4第十一讲-第二章习题课

第十一讲 第二章习题课一开集与闭集1P49 EX1 证明：的充要条件是在任何包含的开集（邻域）中都有的异于的点；而的充要条件是存在包含的开集（邻域），使得。证明：（1）若，对任意包含的开集，必存在某个，使，而在内含有的异于的点，从而中含有的异于的点。反之，由假设知任意（它也是包含的邻域）中含有的异于的点，即是的聚点。（2）若，则存在某，所以必要性成立。反之，若存在包含的开集（邻域）U，使得，由邻域的性质知存在某，从而，所以。注：的邻域是“包含的邻域”，而“包含的邻域”不必是的邻域。注：习题的结论表明：“的邻域”与“包含的开集”具有相似的性质。事实上，在一般的拓扑空间中，点的邻域就可以这样来定义。2EX6 证明：是闭集的充要条件是。证明：“充分性”因为闭包是闭集，所以是闭集。“必要性”由假设，从而。3EX7 证明：闭集减去开集还是闭集；开集减去闭集还是开集。证明：是闭，开，则闭；开。4EX9 证明：每个闭集都可表为可数个开集的交集；每个开集都可以表示为可数个 闭集的并集。证明：（1）设是闭集。对任意的，令，则是包含的开集。所以。反之，若，则对每个，于是存在某个，使，从而。由的任意性得到，而是闭集，所以。于是。所以。（2）设是开集，则是闭集。故存在可数个开集，使。从而，其中都是闭集。证法2【可以不讲】：令。（1）证明是开集：对任意，则。取定使得，则存在，使。现记，则对任意的有 ，所以。于是从而。所以是开集。（2）显然；反之，对任意，则对任意的，从而。而是闭集，所以。于是。二直线上的连续函数所确定的开集与闭集1EX8 设是上的实值连续函数，则对任意实数，集合是开集，而集合和都是闭集。证明：设，则，从而由连续函数的局部保号性，存在，使当时有，于是，即是的内点。由的任意性知是开集。设，则存在点列，使。由于且连续，所以，即，所以是闭集。 注：定理的逆也是成立的，即若定理中的分别为开集和闭集，则在上连续。2EX11证明：为上的函数，则在上连续的充要条件是对任意的实数c，集合和都是闭集。证明1：“必要性”若无聚点，则是闭集。否则，设，则存在中的点列，使。由于，所以，从而由函数的连续性有。于是。所以是闭集。同理可证是闭集。“充分性”任意取定。对任意的，由假设，集合 及 都是闭集，从而是开集（其中余集是在中取的！）。由于，所以存在某，使。从而当时，有意义，且满足。于是在点连续。由的任意性可知在上连续。注：充分性也可以反证：若存在，使在点不连续，则存在，对任意的，都存在，使。令 ，则由充分性的假设知是闭集。显然且，所以。于是 或矛盾。所以必在上连续。 3EX13设是上的函数，则连续的充要条件是：对任意的开集，其原像集合是开集。 证明：“必要性“设在上连续。对任意的开集，若是空集，则它是开集。下设非空。设，则，由于是开集，所以存在，使。由的连续性，存在，使当时有，从而，所以是的内点。由此知是开集。“充分性“设对任意的开集，是开集。设，对任意的，则是开集，于是也是开集，且。于是存在，使得，从而当时有，即在点连续，从而在上连续。 注：上面的证明与空间的维数无关，所以结论对多元函数也成立。在一般的拓扑空间上的函数的连续性可以如上定义。4EX14 设是上的连续函数，证明集合（的图像）和（的下方图形）是中的闭集；而是中的开集。证明：（1）设，则存在点列，使，于是。由及的连续性得 ，从而。所以是闭集。（2）设，则有点列，使，于是，。于是，从而，所以是闭集。（3）设，则。记，则由连续函数的局部保号性知，存在，当时有。记，则对任意，有，于是（因为，所以），所以，从而。由此知是的内点，所以是开集。注：（1）集合是的余集，所以可通过证是闭集来证明是开集。（2）集合是开集的另一种证明：定义二元函数，则是上的连续函数，且的充要条件是。对任意，由及连续函数的局部保号性，必存在某个，对任意的都有，从而，于是，所以是的内点。于是是开集。5EX15设是定义在上的增函数，证明下面的集合是闭集： 。证明：只需证是开集。任取，则存在，使得。由函数的单调性知在区间内为常数。对任意的，都存在某个，使得，于是，即，故，所以是的内点。由此证得是开集，从而是闭集。 证法2：【反证】设是的聚点但，则存在使得，于是在上为常数。对任意的，存在邻域，于是，所以。由的任意性知，这与是的聚点矛盾。三EX121EX12 如果满足：，则。证明1：取。对任意，记，（是连线上的点。）令，下证。（1）若，则。当满足：时有。取数列且，则有。（因为中点列的收敛等价于按坐标收敛。）于是在点的任何邻域内都既有E中的点（），也有中的点（下标充分大的），所以是的界点。（2）时类似可证。（若，则。当满足：时有，取，且，则。于是在点的任何邻域内既有中的点（），也有中的点（下标充分大的），所以是的界点。）3定理1（距离可达定理） 是非空闭集，且有界，则存在，使得。证明：记。由假设，存在，使得。因为是有界的，由此知也是有界的【事实上，存在，使对任意有，则对充分大的，。】。设是 的收敛子列，是的下标相同的子列。于是存在收敛的子列。记，则，并且所以。证毕。4定理3 若是的非空真子集，则不能是既开又闭的集合。 证明：【反证】若既是开集又是闭集，则亦然。取，取一闭区间同时包含。记，