2011年浙江高考数学试题(理科)

1 2011 年普通高等学校招生全国统一考试 浙江卷 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 设函数 则实数 2 0 4 0 x x f xf xx 若 A 4 或 2 B 4 或 2 C 2 或 4 D 2 或 2 2 把复数的共轭复数记作 i 为虚数单位 若 zz1 1 zizz 则 A 3 i B 3 i C 1 3i D 3 3 若某几何体的三视图如图所示 则这个几何体的直观图可以是 4 下列命题中错误的是 A 如果平面 那么平面内一定存在直线平行于平面 平面 B 如果平面 不垂直于平面 那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C 如果平面 平面 那么 平面 平面 l l 平面 D 如果平面 那么平面内所有直线都垂直于平面 平面 5 设实数满足不等式组若为整数 则的最小值是 x y 250 270 0 xy xy x y 0 x y34xy A 14 B 16 C 17 D 19 6 若 则0 2 0 2 1 cos 43 3 cos 423 cos 2 A B C D 3 3 3 3 5 3 9 6 9 7 若为实数 则 是的 a b01mab 11 ab ba 或 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 8 已知椭圆与双曲线有公共的焦点 的一条渐近线与以 22 1 22 1 0 xy Cab ab 2 2 1 1 4 y Cx 1 C 的长轴为直径的圆相交于两点 若恰好将线段三等分 则 1 C A B 1 CAB A B C D 2 13 2 a 2 13a 2 1 2 b 2 2b 9 有 5 本不同的书 其中语文书 2 本 数学书 2 本 物理书 1 本 若将其随机的并排摆放到书架的同 一层上 则同一科目的书都不相邻的概率 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 10 设 a b c 为实数 f x x a 记集合 S 22 1 1 xbxc g xaxaxbx 若 分别为集合元素 S T 的元素个数 则下 0 0 x f xxRTx g xxR ST 列结论不可能的是 A 1 且 0 B ST1T 1S 且 C 2 且 2 D 2 且 3STST 二 填空题 本大题共 7 小题 每小题 4 分 共 28 分 11 若函数为偶函数 则实数 2 f xxxa a 12 若某程序框图如图所示 则该程序运行后输出的 k 的值是 13 设二项式 x 6 a 0 的展开式中 X 的系数为 A 常数项为 B a x 若 B 4A 则 a 的值是 14 若平面向量 满足 1 1 且以向量 为邻边的 平行四边形的面积为 则 与 的夹角的取值范围是 1 2 15 某毕业生参加人才招聘会 分别向甲 乙 丙三个公司投递了个人简历 假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为 得到乙丙公司面试的概率为 且三个公司是否让其面试是相互独立的 记 2 3 p X 为该毕业生得到面试得公司个数 若 则随机变量 X 的数学期望 1 0 12 P X E X 16 设为实数 若则的最大值是 x y 22 41 xyxy 2xy 2 17 设分别为椭圆的左 右焦点 点在椭圆上 若 则点的坐标 12 F F 2 2 1 3 x y A B 12 5F AF B A 是 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 18 14 分 在中 已知且 ABC sinsinsin ACpB pR 2 1 4 acb 当时 求的值 若角为锐角 求 p 的取值范围 5 1 4 pb a cB 19 14 分 已知公差不为 0 的等差数列的首项为 a 设数列的前 n 项和为 且 n a 1 aaR n S 1 1 a 成等比数列 1 求数列的通项公式及 2 1 a 4 1 a n a n S 2 记 当时 试比较与 123 1111 n n A SSSS 2 12 22 1111 n n B aaaa 2n n A 的大小 n B 20 15 分 如图 在三棱锥中 D 为 BC 的中点 PO 平面 ABC 垂足 O 落PABC ABAC 在线段 AD 上 已知 BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 证明 AP BC 在线段 AP 上是否存在点 M 使得二面角 A MC B 为直二面角 若存在 求出 AM 的长 若 不存在 请说明理由 21 15 分 已知抛物线 圆 的圆心为点 M 1 C 3 xy 2 C 22 4 1xy 求点 M 到抛物线的准线的距离 1 c 已知点 P 是抛物线上一点 异于原点 过点 P 作圆的两条切线 交抛物线于 A B 1 c 2 c 1 c 两点 若过 M P 两点的直线 垂直于 AB 求直线 的方程ll 22 14 分 设函数Raxaxxf ln 2 I 若的极值点 求实数 xfyex 为a II 求实数的取值范围 使得对任意的 恒有成立 注 为自然对数a 3 0 ex 4 2 exf e 的底数 参考答案 3 一 选择题 本大题考查基本知识和基本运算 每小题 5 分 满分 50 分 BADDBCACBD 二 填空题 本题考查基本知识和基本运算 每小题 4 分 满分 28 分 11 0 12 5 13 2 14 15 16 17 5 66 5 3 2 10 5 0 1 三 解答题 本大题共 5 小题 共 72 分 18 本题主要考查三角变换 正弦定理 余弦定理等基础知识 同时考查运算求解能力 满分 14 分 I 解 由题设并利用正弦定理 得 5 4 1 4 ac ac 解得 1 1 41 1 4 