异函数的离散计算公式为。这样对不同的空间分隔距离h，计算出相应的和值。如果分别以h为横坐标，或为纵坐标，画出协方差函数和变异函数曲线图，就可以直接展示区域化变量Z(x)的空间变异特点。可见，变异函数能同时描述区域化变量的随机性和结构性，从而在数学上对区域化变量进行严格分析，是空间变异规律分析和空间结构分析的有效工具。地统计学将变异函数理论模型分为3大类：第1类是有基台值模型，包括球状模型、指数模型、高斯模型、线性有基台值模型和纯块金效应模型；第2类是无基台值模型，包括幂函数模型、线性无基台值模型、抛物线模型；第3类是孔穴效应模型。类型模型备注纯块金效应模型式中：c00，为先验方差。该模型相当于区域化变量为随机分布，样本点间的协方差函数对于所有距离h均等于0，变量的空间相关不存在。 球状模型式中：c0为块金（效应）常数;c为拱高;c0+c为基台值;a为变程。当c0=0，c=1时，称为标准球状模型。球状模型是地统计分析中应用最广泛的理论模型，许多区域化变量的理论模型都可以用该模型去拟合。指数模型式中：c0和c意义与前相同，但a不是变程。当h=3时， ，即 ，从而指数模型的变程 约为。当c0=0，c=1时，称为标准指数模型。高斯模型式中：c0和c意义与前相同，a也不是变程。当 时， ，即，因此高斯模型的变程 约为 。当 时，称为标准高斯函数模型。对数模型显然，当 ，这与变异函数的性质 不符 。因此，对数模型不能描述点支撑上的区域化变量的结构。幂函数模型式中：为幂指数。当变化时，这种模型可以反映在原点附近的各种性状。但是必须小于2，若 ，则函数 就不再是一个条件非负定函数了，也就是说它已经不能成为变异函数了。 5.3.2 样本数据的正态化数据的非正态分布会使得半变异函数产生比例效用，进而造成实验半变异函数产生畸变，抬高基台值和块金值，增大估计误差；变异函数点的波动大，甚至会掩盖其固有的结构因此，我们将八种重金属元素浓度值序列分别正态化，正态化采Box-cox转换，转化公式为，其中x为被转换数据，y为转换后数据，为最优转换系数。当=0时，则为对数转换，正态分布检验采用SPSS 11.0完成，Box-cox转换过程运用统计软件Minitab 14实现，程序见附录。5.3.2 变异函数求解5.4 问题四6.模型的检验7.模型的评价8.参考文献9.附录表格 6 8种重金属浓度序列正态化后的序列AsCdCrCuHgNiPbZn1.82094.35391.63892.11022.41772.19931.48411.78861.60004.31621.64112.15172.22862.16761.48681.81931.44475.10881.57502.57082.27491.88041.55671.89301.68084.62951.62492.20162.55682.10441.47271.84131.65495.23281.67552.76352.54152.25701.60771.95752.26055.72761.69073.01862.56452.43351.64211.96811.92234.76411.72462.43812.29412.18691.54311.87241.97815.71131.79943.39842.70472.62601.63841.98011.77695.74611.71692.83702.71022.38761.60841.96661.90314.75681.68682.27232.16162.29591.48921.82571.60004.55241.64152.19692.41412.07341.48581.82791.94174.80831.63772.44612.34982.24321.54281.89451.57094.52391.70802.22532.27832.24601.53531.81281.37234.96831.79412.77772.20572.00021.58201.96371.54065.22121.72092.67792.36832.24601.59011.94092.10885.69761.72362.80832.37842.31051.64431.94981.62805.11861.71082.86432.32452.20541.58471.92881.82094.94521.67212.70542.38632.24041.55291.91531.77694.94071.76482.60352.22622.19621.57031.92761.88355.34011.83742.79442.33782.50971.62071.96971.54064.72971.66572.26312.26602.01401.56901.89451.99525.79661.84363.30722.28483.14111.61081.98671.95974.89871.77002.72922.21892.48951.57151.93391.11104.59011.65502.38042.31841.88041.54841.88121.29423.95411.60501.83451.75931.86851.45901.72931.62805.30511.72412.95142.33682.28071.57621.91611.51054.98171.63262.57132.36752.17411.54851.87971.20704.89451.60552.33702.10682.04461.54651.90312.57105.08501.69882.54352.59412.42621.56571.87662.45045.35771.72542.75652.52102.53891.59401.98382.04635.36341.68412.71862.36912.43531.60561.95071.16175.14611.73822.61242.28952.05301.53981.88401.65495.24171.67182.65822.36992.23761.55581.91331.54065.50141.70062.68992.44602.24321.58411.92321.37235.48041.72832.70792.40522.36901.57841.91841.16175.03691.75472.53902.35172.35401.57221.99721.54065.41741.71402.61202.37772.22321.58001.93061.33435.23391.66722.64902.24432.24881.57841.92601.33435.12431.68952.49112.44012.11551.58231.91281.68085.56241.69772.84962.43842.28331.59121.92712.37775.13951.72362.45752.60982.24881.55351.89191.77694.92331.70412.96702.23782.