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二次函数的图像和性质 第二十四讲 1 若 m a n a 是抛物线上不同的两点 则抛物线的对称轴为 直线 2 抛物线与x轴两个交点之间的距离 3 系数a的作用 决定开口方向与开口大小以及函数最值情况 注意 a 越大 抛物线的张口越小 a 越小 抛物线的张口越大 a 相同的抛物线通过平移 或旋转 一定能重合 y 4 系数b的作用 和抛物线的对称轴有关 当ab 0时 对称轴在y轴左侧当ab 0时 对称轴在y轴右侧当b 0时 对称轴即为y轴 以上结论反之也成立 5 系数c的作用 和y轴交点的纵坐标 任何抛物线和y轴必有一个交点 0 c 当c 0时 交y轴于负半轴 当c 0时 交y轴于正半轴 当c 0时 图象必经过原点 x 6 二次函数的解析式有三种形式 一般式 顶点式 两根式 例1已知二次函数y ax2 bx c的图像如图所示 那么下列判断中不正确的有 A abc 0B b2 4ac 0C 2a b 0D 4a 2b c 0 1 1 x y o 二 典型例题举例 D 例2 1 若二次函数y x2 2 m 1 x 2m m2的图像经过原点 求m的值 2 若二次函数y x2 2 m 1 x 2m m2的图像关于y轴对称 求m的值 2m m2 0 m 2或m 0 3 二次函数y x a 2 x b 2 其中a b为常数 当y达到最小值时x的值为 4 直线x 2是抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴 当x1 0 x2 1 5 x3 3时 对应的y值依次是y1 y2 y3 则它们之间的大小关系是 例3 求满足下列条件的二次函数解析式 1 二次函数的图像与x轴交于点A 2 0 B 4 0 且图像过点C 1 6 2 二次函数当x 1时有最大值y 4 且x 0时y 0 3 二次函数的图像可由函数y ax2 1的图像向左平移2个单位得到 且过点M 1 3 4 图象在x轴上截得的线段长为4 图象的顶点坐标为P 3 2 5 已知抛物线C与抛物线y 2x2 4x 5关于x轴对称 求抛物线C的解析式 x y O 1 3 Y 2 x 1 2 3 1 3 y 2 x 1 2 3 思考 若把抛物线y 2x2 4x 5绕着顶点旋转1800 6 抛物线与x轴两交点的横坐标之和为 2 5 积为 6 且过点 0 6 A x1 0 B x2 0 x1 x2 2 5 x1x2 6 x1 x2是方程x2 2 5x 6 0的两根 所求的抛物线解析式是Y a x2 2 5x 6 7 抛物线的顶点是直线y 2x与y 2x 4的交点 且经过直线y 2x 4与y轴的交点 8 把抛物线y ax2 bx c向下平移2个单位 再向左平移6个当单位 所得的抛物线顶点为 3 1 且a b c 9 求原抛物线解析式 例4已知二次函数y x2 m 2 x 3满足下列条件 1 图象与x轴两个交点间的距离为 2 当x 1时 y随x增大而减小 求m的值 变式 已知抛物线y x2 m 2 x 3与X轴交于A B两点 与y轴交于点C 且同时满足下列条件 1 当x 2时 y随x的增大而增大 2 当x 1时 y随x的增大而减小 如果O是坐标原点 M是AB中点 问是否存在这样的m值 使 COM的面积等于2或6 若存在 请求出m的值 若不存在 请说明理由 例5 已知点A 1 1 在抛物线y k2 1 x2 2 k 2 x 1上 1 求抛物线的对称轴 2 若B点与A点关于抛物线的对称轴对称 问是否存在与抛物线只交于一点B的直线 如果存在 求符合条件的直线 如果不存在 说明理由 解 2 B点与A点关于抛物线的对称轴对称 B点坐标为 x 1 又B点在抛物线上 解得B点坐标为 K 3 y 8x2 10 x 1 当直线过点B 且与y轴平行时 满足条件 此时直线为 假设存在直线y mx n与抛物线只交于一点B 本节内容主要复习了二次函数的图象和性质 围绕解析式 图象 性质三方面展开 1 研究二次函数图象的关键是将函数式转换为顶点式 理解二次函数性质的关键是 充分理解图象的直观性 归纳到 三点 顶点 与坐标轴交点 一开口 2 用待定系数法求二次函数的解析式 三种表达形式在不同条件下 应选择计算量少的那一种形式 通常还用到抛物线截X轴所得线段长 面积等求法 小结 例6 已知二次函数y x2 ax a 2 1 证明 不论a取何值 抛物线y x2 ax a 2的顶点Q总在x轴下方 2 设抛物线y x2 ax a 2与y轴交于点C 如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点 并设另一交点为D 问 ACD能否是等边三角形 若能 请求出相应的二次函数解析式 若不能 请说明理由 3 在