34基本不等式

3 4基本不等式 思考 这会标中含有怎样的几何图形 思考 你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系 探究1 a b 问2 Rt ABF Rt BCG Rt CDH Rt ADE是全等三角形 它们的面积和是S 问1 在正方形ABCD中 设AF a BF b 则正方形的面积为S 问3 S与S 有什么样的关系 从图形中易得 s s 即 探究1 探究2 问题1 s S 有相等的情况吗 何时相等 图片说明 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形EFGH缩为一个点 这时有 形的角度 数的角度 当a b时a2 b2 2ab a b 2 0 结论 一般地 对于任意实数a b 我们有当且仅当a b时 等号成立 此不等式称为重要不等式 类比联想推理论证 特别的 如果也可写成 a 0 b 0 概念 基本不等式的几何解释 半弦CD不大于半径 时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 练习 已知三角形的面积等于50 两条直角边各为多少时 两条直角边的和最小 最小值是多少 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则 xy 100 篱笆的长为2 x y m 由 可得 2 x y 40 当且仅当x y时等号成立 此时x y 10 这个矩形的长 宽都为10m时 所用篱笆最短 最短篱笆是40m 设三角形的两条直角边为x y 解 则s xy 100 当且仅当x y 10时取等号 当这个直角三角形的直角边都时10的时候 两条直角边的和最小为20 例题1 2 一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 面积最大值是多少 练习 用20m长的铁丝折成一个面积最大的矩形 应当怎样折 解 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则 2 x y 36 即X y 18 81 当且仅当x y 9时取等号 当这个矩形的长 宽都是9m的时候面积最大 为81 解 设矩形的长为xm 宽为ym 则 2 x y 20 即x y 10 25 当且仅当x y 5时取等号 当这个矩形的长 宽都是5m的时候面积最大 为25 x x y y 3 一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 墙长18m 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积时多少 解 设菜园的长和宽分别为xm ym 则x 2y 30 x y 菜园的面积为s xy x2y 当且仅当 x 2y时取等号 此时x 15 y 解 x 4y 40 x 4y 400 xy 100 当且仅当x 4y时等号成立 此时 x 20 y 5 当x 20 y 5时 xy的最大值为100 分析 水池呈长方形 它的高时3m 底面的长与宽没有确定 如果地面的长和宽确定了 水池的总造价也就确定了 因此 应当考察底面的长与宽取什么值时水池的总造价最低 解 设底面的长为xm 宽为ym 水池的总造价为z元 根据题意 有 x y 3 Z 150 240000 720 x y 容积为4800 3xy 4800 即xy 1600 由基本不等式与不等式的性质 可得 z z 297600 当x y 即x y 40时 等号成立 所以 将水池的底面设计成长40m的正方形时总造价最低 最低总造价为297600元 练习 做一个体积为32 高为2m的长方体纸盒 底面的长与宽取什么 值时用纸最少 解 根据题意 有 Z 2 4x 4y 体积为32 2xy 32 即xy 16 由基本不等式与不等式的性质 可得 z 32 4 8 64 x y 2 设底面的长为xm 宽为ym 需用纸z 32 4 x y 8 当且仅当x y时 取等号 此时x y 4 当x y 4时 用纸最少为64 1 基本不等式 a b 基本不等式的变形 知识要点 当且仅当 时取 号 当且仅当a b时取 号 例1 1 已知并指出等号成立的条件 2 已知与2的大小关系 并说明理由 3 已知能得到什么结论 请说明理由 应用一 利用基本不等式判断代数式的大小关系 2 已知能得到什么结论 请说明理由 练习2 若 则 1 2 3 B 练习1 设a 0 b 0 给出下列不等式 其中恒成立的 应用基本不等式求最值的条件 a与b为正实数 若等号成立 a与b必须能够相等 一正 二定 三相等 积定和最小和定积最大 a 0 b 0 例求函数的最小值 构造积为定值 利用基本不等式求最值 思考 求函数的最小值 构造和为定值 利用基本不等式求最值 已知 求的最大值 练习 已知且 则最大值是多少 1 把36写成两个正数的积 当这两个正数取什么值时 它们的和最小 2 把18写成两个正数的和 当这两个正数取什么值时 它们的积最大 ab 36 当a b 6时 和a b最小为12 a b 18 当a b 9时 积ab最大为81 是解决最大 小 值问题的有力工具 应用练习 2 04重庆 已知则xy的最大值是 练习 1 当x 0时 的最小值为 此时x 2 1 3 若实数 且 则的最小值是 A 10B C D 4 在下列函数中 最小值为2的是 A B C D D C 一般地 对于任意实数a b 我们有 当且仅当a b时等号成立 证明 0 a 0 b 0 基本不等式 分析法证明基本不等式 要证 只要证 要证 只要证 要证 只要证 显然 是成立的 当且仅当a b时 中的等号成立 运用基本不等式证明 一利用基本不等式证明不等式 二 利用基本不等式求函数的最值 高考欣赏 B 1 两个不等式 1 2 当且仅当a b时 等号成立注意 1 两公式条件 前者要求a b为实数 后者要求a b为正数 2 公式的正向 逆向使用的条件以及 的成立