25421.57771.89011.60005.28691.70122.76512.31342.34521.58481.94761.40855.32321.69242.77502.29412.24601.57971.93361.44475.36361.69142.94492.35722.23761.57551.94491.51055.32511.63992.44052.11172.10821.54701.88121.33435.28631.67732.46922.08592.13001.54421.88951.54064.64421.65282.28902.15802.32471.51331.82731.40855.28751.80282.60052.55212.15421.56201.88531.75444.59901.65552.39582.33782.27291.51731.93071.51054.34471.64742.18862.31972.17081.49101.81701.44474.93571.63162.53802.21372.04031.56151.90871.44474.82531.67732.48672.12111.98611.55841.90921.25184.87001.59952.99372.13002.04881.54991.91301.20704.87681.64222.32982.13001.98611.54301.88521.05965.07141.67262.46122.34891.95161.58731.90011.25184.99621.64152.48062.01282.08921.53611.86771.25184.93781.60622.46302.25852.09301.59541.85821.00154.71751.64382.60591.98852.06541.50631.86141.11105.20351.62002.28372.02401.62991.52881.82821.44474.84891.66872.57772.16242.60681.57142.00211.29424.21101.56602.18041.96841.95311.53511.80841.00154.75121.60772.26861.90791.79301.53971.84570.94204.78781.63612.31212.16621.83751.52831.85481.05965.47721.66222.50611.94611.87211.53931.86641.11104.97191.64822.49561.92131.78461.58591.89291.11105.18201.65772.33582.03201.89201.53041.84801.62804.63941.63202.58382.10332.13741.48021.80481.20704.94411.61632.09661.93411.84451.53001.89391.37234.26231.61152.16281.86232.08761.47991.79911.05964.90151.55542.17551.92131.83051.54431.85641.84244.12371.66062.11582.16992.24291.46111.76951.20704.76591.59632.53221.92132.02731.54191.84201.20704.38461.61832.21721.92132.06091.49881.80471.16174.85291.62282.28921.97872.07901.54171.86300.94203.76591.49941.69131.73511.61961.42291.67071.88354.74111.64382.19562.11372.19311.50731.80690.55154.16711.44621.89811.49971.52671.44491.73230.87765.15421.61342.30472.08031.96421.54621.87811.20704.33881.67602.07322.00712.37071.49401.81281.62804.03261.61522.10262.00712.08331.45991.76892.07834.10131.66882.59402.14622.27031.49511.77171.65493.96511.60972.01722.02401.98091.44871.73232.78675.47061.65222.21891.94612.18241.55511.87941.25185.07221.61342.17641.87851.92961.53011.83031.00154.98821.61062.49701.87851.69931.50391.80630.64614.52501.48381.99531.93411.60901.49921.81951.72993.49331.62821.93191.78462.02251.44631.70821.00154.54291.56992.07911.70661.81541.51741.81961.60005.58861.63382.24982.07412.28201.57431.87071.60004.22211.64821.99951.67502.18241.47741.81601.77694.13171.65042.12972.01572.14541.48561.77291.33434.65801.57562.39442.60271.83051.49451.82031.40854.24451.60962.02771.84512.10931.48951.80451.57095.98451.63631.97431.84512.10481.46741.75901.70584.79701.63142.49921.94612.20361.52011.83021.37234.47251.61422.06561.94611.95311.48761.77311.05965.01951.60892.22221.90791.96961.53891.86761.00154.93921.62632.83811.89362.10931.53601.87431.33433.99601.52862.02412.22791.85201.45361.77951.79983.92481.64341.95221.96842.07461.45971.73541.60004.55821.60912.01641.73512.06981.51311.81330.80754.95541.54501.87241.63961.77681.53711.81281.00154.65901.54792.1333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