a a c c 或 II 解 由余弦定理 222 2cosbacacB 2 2222 2 22cos 11 cos 22 31 cos 22 acacacB p bbbB pB 即 因为 2 3 0cos1 2 2 Bp 得 由题设知 6 0 2 2 pp 所以 19 本题主要考查等差数列 等比数列 求和公式 不等式等基础知识 同时考查分类讨论思想 满 分 14 分 I 解 设等差数列的公差为 d 由 n a 2 214 111 aaa 得 2 111 3 ada ad 因为 所以所以0d da 1 1 2 nn an n ana S II 解 因为 所以 12 11 1 n Sa nn 123 111121 1 1 n n A SSSSan 因为 所以 1 1 2 2 n n aa 21 12 22 1 1 1111121 2 1 1 2 1 2 n n n n B aaaaaa 当 012 2 21 nn nnnn nCCCCn 时 即 11 11 12nn 所以 当0 nn aAB 时 当0 nn aAB 时 20 本题主要考查空是点 线 面位置关系 二面角等基础知识 空间向量的应用 同时考查空间想 象能力和运算求解能力 满分 15 分 方法一 I 证明 如图 以 O 为原点 以射线 OP 为 z 轴的正半轴 建立空间直角坐标系 O xyz 则 0 0 0 0 3 0 4 2 0 4 2 0 0 0 4 OABCP 由此可得 所以 0 3 4 8 0 0 APBC 0AP BC 即APBC APBC II 解 设 1 0 3 4 PMPAPM 则 BMBPPMBPPA 4 2 4 0 3 4 4 23 44 4 5 0 8 0 0 ACBC 4 设平面 BMC 的法向量 1111 nx y z 平面 APC 的法向量 2 n 222 xyz 由 1 1 0 0 BM n BC n 得 111 1 4 23 44 0 80 xyx x 即 1 1 11 0 23 0 1 23 44 44 x n zy 可取 由即 2 2 0 0 AP n AC n 22 22 340 450 yz xy 得 22 2 22 5 4 5 4 3 3 4 xy n zy 可取 由 12 23 0 430 44 n n 得 解得 故 AM 3 2 5 综上所述 存在点 M 符合题意 AM 3 方法二 I 证明 由 AB AC D 是 BC 的中点 得ADBC 又平面 ABC 得PO POBC 因为 所以平面 PAD POADO BC 故 BCPA II 解 如图 在平面 PAB 内作于 M 连 CM BMPA 由 I 中知 得平面 BMC APBC AP 又平面 APC 所以平面 BMC平面 APC AP 在 222 41 41 Rt ADBABADBDAB 中得 在 222 Rt PODPDPOOD 中 在 222 Rt PDBPBPDBD 中 所以 2222 36 PB 6 PBPOODDB 得 在 222 Rt POA 25 5 PAAOOPPA 中得 又 222 1 cos 23 PAPBAB BPA PA PB 从而 PM 所以 AM PA PM 3 cos2PBBPA 综上所述 存在点 M 符合题意 AM 3 21 本题主要考查抛物线的几何性质 直线与抛物线 圆的位置关系等基础知识 同时考查解析几何 的基本思想方法和综合解题能力 满分 15 分 I 解 由题意可知 抛物线的准线方程为 1 4 y 所以圆心 M 0 4 到准线的距离是 17 4 II 解 设 222 001122 P x xA x xB x x 则题意得 0012 0 1 xxxx 设过点 P 的圆 C2的切线方程为 2 00 yxk xx 即 2 00 ykxkxx 则 2 00 2 4 1 1 kxx k 即 22222 0000 1 2 4 4 10 xkxxkx 设 PA PB 的斜率为 则是上述方程的两根 所以 1212 k k kk 12 k k 222 000 1212 22 00 2 4 4 1 11 x xx kkk k xx 将 代入 222 00 0 yxxkxkxx 得 5 由于是此方程的根 0 x 故 所以 110220 xkx xkx 2222 00012 121200 2 1200 2 4 4 22 1 ABMP x xxxx kxxkkxx k xxxx 由 得 MPAB 22 000 0 2 00 2 4 4 2 1 1 ABMP x xx kkx xx 解得 2 0 23 5 x 即点 P 的坐标为 23 23 55 所以直线 的方程为l 3 115 4 115 yx 22 本题主要考查函数极值的概念 导数运算法则 导数应用 不等式等基础知识 同时考查推理论 证能力 分类讨论分析问题和解决问题的能力 满分 14 分 I 解 求导得 2 2 ln 2ln1 xaa fxxaxxax xx 因为的极值点 xef x 是 所以 3 0 a feea e 解得经检验 符合题意 3aeae 或 所以3 aeae 或 II 解 当时 对于任意的实数 a 恒有成立 01x 2 04f xe 当时 由题意 首先有 13xe 22 3 3 ln 3 4feeaee 解得 22 33 ln 3 ln 3 ee eae ee 由 I 知 2ln1 a fxxax x 令 2ln1 1 10 2ln0 a h xxhah aa x 则 且 2 3 ln 3 3 2ln 3 12ln 3 1 33 e e ea heee ee 1 2 ln3 0 ln3 e e 又内单调递增 0 h x 在 所以函数内有唯一零点 0 h x 在 记此零点为 000 13 1 xxexa 则 从而 当时 0 0 xx 0 fx 当 0 0 xx afx 时 当时 xa 0 fx 即内单调递增 在内单调递减 0 0 f xx在 0 x a 在内单调递增 a 所以要使恒成立 只要 2 41 3f xexe 对 22 000 22 ln4 1