03-第三节-微积分基本公式

第三节 微积分基本公式 积分学中要解决两个问题 第一个问题是原函数的求法问题 我们在第四章中已经对它 做了讨论 第二个问题就是定积分的计算问题 如果我们要按定积分的定义来计算定积分 那将是十分困难的 因此寻求一种计算定积分的有效方法便成为积分学发展的关键 我们知 道 不定积分作为原函数的概念与定积分作为积分和的极限的概念是完全不相干的两个概念 但是 牛顿和莱布尼茨不仅发现而且找到了这两个概念之间存在着的深刻的内在联系 即所 谓的 微积分基本定理 并由此巧妙地开辟了求定积分的新途径 牛顿 莱布尼茨公式 从而使积分学与微分学一起构成变量数学的基础学科 微积分学 牛顿和莱布尼茨也因 此作为微积分学的奠基人而载入史册 分布图示分布图示 引言 引例 积分上限函数 积分上限函数的导数 例 1 例 2 3 例 4 例 5 例 6 例 7 原函数存在定理 牛顿 莱布尼兹公式 牛顿 莱布尼兹公式的几何解释 例 8 9 例 10 例 11 例 12 例 13 例 14 例 15 例 16 例 17 内容小结 课堂练习 习题 5 2 返回 内容要点内容要点 一 一 引例引例 二 二 积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数 x a dttfx 定理定理 2 若函数在区间上连续 则函数 xf ba x a dttfx 就是在上的一个原函数 xf ba 三 三 牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 定理定理 3 若函数是连续函数在区间上的一个原函数 则 xF xf ba 3 6 aFbFdxxf b a 公式 3 4 称为牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公式 例题选讲例题选讲 积分上限的函数及其导数积分上限的函数及其导数 例例 1 E01 求右图中阴影区域的面积 解解 由题意 得到 阴影区域的面积 dxxdxx 1 0 2 0 4 2 12sec2 dxxdxxdxdx 1 0 2 1 0 0 4 2 0 4 sec2 3 1 23 1tan 2 1 0 3 0 4 x x 例例 2 E02 求 x tdt dx d 0 2 cos 解解 x tdt dx d 0 2 cos cos2x 例例 3 E03 求 3 2 1 x t dte dx d 解解 这里是的函数 因而是的复合函数 令则根据dte x t 3 2 1 3 xx 3 ux u t dteu 1 2 复合函数求导公式 有 3 2 1 x t dte dx d dx du dte du d u t 1 2 2 3 xu 2 3 2 xeu 6 2 3 x ex 例例 4 设是连续函数 试求以下函数的导数 xf 1 2 3 x x tf dtexF sin cos x dttxfxF 0 0 x dttxfxF 解解 1 x F sincos cos sin xexe xfxf 2 因为所以 0 x dttfxxF x F 0 x dttfxxf 3 因为 所以 x dttxfxF 0 txu 0 x duuf 0 x duuf xfxF 例例 5 E05 设函数由方程所确定 求 xfy 0sin 0 0 2 2 tdttde x y t dx dy 解解 在方程两边同时对求导 x0sin 0 0 2 2 dtt dx d dte dx d x y t O x 1 y 2 4 1 sec x y 2 1 x y 2 于是0sin 0 0 2 2 dtt dx d dx dy dte dy d x y t 即0 sin 2 4 x dx dy yey 故 2 sin 4 y ye x dx dy 例例 6 E04 求 2 1 cos 0 2 lim x dte x t x 分析 这是型不定式 应用洛必达法则 0 0 解解 dte dx d x t 1 cos 2 dte dx d x t cos 1 2 cos cos 1 2 xdte du d xu u t cos 2 cos xe x sin 2 cos x ex 故 2 1 cos 0 2 lim x dte x t x x ex x x 2 sin lim 2 cos 0 2 1 e 例例 7 设在内连续 且 证明函数在内为单 xf 0 xf x x dttf dtttf xF 0 0 0 调增加函数 证证因为 0 xxfdtttf dx d x 0 xfdttf dx d x 所以 x F 2 0 00 x xx dttf dtttfxfdttfxxf 2 0 0 x x dttf dttftxxf 0 0 xxf 0 0 x dttf 0 tftx 0 0 x dttftx 0 0 xxF 故在内为单调增加函数 xF 0 牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 例例 8 E06 求定积分 1 0 2dx x 解解 是的一个原函数 由牛顿 莱布尼茨公式得 3 3 x 2 xdxx 1 0 2 1 0 3 3 x 3 0 3 1 3 1 例例 9 E07 求 1 1 2 dx x 解解 当时 的一个原函数是0 x x 1 ln xdx x 1 2 11 2 ln x2ln1ln 2 ln 例例 10 设 求 215 102 x xx xf 2 0 dxxf 解解 如图 见系统演示 在上规定 当时 则由定积分性质得 2 1 1 x 5 xf dxxf 2 0 dxxfdxxf 2 1 1 0 dxdxx 2 1 1 0 52 6 例例 11 E08 计算 12 1 0 dxx 解解 因为 12 x 2 1 12 2 1 21 xx xx 所以 dxx 1 0 12 dxxdxx 1 2 1 2 1 1 12 21 0 2 1 2 2 1 0 2 xxxx 2 1 例例 12 求定积分 3 2 2 cos1 dxx 解解 dxx 3 2 2 cos1 dxx 3 2 2 sin dxx 3 2 sin dxxxdx 3 0 0 2 sinsin 3 0 0 2 coscos xx 2 3 例例 13 E09 求 max 2 2 2 dxxx 解解由图形 见系统演示 可知 xf max 2 xx 21 10 02 2 2 xx xx xx dxxx 2 2 2 max dxxdxxdxx 2 1 2 1 0 0 2 2 2 11 例例 14 E10 计算由曲线在之间及轴所围成的图形的面积xysin 0 x xx A 解解如图 见系统演示 根据定积分的几何意义 所求面积为A 0sin dx xA 0 cosx 0cos cos 2 例例 15 汽车以每小时 36km 速度行驶 到某处需要减速停车 设汽车以等加速度5 刹车 问从开始刹车到停车 汽车驶过了多少距离 2 sm 解解首先要算出从开始刹车到停车经过的时间 设开始刹车的时刻为 此时汽车 0 t 速度为 km h36 0 v 3600 100036 sm 10sm 刹车后汽车减速行驶 其速度为tavtv 0 510t 当汽车停住时 速度 故由 0 tv 0510 ttv 25 10st 于是这段时间内 汽车所驶过的距离为 2 0 2 0 510 dttdttvs 2 0 2 2 510 t t 10 m 即在刹车后 汽车需驶过才能停住 m10 例例 16 E11 设函数在闭区间上连续 证明在开区间内至少存在一点 xf ba ba 使 baabfdxxf b a 证证因连续 故它的原函数存在 设为 即设在上 xf xF ba xfxF 根据牛顿 莱布尼茨公式 有 aFbFdxxf b a 显然函数在区间上满足微分中值定理的条件 因此按微分中值定理 在开区 xF ba 间内至少存在一点 使 ba abFaFbF ba 故 abfdxxf b a ba 注注 本例的结论是对积分中值定理的改进 从