2016年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2016 年广东省广州市荔湾区中考数学一模试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1实数 a 的相反数是（ ） A a B a C D |a| 2下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 3直线 y=x 2 不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 4抛物线 y=23 的对称轴是（ ） A y 轴 B直线 x=2 C直线 D直线 x= 3 5将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ） A B C D 6甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了 5 次投掷实心球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为 么（ ） A甲、乙成绩一样稳定 B甲成绩更稳定 C乙成绩更稳定 D不能确定谁的成绩更稳定 7下列函数中，当 x 0 时， y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A y= y=x 1 C D 8用一个半径为 30积为 300 作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径 r 为（ ） A 5 10 20 5如图，在平面内，把矩形 折，若 1=50，则 于（ ） A 115 B 130 C 120 D 65 10如图， O 的直径 直于弦 足为 E， A= ， 长为（ ） 第 2 页（共 19 页） A 2 B 4 C 4 D 8 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11方程组 的解是 12用科学记数法表示 果是 13如图， 顶点都在方格纸的格点上， 则 14已知 平分线，点 P 在 ， 足分别为点 D、E， 0，则 长度为 15若 m， n 是方程 2x 1=0 的解，则 23m+n 的值是 16如图，正方形 正方形 ，点 D 在 ， ， ， H 是 中点，那么 长是 三、解答题（本大题共 9题，共 102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17求不等式组 的解，并在数轴上表示出来 18已知，如图， E、 F 分别为矩形 边 的点， F求证： F 第 3 页（共 19 页） 19先化简： ，若 1 a 4 时，请代入你认为合适的一个 a 值并求出这个代数式的值 20如图， 三个顶点都在 55 的网格（每个小正 方形的边长均为 1 个单位长度）的格点上 （ 1）在网格中画出将 点 B 顺时针旋转 90后的 A图形 （ 2）求点 A 在旋转中经过的路线的长度（结果保留 ） 21某校七年级各班分别选出 3 名学生组成班级代表队，参加知识竞赛，得分最多的班级为优胜班级，各代表队比赛结果如下： 班级 七（ 1） 七（ 2） 七（ 3） 七（ 4） 七（ 5） 七（ 6） 七（ 7） 七（ 8） 七（ 9） 七（ 10） 得分 85 90 90 100 80 100 90 80 85 90 （ 1）写出表格中得分的众数、中位数； （ 2）学校从获胜班级的代表队中各抽取 1 名学生组成 “绿色环保监督 ”小组，小明、小红分别是七（ 4）班和七（ 6）班代表队的学生，用列表法或画树状图的方法说明同时抽到小明和小红的概率是多少？ 22如图，在直角坐标系中， O 为坐标原点已知反比例函数 y= （ k 0）的图象经过点 A（ 2， m），过点 A 作 x 轴于点 B，且 面积为 （ 1）求 k 和 m 的值； （ 2）求当 x1 时函数值 y 的取值范围 23广州市体育中考项目改为耐力跑后，某体育用品商场预测某款运动鞋能够畅销，就用16000 元购进了一批这款运动鞋，上市后很快脱销，商场又用 40000 元购进第二批这款运动鞋，所购数量是第一批的 2 倍，但每双鞋的进价高了 10 元求该款运动鞋第一次进价是多少元？ 24如图，正三角形 接于 O， P 是 的一点，且 E，点F 是 长线上的点， B， ， （ 1）求证： 第 4 页（共 19 页） （ 2）求证： A （ 3）求 长 25如左图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧， B 点的坐标为（ 3， 0）， C， （ 1）求这个二次函数的表达式 （ 2）经过 C、 D 两点的直线 ，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、 N 两点，且以 直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度 （ 4）如图，若点 G（ 2， y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时， 面积最大？