陕西王有利例析高考中的易错概念

例析高考中易错的几组概念 王有利 西安惠安中学 710302 高三绝大部分学生对于课本中的概念 定义 定理能够正确地背诵 默写出来 但 准确运用却很难做到 特别是高考答卷时 由于处于特定的情境 所以更容易混淆概念 导 致考试丢分 下面例举高三复习过程中常见的几组易错概念 帮助同学们提高准确辨析并正 确运用概念的能力 一 截距与截得的距离 一般地 我们把直线 L 与 x 轴 y 轴 交点的横 纵 坐标称为其在 x 轴 y 轴 上的 截距 显然当直线 L 与 x 轴 y 轴 平行时 其在 x 轴 y 轴 上的截距不存在 当直线 L 与 x 轴 y 轴 不平行时 截距存在 取值范围为 可见 截距不是直线与坐 标轴的交点到原点的距离 如有相等 也纯属巧合 例 1 2010 年安徽文科卷改编 已知直线 L 经过点 1 0 且与直线 x 2y 2 0 平行 求 L 在坐标轴上的截距 解 由已知易求 L 的方程为 x 2y 1 0 令 x 0 得 y 令 y 0 得 x 1 1 2 L 在 x 轴上的截距为 1 在 y 轴上截距为 1 2 二 零点与点 我们把函数 y f x 的图像与 x 轴的交点的横坐标称为这个函数的零点 显然 零点 不是点 不可望文生义 例 2 2010 年湖南理科卷 已知函数 2 3sin22sinf xxx 求函数的最大值 II 求函数的零点的集合 f x f x 解 略 II 由 知 sinx f x 2 2 1 6 令 0 得 sin 2x f x 6 1 2 所以 2x 2k 或 2x 2k k z 6 6 6 5 6 即 x k 或 x k k z 3 故函数的零点的集合为 x x k 或 x k k z f x 3 若考生总结论是 的零点的集合为 x y k 0 k 0 k z f x 3 则显然错误 三 否命题与命题的否定 否命题是将条件和结论分别否定 命题的否定只对结论否定 不过要特别注意 特称命 题的否定是全称命题 全称命题的否定是特称命题 考生容易忽略修改量词 导致结论出错 例 3 2010 年天津理科卷 命题 若 f x 是奇函数 则 f x 是奇函数 的否命题是 A 若 f x 是偶函数 则 f x 是偶函数 B 若 f x 不是奇函数 则 f x 不是奇函数 C 若 f x 是奇函数 则 f x 是奇函数 D 若 f x 不是奇函数 则 f x 不是奇函数 解 本题主要考查否命题的概念 否命题是同时否定命题的条件结论 故可知 B 选项 是正确的 例 4 2010 年安徽文科卷 命题 存在xR 使得 2 250 xx 的否定是 解 特称命题的否定是全称命题 存在 对应 任意 本题应填 对任意xR 都有 2 250 xx 这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词 或者虽然修改 了量词 但形式不对 如 的否定用 an n 1 2 是 an 为递增 数列 的 A 必要不充分条件 B 充分不必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 由 an 1 an n 1 2 知 an 所有项均为正项 且 a1 a2 an an n 1 2 如数列 3 2 1 0 1 2 3 故选 B 例 6 2010 年湖北理科卷 记实数 1 x 2 x n x中的最大数为 max 1 x 2 x n x 最小数为 min 1 x 2 x n x 已知 ABC 的三边长位 a b c abc 定义它的亲倾斜度为 则 l 1 是 ABC 为l max min a b ca b c b c ab c a 等边三角形 的 A 必要而不充分的条件 B 充分而不必要的条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解 若 ABC 为等边三角形时 即a b c 则则l 1 max 1 min a b ca b c b c ab c a 若 ABC 为等腰三角形 如a 2 b 2 c 3时 则 32 max min 23 a b ca b c b c ab c a 此时l 1 仍成立但 ABC 不为等边三角形 故选 A 五 二项式系数与项的系数 其通项为 01 nnnrn rrnn nnnn abC aC a bC abC bnN 二项式系数特指 而项的系数则指字母外的部分 1 rn rr rn TC ab 0 1 rn r n C 例 7 2010 年四川理科卷改编 求展开式中的第四项 并指出该项的系 6 3 1 2 x 数及二项式系数 解 36 33 46 3 1160 2 xx TC 故第四项为 该项的系数为160 该项的二项式系数为 20 160 x 3 6 C 六 能成立与恒成立 能成立 也称存在解 和恒成立是有明显区别的 要细心甄别 恰当使用 一般地 解 决能成立和恒成立问题的基本策略是转化为求函数最值问题 即 1 不等式 f x 在 xD 时恒成立xD 或 f x 的上界小于或等于 max f x 2 不等式 f x 在 xD 时恒成立 xD 或 f x 的下界大于或 min f x 等于 4 不等式 f x 在 xD 时能成立 xD 或 f x 的上界大于 max f x 例 8 2011 年陕西理科卷 若关于的不等式存在实数解 则实x12axx 数的取值范围是 a 解 设 易求 f x 的最小值为 3fx 12 xx 欲使关于的不等式存在实数解 则满足 a 3 即可x12axx 所以 应填 3 3 例 9 2011 年陕西文科卷 设 ln f xxg xf xfx 求的单调区间和最小值 g x 讨论与的大小关系 g x 1 g x 求的取值范围 使得 对任意 0 成立 a g ag x 1 a x 解 II 略 III 由 I 知且的最小值为 1 1 ln g xx x g x 所以 对任意成立 1 g ag x a 0 x 1 x 0 g ag x a 对任意恒成立 1 1 g a a 即从而得 1 Ina 0ae 作者简介 王有利 中学数学高级教师 现执教于西安惠安中学 多年在高三任教