中考相似三角形经典综合题解析

中考相似三角形经典综合题解析1、（2013哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位秒。设运动时间为t秒 (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将BEF绕点B逆时针旋转得到BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= QG? (1)解：如图lAOB为等边三角形 BAC=AOB=60。BCAB ABC=900 ACB=300OBC=300ACB=OBC CO=OB=AB=OA=3AC=6 BC=AC= (2)解：如图l过点Q作QN0B交x轴于点NQNA=BOA=600=QAN QN=QAAQN为等边三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQ EFx轴BFE=BCO=FBE=300EF=BEm=BE=OB-OE(0t3)(3)解：如图2 AEG=600=EAG GE1=GA AEG为等边三角形l=2 3=4l+2+3+4=18002+3=900即QGA=900 EFOC FCP=BCA FCPBCA2BQPF=QG t=1当t=1 时，2BQPF=QG2、（2013天津）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点B（0，4），点E在OB上，且OAE=0BA（）如图，求点E的坐标；（）如图，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连接AB、BE设AA=m，其中0m2，试用含m的式子表示AB2+BE2，并求出使AB2+BE2取得最小值时点E的坐标；当AB+BE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）解：（）如图，点A（2，0），点B（0，4），OA=2，OB=4OAE=0BA，EOA=AOB=90，OAEOBA，=，即=，解得，OE=1，点E的坐标为（0，1）；（）如图，连接EE由题设知AA=m（0m2），则AO=2m在RtABO中，由AB2=AO2+BO2，得AB2=（2m）2+42=m24m+20AEO是AEO沿x轴向右平移得到的，EEAA，且EE=AABEE=90，EE=m又BE=OBOE=3，在RtBEE中，BE2=EE2+BE2=m2+9，AB2+BE2=2m24m+29=2（m1）2+27当m=1时，AB2+BE2可以取得最小值，此时，点E的坐标是（1，1）如图，过点A作ABx，并使AB=BE=3易证ABAEBE，BA=BE，AB+BE=AB+BA当点B、A、B在同一条直线上时，AB+BA最小，即此时AB+BE取得最小值易证ABAOBA，=，AA=2=，EE=AA=，点E的坐标是（，1）3、（2013淮安压轴题）如图，在ABC中，C=90，BC=3，AB=5点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为秒（1）当=7时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为s平方单位求s与之间的函数关系式；当s最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积：解：（1）在直角ABC中，AC=4，则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+54.5=7.5根据题意得：（t4.5）+2（t4.5）=7.5，解得：t=7（2）Q从C到A的时间是3秒，P从A到C的时间是3秒则当0t2时，若PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3t=2t，解得：t=1当2t3时，若PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=PC（如图1）则Q在PC的中垂线上，作QHAC，则QH=PCAQHABC，在直角AQH中，AQ=2t4，则QH=AQ=PC=BCBP=3t，（2t4）=3t，解得：t=；（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t3，BQ=2t9，即AQ=5（2t9）=142t同（2）可得：PCQ中，PC边上的高是：（142t），故s=（2t9）（142t）=（t2+10t2）故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点（如图2）沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，PD一定是AC的中垂线则AP=AC=2，PD=BC=，则SAPD=APPD=2=AQ=142t=1425=4则PC边上的高是：AQ=4=则SPCQ=PC=2=故答案是：74、如图，点A是ABC和ADE的公共顶点，BACDAE180，ABkAE，ACkAD，点M是DE的中点，直线AM交直线BC于点N（1）探究ANB与BAE的关系，并加以证明ABCEMDN（2）若ADE绕点A旋转，其他条件不变，则在旋转的过程中（1）的结论是否发生变化？