312导数的概念

2020 4 6 3 1 2导数的概念 2020 4 6 复习 1 函数的平均变化率 2 求函数的平均变化率的步骤 1 求函数的增量 f y f x2 f x1 2 计算平均变化率 2020 4 6 在高台跳水运动中 平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 需要用瞬时速度描述运动状态 我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度 又如何求瞬时速度呢 1 瞬时速度 2020 4 6 所以 同理 2020 4 6 例1是计算了 3 3 t 当t 0 1 t 0 01 t 0 001时的平均速度 上面是计算了 t 0时的情况 下面再来计算 t 0时的情况 解 设在 2 9 3 内的平均速度为v4 则 t1 3 2 9 0 1 s s1 s 3 s 2 9 0 5g 32 0 5g 2 92 0 295g m 2020 4 6 所以 设在 2 99 3 内的平均速度为v5 则 设在 2 999 3 内的平均速度为v6 则 2020 4 6 当 t 0时 物体的速度趋近于一个确定的值3g 2020 4 6 在t 3s这一时刻的瞬时速度等于在3s到 3 t s这段时间内的平均速度当 t 0的极限 2020 4 6 设物体的运动方程是s s t 物体在时刻t的瞬时速度为v 一般结论 就是物体在t到t t这段时间内 当 t 0时平均速度的极限 即 2020 4 6 练习1 物体作自由落体运动 运动方程为 其中位移单位是m 时间单位是s g 10m s2 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 答案 1 20 5 2 20 05 3 20 2020 4 6 1 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O P Q x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线PQ的斜率 2 当直线PQ转动时 Q逐渐向P靠近 也即 x变小时 直线PQ与曲线位置关系是什么 平均变化率变成了什么 2020 4 6 P 再来一次 2020 4 6 2 函数切线的斜率 1 观察函数f x 的图象平均变化率表示什么 O P Q x y Y f x x1 x2 f x1 f x2 x2 x1 x f x2 f x1 y 直线PQ的斜率 2 当直线PQ转动时 Q逐渐向P靠近 也即 x变小时 直线PQ与曲线位置关系是什么 平均变化率变成了什么 2020 4 6 当直线PQ转动时 Q逐渐向P靠近 也即 x变小 当 x 0时 PQ无限靠近PT 因此 2020 4 6 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率即函数在该点处的切线斜率 2020 4 6 练习2 求函数y 2x2 1在点P 1 3 处的切线方程 答案 y 4x 1 2020 4 6 3 导数的定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 2020 4 6 应用 例2 将原油精练为汽油 柴油 塑胶等各种不同产品 需要对原油进行冷却和加热 如果第x h 时 原油的温度 单位 0C 为f x x2 7x 15 0 x 8 计算第2 h 和第6 h 时 原由温度的瞬时变化率 并说明它们的意义 关键是求出 它说明在第2 h 附近 原油温度大约以30C H的速度下降 在第6 h 附近 原油温度大约以50C H的速度上升 2020 4 6 练习 求函数y 3x2在x 1处的导数 分析 先求 f y f x f 6 x