求出此时 P 点的坐标和 最大面积 第 5 页（共 19 页） 2016年广东省广州市荔湾区中 考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1实数 a 的相反数是（ ） A a B a C D |a| 【考点】 实数的性质 【分析】 根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案 【解答】 解： a 的相反数是 a， 故选： B 2下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A B C D 【考点】 最简二次根式 【分析】 判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是 【解答】 解： A、 = ，被开方数含分母，不是最简二次根式；故 A 选 项错误； B、 = ，被开方数为小数，不是最简二次根式；故 B 选项错误； C、 ，是最简二次根式；故 C 选项正确； D. =5 ，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故 D 选项错误； 故选 C 3直线 y=x 2 不经过（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考点】 一次函数图象与系数的关系 【分析】 由已知中函数的解析式，结合一次函数的图象和性质，分析直线 y=x 2 的位置，可得答案 【解答】 解： 直线 y=x 2 的斜率 k=1 0，故直线必过第一，第三象限， 又 直线 y=x 2 的截距 b= 2 0， 故直线与 y 轴的交点在原点下方， 故直线过第四象限， 即直线 y=x 2 不经过第二象限， 故选： B 4抛物线 y=23 的对称轴是（ ） A y 轴 B直线 x=2 C直线 D直线 x= 3 第 6 页（共 19 页） 【考点】 二次函数的性质 【分析】 根据所给的二次函数表达式，可知 a、 b、 c 的值，再代入对称轴的计算公式，即可求 【解答】 解： a=2， b=0， c=3= 3， = =0， 故对称轴是 x=0 故选 A 5将图所示的图案通过平移后可以得到的图案是（ ） A B C D 【考点】 利用平移设计图案 【分析】 根据平移的特征分析各图特点，只要符合 “图形的形状、大小和方向都不改变 ”即为答案 【解答】 解：根据平移不改变图形的形状、大小和方向， 将题图所示的图案通过平移后可以得到的图案是 A， 其它三项皆改变了方向，故错误 故选 A 6甲、乙两名同学在参加体育中考前各作了 5 次投掷实心 球的测试，甲、乙所测得的成绩的平均数相同，且甲、乙成绩的方差分别为 么（ ） A甲、乙成绩一样稳定 B甲成绩更稳定 C乙成绩更稳定 D不能确定谁的成绩更稳定 【考点】 方差；算术平均数 【分析】 根据方差的意义解得即可 【解答】 解： S 甲 2=S 乙 2= S 甲 2 S 乙 2， 甲成绩更稳定 故选 B 7下列函数中，当 x 0 时， y 值随 x 值增大而减小的是（ ） A y= y=x 1 C D 【考点】 二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质 【分析】 A、根据二次函数的图象的性质解答； B、由一次函数的图象的性质解答； C、由正比例函数的图象的性质解答； D、由反比例函数的图象的性质解答 第 7 页（共 19 页） 【解答】 解： A、二次函数 y=图象，开口向上，并向上无限延伸，在 y 轴右侧（ x 0时）， y 随 x 的增大而增大；故本选项错误； B、一次函数 y=x 1 的图象， y 随 x 的增大而增大； 故本选项错误； C、正比例函数 的图象在一、三象限内， y 随 x 的增大而增大； 故本选项错误； D、反比例函数 中的 1 0，所以 y 随 x 的增大而减小； 故本选项正确； 故选： D 8用一个半径为 30积为 300 作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径 r 为（ ） A 5 10 20 5考点】 圆锥的计算 【分析】 利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式得到 2r30=300，然后解方程求出 r 即可 【解答】 解：根据题意得 2r30=300， 解得 r=10（ 故选 B 9如图，在平面内，把矩形 折，若 1=50，则 于（ ） A 115 B 130 C 120 D 65 【考点】 翻折变换（折叠 问题） 【分析】 根据折叠前后角相等可知 【解答】 解： 1=50， 80 80 2=115 故选 A 10如图， O 的直径 直于弦 足为 E， A= ， 长为（ ） A 2 B 4 C 4 D 8 【考点】 垂径定理；等腰直角三角形；圆周角定理 第 8 页（共 19 页） 【分析】 根据圆周角 定理得 A=45，由于 O 的直径 直于弦 据垂径定理得 E，且可判断 等腰直角三角形，所以 ，然后利用行计算 【解答】 解： A= A=45， O 的直径 直于弦 E， 等腰直角三角形， ， 故选： C 二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 11方程组 的解是 【考点】 解二元一次方程组 【分析】 先用加减消元法消去 y 求出 x 的值，再用代入法求出 y 的值即可 【解答】 解：（ 1） +（ 2） 得， 3x=6， 解得， x=2 把 x=2 代入（ 2）得， 2+y=3， y=1 故原方程组的解为 12用科学记数法表示 果是 0 3 【考点】 科学记数法 表示较小的数 【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a10 