第2课时分析法

第2课时分析法 利用已知条件和某些数学定义 定理 公理等 经过一系列的推理论证 最后推导出所要证明的结论成立 这种证明方法叫做综合法 其特点是 由因导果 用P表示已知条件 已有的定义 公理 定理等 Q表示所要证明的结论 则综合法用框图表示为 综合法是由一个个推理组成的 综合法是万事开头难 虽然万事开头难 但有时候进展更难 会需要高超的技巧 深刻的解题指导思想 但开头难怎么办 如何找到开头呢 1 结合已经学过的数学实例 了解直接证明的两种基本方法之一的分析法 重点 2 了解分析法的思考过程 特点 难点 探究点分析法的定义 引例 证明不等式 证法1 因为所以所以所以成立 证法1 因为所以所以所以成立 只需证 只需证 只需证 因为成立 所以成立 综合法 分析法 证法2 要证 思考 上述两种证法有什么异同 都是直接证明 证法1从已知条件出发 以已知的定义 公理 定理为依据 逐步下推 直到推出要证明的结论为止 综合法 相同 不同 证法2从问题的结论出发 追溯导致结论成立的条件 逐步上溯 直到一个明显使结论成立的条件 分析法 分析法 综合法 已知条件 结论 综合法和分析法的推证过程如下 一般地 从要证明的出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明的方法叫做分析法 其特点是 执果索因 即要证结果Q 只需证条件P 分析法 逆推证法或执果索因法 结论 充分条件 类似于综合法 我们也可以用框图来表示分析法 用Pi表示使所要证明结论成立的充分条件 Q表示所要证明的结论 则分析法的思路过程 特点用框图表示为 注意 证明最后面的明显成立的条件可以是 已知条件 定理 定义 公理等 分析 从待证不等式不易发现证明的出发点 因此我们直接从待证不等式出发 分析其成立的充分条件 在本例中 如果我们从 21 25 出发 逐步倒推回去 就可以用综合法证出结论 但由于我们很难想到从 21 25 入手 所以用综合法比较困难 提升总结 变式练习 求证 证法一 为了证明 成立 因为 所以只需证明 成立 展开得 即 因为 成立 成立 所以 证法二 例2如图 SA 平面ABC AB BC 过A作SB的垂线 垂足为E 过E作SC的垂线 垂足为F 求证AF SC 分析 本例所给的已知条件中 垂直关系较多 我们不容易确定如何在证明中使用它们 因而综合法比较困难 这时 可以从结论出发 逐步反推 寻求使当前命题成立的充分条件 证明 证法一 要证AF SC 只需证SC 平面AEF 只需证AE SC 只需证AE 平面SBC 只需证AE BC 只需证BC 平面SAB 只需证BC SA 由SA 平面ABC可知 上式成立 所以AF SC成立 还有其他证明方法吗 证法二 因为SA 平面ABC 所以AE BC 又因为AE SB 且BC SB B 所以AE 平面SBC 所以AE SC 又因为EF SC 且AE EF E 所以SC 平面AEF 所以AF SC 所以BC SA 所以BC 平面SAB 又因为AB BC 且AB SA A 分析 比较已知条件和结论 发现结论中没有出现角 因此第一步工作可以从已知条件中消去 观察已知条件的结构特点 发现其中蕴含数量关系 sin cos 2 2sin cos 1 于是 由 1 2 2 2 得4sin2 2sin2 1 把4sin2 2sin2 1与结论相比较 发现角相同 但函数名称不同 于是尝试转化结论 统一函数名称 即把正切函数化为正 余 弦函数 把结论转化为cos2 sin2 cos2 sin2 再与4sin2 2sin2 1比较 发现只要把cos2 sin2 cos2 sin2 中的角的余弦转化为正弦 就能达到目的 由于上式与 3 相同 于是问题得证 提升总结 分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法 在数学解题中 分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发 一步一步地探索下去 最后达到题设的已知条件 综合法则是从数学题的已知条件出发 经过逐步的逻辑推理 最后达到待证结论或需求问题 对于解答证明来说 分析法表现为执果索因 综合法表现为由因导果 它们是寻求解题思路的两种基本思考方法 应用十分广泛 1 用分析法证不等式 欲证 A B 只需证 C D 这里 是 的 A 既不充分也不必要条件B 充要条件C 充分条件D 必要条件 a c b 1 在数学证明中 综合法和分析法是两种最常用的数学方法 若从已知入手能找到证明的途径 则用综合法 否则用分析法 2 综合法的每步推理都是寻找必要条件 分析法的每步推理都是寻找充分条件 在解题表述中要注意语言的规范性和