如果没有发生变化，请写出一个可以推广的命题；如果有变化，请画出变化后的一个图形，并证明变化后ANB与BAE的关系解：（1）ANB+BAE=180证明：（法一）如图，延长AN到F，使MF=AM，连接DF、EF 点M是DE的中点，DM=ME，四边形ADFE是平行四边形ADEF，AD=EFDAE+AEF=180BAC+DAE=180 BAC=AEF AB=kAE，AC=kAD AB AE =AC ADAB AE =AC EF ABCEAFB=EAF ANB+B+BAF=180ANB+EAF+BAF=180即ANB+BAE=180（法二）如图，延长DA到F，使AF=AD，连接EF BAC+DAE=180，DAE+EAF=180BAC=EAFAB=kAE，AC=kAD AB AE =AC ADAB AE =AC AF ABCAEF B=AEF 点M是DE的中点DM=ME， 又AF=ADAM是DEF的中位线AMEFNAE=AEF B=NAE ANB+B+BAN=180ANB+NAE+BAN=180即ANB+BAE=180（2）变化如图，ANB=BAE 选取（），如图 证明：延长AM到F，使MF=AM，连接DF、EF 点M是DE的中点DM=ME 四边形ADFE是平行四边形ADFE，AD=EFDAE+AEF=180BAC+DAE=180BAC=AEF AB=kAE，AC=kAD，k=1AB=AE，AC=AD AC=EFABCEAFB=EAF ANB+B+BAF=180ANB+EAF+BAF=180即ANB+BAE=180选取（），如图 证明：AB=ACB=1/ 2 （180-BAC）BAC+DAE=180DAE=180-BAC B=1/ 2 DAEAB=kAE，AC=kAD AE=ADAM是ADE的中线，AB=AC EAM=1 /2 DAEB=EAM ANB+B+BAM=180ANB+EAM+BAM=180即ANB+BAE=180点评：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，三角形5.如图，已知一个三角形纸片，边的长为8，边上的高为，和都为锐角，为一动点（点与点不重合），过点作，交于点，在中，设的长为，上的高为（1）请你用含的代数式表示（2）将沿折叠，使落在四边形所在平面，设点落在平面的点为，与四边形重叠部分的面积为，当为何值时，最大，最大值为多少？【答案】解：（1）（2）的边上的高为，当点落在四边形内或边上时，=（0）当落在四边形外时，如下图，设的边上的高为，则 所以 综上所述：当时，取，当时，取，当时，最大，MNCBEFAA16.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？ DFBACE图FBADCEG图FBADCEG图 解：（1）证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG= FD1分 同理，在RtDEF中， EG= FD 2分 CG=EG3分 （2）解：（1）证明：在RtFCD中， G为DF的中点， CG= FD 同理，在RtDEF中， EG= FD CG=EG （2）（1）中结论仍然成立，即EG=CG 证法一：连接AG，过G点作MNAD于M，与EF的延长线交于N点 在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG 在矩形AENM中，AM=EN 在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 证法二：延长CG至M,使MG=CG， 连接MF，ME，EC， 在DCG 与FMG中， FG=DG，MGF=CGD，MG=CG， DCG FMG MF=CD，FMGDCG MFCDAB 在RtMFE 与RtCBE中， MF=CB，EF=BE， MFE CBEMECMEFFECCEBCEF90 MEC为直角三角形 MG = CG， EG= MC （3）（1）中的结论仍然成立， 即EG=CG其他的结论还有:EGCG7如图，抛物线经过三点（1）求出抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； 【答案】解：（1）该抛物线过点，可设该抛物线的解析式为将，代入，得解得此抛物线的解析式为（2）存在如图，设点的横坐标为，则点的纵坐标为，当时，又，当时，即解得（舍去），当时，即解得，（均不合题意，舍去）当时，类似地可求出当时，当时，综上所述，符合条件的点为或或8.如图，在中，ACB= ,AC=6,BC=8,点D在边AB上运动，DE平分CDB交边BC于点E，垂足为M，垂足为N。 （1） 当AD=CD时，求证：DEAC；（2） 探究：AD为何值时，BME与CNE相似？（3） 探究：AD为何值时，四边形MEND与BDE的面积相等？第24题（1）证明：1分又DE是BDC的平分线BDC=2BDEDAC=BDE2分DEAC3分（2）解：（）当时，得BD=DCDE平分BDCDEBC，BE=EC.又ACB=90 DEAC.4分即AD=55分（）当时，得ENBD又ENCD BDCD即CD是ABC斜边上的高6分由三角形面积公式得ABCD=ACBC CD=7分综上，当AD=5或时，BME与CNE相似.（3）由角平分线性质易得 即8分EM是BD的垂直平分线.第24题EDB=DBEEDB=CDE DBE=CDE又DCE=BCD9分10分即11分由式得9如图，已知直线与直线相交于点分别交轴于两点矩形的顶点分别在直线上，顶点都在轴上，且点与点重合 （1）求的面积；（2）求矩形的边与的长；（3）若矩形从原点出发，沿轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出相应的的取值范围ADBEOCFxyy（G）【答案】（1）解：由得点坐标为由得点坐标为由解得点的坐标为 （2）解：点在上且 点坐标为又点在上且点坐标为 （3）解法一：当时，如图1，矩形与重叠部分为五边形（时，为四边形）过作于，则ADBEORFxyyM（图3）GCADBEOCFxyyG（图1）RMADBEOCFxyyG（图2）RM即即当时，如图2，为梯形面积，G（8t,0）GR=,当时，如图3,为三角形面积，10如图，矩形中，厘米，厘米（）动点同时从点出发，分别沿，运动，速度是厘米秒过作直线垂直于，分别交，于当点到达终点时，点也随之停止运动设运动时间为秒（1）若厘米，秒，则_厘米；（2）若厘米，求时间，使，并求出它们的相似比；（3）若在运动过程中，存在某时刻使梯形与梯形的面积相等，求的取值范围；（4）是否存在这样的矩形：在运动过程中，存在某时刻使梯形，梯形，梯形的面积都相等？若存在，求的值；若不存在，请说明理由 DQCPNBMADQCPNBMA【答案】解： （1），（2），使，相似比为（3），即，当梯形与梯形的面积相等，即化简得，则，（4）时梯形与梯形的面积相等梯形的面积与梯形的面积相等即可，则，把代入，解之得，所以所以，存在，当时梯形与梯形的面积、梯形的面积相等11.如图，四边形ABCD是正方形，ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN，连接EN、AM、CM. 