n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定 【解答】 解：用科学记数法表示 果是 0 3 故答案为： 0 3 13如图， 顶点都在方格纸的格点上，则 第 9 页（共 19 页） 【考点】 锐角三角函数的定义 【分析】 在直角 利用勾股定理求得 长，然后利用正弦的定义求解 【解答】 解：在直角 ， ， ， 则 = = ， 则 = = 故答案是： 14已知 平分线，点 P 在 ， 足分别为点 D、E， 0，则 长度为 10 【考点】 角平分 线的性质 【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 D 【解答】 解： 平分线， D=10 故答案为： 10 15若 m， n 是方程 2x 1=0 的解，则 23m+n 的值是 4 【考点】 根与系数的关系；一元二次方程的解 【分析】 由 m， n 是方程 2x 1=0 的解，利用根与系数的关系即可得出 “m+n= =2，= 1”，再将 23m+n 变成 m+n 与 形式，代入数据即可得出结论 【解答】 解： m， n 是方程 2x 1=0 的解， m+n= =2， = 1 23m+n=24m+（ m+n） =2m（ m 2） +（ m+n） = 2 m+n）， 第 10 页（共 19 页） 23m+n= 2（ 1） +2=4 故答案为： 4 16 如图，正方形 正方形 ，点 D 在 ， ， ， H 是 中点，那么 长是 【考点】 正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 【分析】 根据正方形的性质求出 C=1， F=3， E=90，延长 M，连接 出 ， ， 0，根据正方形性质求出 0，根据直角三角形斜边上的中线性质求出 据勾股定理求出 可 【解答】 解： 正方形 正方形 ，点 D 在 ， ， ， C=1， F=3， E=90， 延长 M，连接 则 C+3=4， F 1=2， 0， 四边形 四边形 正方形， 5， 0， H 为 中点， 在 ，由勾股定理得： = =2 ， ， 故答案为： 三、解答题（本大题共 9题，共 102分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤） 17求不等式组 的解，并在数轴上表示出来 【考点】 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集 第 11 页（共 19 页） 【分析】 分别求出每个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找确定不等式组的解集即可 【解答】 解：解不等式 3x+2 4，得 x 2， 解不等式 x 2，得 x 2， 不等式组的解集为： 2 x 2 把解集在数轴上表示， 18已知，如图， E、 F 分别为矩形 边 的点， F求证： F 【考点】 矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质 【分析】 证法一：根据矩形的对边相等可得 D，四个角都是直角可得 A= C=90，然后利用 “边角边 ”证明 等，根据全等三角形对应边相等即可得证； 证法二：先求出 E，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形平行四边形，再根据平行四边形的对边相等即可得证 【解答】 证法一： 四边形 矩形， D， A= C=90， 在 ， ， F（全等三角形对应边相等）； 证法二： 四边形 矩形， C， 又 F， C 即 F， 而 四边形 平行四边形， F（平行四边形对边相等） 19先化简： ，若 1 a 4 时，请代入你 认为合适的一个 a 值并求出这个代数式的值 【考点】 分式的化简求值 第 12 页（共 19 页） 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 = =a 2， 当 a=1 时，原式 =1 2= 1 20如图， 三个顶点都在 55 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个单位长度）的格点上 （ 1）在网格中画出将 点 B 顺时针旋转 90后的 A图形 （ 2）求点 A 在旋转中经过的路线的长度（结果保留 ） 【考点】 作图 长的计算 【分析】 （ 1）将 点 B 顺时针旋转 90，得到 再以 直角边，利用网格画出 A可； （ 2）利用网格，根据勾股定理求出 长，在根据扇形弧长公式解答即可 【解答】 解：（ 1） A所求； （ 2） 在 ， 0 = = 90 = = 21某校七年级各班分别选出 3 名学生组成班级代表队，参加知识竞赛，得分最多的班级为优胜班级 ，各代表队比赛结果如下： 班级 七（ 1） 七（ 2） 七（ 3） 七（ 4） 七（ 5） 七（ 6） 七（ 7） 七（ 8） 七（ 9） 七（ 10） 得分 85 90 90 100 80 100 90 80 85 90 第 13 页（共 19 页） （ 1）写出表格中得分的众数、中位数； （ 2）学校从获胜班级的代表队中各抽取 1 名学生组成 “绿色环保监督 ”小组，小明、小红分别是七（ 4）班和七（ 6）班代表队的学生，用列表法或画树状图的方法说明同时抽到小明和小红的概率是多少？ 