332　简单的线性规划问题

3 3 2简单的线性规划问题 不等式 1 了解线性规划的意义 了解线性约束条件 线性目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概念 2 掌握线性规划问题的图解法 会用图解法求线性目标函数的最大值 最小值 3 训练数形结合 化归等数学思想 培养和发展数学应用意识 基础梳理 1 线性约束条件 2 线性目标函数 3 线性规划问题 4 可行解 5 可行域 答案 1 由关于x y的一次不等式形成的约束条件2 由关于两个变量x y一次式形成的函数3 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题4 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解5 由所有可行解组成的集合叫可行域 6 最优解 有可行解组成的集合即不等式组所表示的平面区域 如上图阴影部分 是 易知 当x y 1时 目标函数z 2x y取最大值2 故是这个规划问题的 答案 6 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解练习1 线性规划问题线性约束条件线性目标函数可行解可行域最优解 答案 7 原点 1 2 练习2 原点 1 2 8 直线y 2x 1的斜率为 在y轴上的截距为 9 直线y kx b与y mx n平行的条件是 10 两直线y 2x 1与y x的交点坐标是 答案 8 2 19 k m b n10 1 1 自测自评 1 已知实数x y满足则目标函数z x 2y的最小值是 解析 画出满足不等式组的可行域如图 目标函数化为 y 画直线y x及其平行线 当此直线经过点A时 z的值最大 z的值最小 A点坐标为 3 6 所以 z的最小值为 3 2 6 9 答案 9 求线性目标函数的最值 已知实数x y满足不等式组 1 求w x 2y的最大值 2 求z x y的最小值 分析 由于所给的约束条件及目标函数均为关于x y的一次式 所以此问题是简单线性规划问题 使用图解法求解 解析 作出不等式组表示的平面区域 即可行域 如右图所示 1 将w x 2y变形为y x 得到斜率为 在y轴上截距为的一族随w变化的平行直线 作过原点的直线y x 由图可知 当平移此直线过点 0 2 时 直线在y轴上的截距最大 最大值为2 w x 2y的最大值为4 也可把 0 2 代入求得wmax 0 2 2 4 2 将z x y变形为y x z 得到斜率为1 在y轴上截距为 z的一族随z变化的平行直线 作过原点的直线y x 由图可知 当平移此直线过点 0 2 时 直线在y轴上的截距z最大 最大值为2 z最小 最小值为 2 z x y的最小值为 2 也可把 0 2 代入求得zmin 0 2 2 跟踪训练 1 设z 2x y 式中变量x y满足条件求z的最大值和最小值 解析 作出不等式组表示的平面区域 即可行域 如图所示 把z 2x y变形为y 2x z 得到斜率为 2 在y轴上的截距为z 随z变化的一族平行直线 由图可以看出 当直线z 2x y经过可行域上的点A时 截距z最大 经过点B时 截距z最小 求非线性目标函数的最值 解析 作出以上不等式组所表示的平面区域 即可行域 如图所示 设M x y N 3 0 则z kMN 其中点M在 ABC所包含的区域内 易求得kNA 1 kNB z 1或z 跟踪训练 解析 利用数形结合思想 把所求问题转化为动点P x y 与定点A 1 1 连线的斜率问题 画出题中不等式组所表示的可行域如图所示 目标函数W 表示阴影部分的点与定点A 1 1 的连线的斜率 由图可见点 1 1 与点 1 0 连线的斜率为最小值 最大值趋近于1 但永远达不到1 故 W 1 线性规划的应用题 某厂准备生产甲 乙两种适销产品 每件收入分别为3千元 2千元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B上加工一件甲产品所需工时分别为1时 2时 加工一件乙产品所需工时分别为2时 1时 A B两种设备每月有效使用台时数分别为400和500 如何安排生产可使收入最大 解析 设甲 乙两种产品的产量分别为x y件 约束条件是 目标函数是f 3x 2y 要求出适当的x y 使f 3x 2y取得最大值 如下图作出可行域 设3x 2y a a是参数 将它变形为y 这是斜率为 随a变化的一族直线 当直线与可行域相交且截距最大时 目标函数f取得最大值 由 因此 甲 乙两种产品的每月产品分别为200 100件时 可得最大收入800千元 跟踪训练 3 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 每件销售收入分别为3千元 2千元 甲 乙产品都需要在A B两种设备上加工 在每台A B上加工一件甲所需工时分别为1工时 2工时 加工一件乙所需工时分别为2工时 1工时 A B两种设备每月有效使用台时数为a 400 a 500 求生产收入最大值的范围 解析 设甲 乙两种产品的月产量分别为x y件 则约束条件是目标函数是z 3x 2y 由约束条件画出可行域 如上图所示 将z 3x 2y变形为y 这是斜率为 随z变化的一簇直线 是直线在y轴上的截距 当最大时z最大 当直线与可行域相交 即在满足约束条件时目标函数取得最大值 2 变量x y满足下列条件 则使得z 3x 2y的值最小的 x y 是 A 4 5 B 3 6 C 9 2 D 6 4 分析 本题考查直线线性规化的基础知识 作出直线包纳范围 画出可行域 求解 解析 画出如图可行域 将z 3x 2y平移到点M 3 6 有最小值 故选B 答案 B 解简单线性规划问题的基本步骤 1 画图 画出线性约束条件所表示的平面区