求证：AMBENB； 当M点在何处时，AMCM的值最小；当M点在何处时，AMBMCM的值最小，并说明理由；EA DB CNM 当AMBMCM的最小值为时，求正方形的边长.解：ABE是等边三角形BABE，ABE60. MBN60MBNABNABEABN. 即BMANBE. 又MBNB AMBENB（SAS） 当M点落在BD的中点时，AMCM的值最小 连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时， AMBMCM的值最小 理由如下：连接MN.由知，AMBENB AMEN. MBN60，MBNB BMN是等边三角形. BMMN. AMBMCMENMNCM 根据“两点之间线段最短”，得EN MNCMEC最短 当M点位于BD与CE的交点处时，AMBMCM的值最小，即等于EC的长 过E点作EFBC交CB的延长线于FEBF906030 设正方形的边长为x，则BF3/2x，EF=x/2 在RtEFC中 EFFCEC， （x/2）+（3/2x+x）=（3+1） 解得x=212如图，已知ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t2时，判断BPQ的形状，并说明理由；（2）设BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR/BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，APRPRQ？【答案】 解：(1)BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=21=2,BQ=22=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为B=600,所以BPQ是等边三角形.(2)过Q作QEAB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2tsin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以SBPQ=BPQE=(6-t)t=t2+3t；(3)因为QRBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因为C=600,所以QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQcos600=2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EPQR,EP=QR,所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ=t,又因为PEQ=900,所以APR=PRQ=900.因为APRPRQ,所以QPR=A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以当t=时, APRPRQ 13在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD5，OE2EB，直线DE交x轴于点F求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一个点N使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由ABDE（第26题 图1）FCOMNxy 14在图15-1至图15-3中，直线MN与线段AB相交图7-2ADOBC21MN图7-1ADBMN12图7-3ADOBC21MNO于点O，1=2=45（1）如图15-1，若AO=OB，请写出AO与BD 的数量关系和位置关系；（2）将图15-1中的MN绕点O顺时针旋转得到图15-2，其中AO=OB求证：AC=BD，ACBD；（3）将图15-2中的OB拉长为AO的k倍得到图15-3，求的值【答案】 解：（1）AO=BD，AOBD； 图4ADOBC21MNEF（2）证明：如图4，过点B作BECA交DO于E，ACO=BEO又AO=OB，AOC= BOE，AOCBOEAC=BE 又1=45， ACO=BEO=135DEB=452=45，BE=BD，EBD=90AC=BD 延长AC交DB的延长线于F，如图4BEAC，AFD=90ACBD（3）如图5，过点B作BECA交DO于E，BEO =ACO又BOE =AOC ， AOBC1D2图5MNEBOEAOC 又OB=kAO，由（2）的方法易得 BE=BD 15如图，已知过A（2，4）分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，若点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点。（1）经过多少时间，线段PQ的长度为2？（2）写出线段PQ长度的平方y与时间t之间的函数关系式和t的取值范围；（3）在P、Q运动过程中，是否可能出现PQMN？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t，使P、Q、M构成的三角形与MON相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由； Y N A Q O P M X 解：A（2，4），OM=2，AM=4，点P从O点出发，沿OM作匀速运动，1分钟可到达M点，点Q从M点出发，沿MA作匀速运动，1分钟可到达A点，点P的速度度2，点Q速度的4，（1）设经过t分钟线段PQ的长度是2，则PM=2-2t，QM=4t，在RtPQM中，PQ2=PM2+QM2，即22=（2-2t）2+（4t）2，解得t=0（分）或t=0.4（分）答：当t=0或t=0.4时，线段PQ的长度为2；（2）由（1）可知，PM=2-2t，QM=4t，在RtPQM中，PQ2=PM2+QM2，即y=（2-2t）2+（4t）2，整理得，y=20t2-8t+4（0t1）；（3）存在A（2，4），N（0，4），M（2，0），ON=4，OM=2，当MONPMQ时，OMMP=ONM