【考点】 列表法与树状图法；中位数；众数 【分析】 （ 1）由表格，直接根据众数与中位 数的定义求解即可求得答案； （ 2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与同时抽到小明和小红的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：（ 1）众数 90，中位数 90； （ 2）设七（ 4）班另外两名学生为 A、 B，七（ 6）班另外两名学生为 a、 b， 据此可画树状图： 所有可能出现的结果有 9 种，其中同时抽到小明、小红的结果有 1 种， 同时抽到小明和小红的概率 P= 22如图 ，在直角坐标系中， O 为坐标原点已知反比例函数 y= （ k 0）的图象经过点 A（ 2， m），过点 A 作 x 轴于点 B，且 面积为 （ 1）求 k 和 m 的值； （ 2）求当 x1 时函数值 y 的取值范围 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 （ 1）根据三角形的面积公式先得到 m 的值，然后把点 A 的坐标代入 y= ，可求出k 的值； （ 2）求出 x=1 时， y 的值，再根据反比例函数的性质求解 【解答】 解：（ 1） A（ 2， m）， ， AB=m， S B= 2m= ， 第 14 页（共 19 页） m= ， 点 A 的坐标为（ 2， ）， 把 A（ 2， ）代入 y= ，得 k=1； （ 2） 当 x=1 时， y=1， 又 反比例函数 y= 在 x 0 时， y 随 x 的增大而减小， 当 x1 时， y 的取值范围为 0 y1 23广州市体育中考项目改为耐力跑后，某体育用品商场预测某款运动鞋能够畅销，就用16000 元购进了一批这款运动鞋，上市后很快脱销，商场又用 40000 元购进第二批这款运动鞋，所购数 量是第一批的 2 倍，但每双鞋的进价高了 10 元求该款运动鞋第一次进价是多少元？ 【考点】 分式方程的应用 【分析】 设该款运动鞋第一次进价为 x 元，则第二次进价为（ x+10）元，接下来，用含 后依据第二批所购数量是第一批的 2 倍列方程求解即可 【解答】 解：设该款运动鞋第一次进价为 x 元，则第二次进价为（ x+10）元 依题意得 2 = ， 解得： x=40 经检验 x=40 是原分式方程的根 答：该款运动鞋第一次进价为 40 元 24如图，正三角形 接于 O， P 是 的一点，且 E，点F 是 长线上的点， B， ， （ 1）求证： （ 2）求证： A （ 3）求 长 【考点】 圆的综合题 【分析】 （ 1）先根据等边三角形的性质得到 C，再利用圆的内接四边形的 性质得 是可根据 “断 （ 2）先根据等边三角形的性质得到 0，再根据圆周角定理得 0，加上 是可判断 后利用相似比即可得到结论； 第 15 页（共 19 页） （ 3）先利用 A算出 ，则 P ，再证 等边三角形，得到 A=4，则有 B=4，接着证 明 到 C=3，然后根据根与系数的关系，可把 作方程 4x+3=0 的两实数解，再解此方程即可得到 长 【解答】 （ 1）证明： 等边三角形， C， 四边形 圆的内接四边形， 在 ， ， （ 2） 等边三角形， 0， 0， C： A （ 3）解： AC， = ， P = ， F=60， 而 0， 等边三角 形， A=4， F=B=4， P： C=P= 4=3， C=4， 看作方程 4x+3=0 的两实数解，解此方程得 ， ， ， 第 16 页（共 19 页） 25如左图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=bx+c（ a 0）的图象的顶点为 D 点，与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交 于 A、 B 两点， A 点在原点的左侧， B 点的坐标为（ 3， 0）， C， （ 1）求这个二次函数的表达式 （ 2）经过 C、 D 两点的直线，与 x 轴交于点 E，在该抛物线上是否存在这样的点 F，使以点 A、 C、 E、 F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 （ 3）若平行于 x 轴的直线与该抛物线交于 M、 N 两点，且以 直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度 （ 4）如图，若点 G（ 2， y）是该抛物线上一点，点 P 是直线 方的抛物线上一动点，当点 P 运动到什么位置时， 面积最大？求出此时 P 点的坐标和 最大面积 【考点】 二次函数综合题 【分析】 （ 1）求二次函数的表达式，需要求出 A、 B、 C 三点坐标已知 B 点坐标，且 C，可知 C（ 0， 3）， ，则 A 坐标为（ 1， 0）将 A， B， C 三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式 （ 2）假设存在这样的点 F（ m， n），已知抛物线关系式，求出 顶点 D 坐标，今儿求出直线E 是直线与 x 轴交点，可得 E 点坐标四边形 平行四边形，则 两直线斜率相等，可列等式（ 1）， F，可列等式（ 2）， F 在抛物线上，为等式（ 3），根据这三个等式，即可求出 m、 n 是否存在 （ 3）分情况讨论，当圆在 x 轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为 r，则 N 的坐标为（ r+1， r），将其代入抛物线解析式，可求出 r 的值当圆在 x 轴的下方时，方法同上，只是 N 的坐标变为（ r+1， r），代入抛物线解析式即可求解 （ 4） G 在抛物线上，代入解 析式求