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高中数学论文春风化物，复习亦美 例谈高考二轮复习中的对称思想【摘要】本文分代数和几何两个方面探讨了对称性在高考二轮复习中的应用，涉及了函数的对称性、方程的对偶式、不等式的对称式，几何中运用对称性求最值、解决对称点、中点弦等问题，旨在对对称性在高考中的应用作一个初步的探究。【关键词】对称美，零点，反函数，对称式，基本不等式，中点弦对称美是数学美的特征之一，教师如果能在教学中有意识地引导学生探索、感悟对称之美，就能让学生能有意识地运用对称思想去思维，主动地用对称的眼光思考数学学科，不仅在解题时能找到简洁漂亮的解法，在对数学的理解上也能愈加透彻和深入。研究对称在高中数学教学中的意义。 （一）渗透美学教育，提高学习兴趣不少学生认为学习数学是一种负担，是复杂繁琐的推理、枯燥无味的计算。到了高三早陷入了厌恶数学的泥沼，复习没有主动性，作业不会便放弃。只有让学生感受到数学的魅力，体验到数学的简捷、对称、抽象之美，他们才能提高对数学的兴趣，从而内化为学习的动力。 （二）注重解题技巧，优化解题策略学生做题时喜欢按常理出牌，会选择常见的方法去解题，对于运算量大的题，他们可能会犯各种各样的错误。如果教师在平时能够引导学生注重审题，找到解决问题的最优方案后再下笔，往往能够起到事半功倍的作用。具有对称性的问题，从其结构出发，只要用心思考，往往不难发现一些简单的解题方法对称思想不仅仅是丰富解题技巧，在2013年高考对称思想的考查更是体现在多个省市的考卷中，考查的面也很广，由于对称问题缺乏系统性，又在高中数学的各个章节几乎都有所涉及，教师究竟该如何在高考复习中有系统地渗透对称思想，这是值得探究的一个方向。那就先让我们从两例2013 年高考试题谈起，从中寻找二轮复习中对称思想需要把握的考向。例1(2013重庆，理7)已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()。A B C D解析：圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|4，又C1关于x轴对称的点为C3(2，3)，所以|PC1|PC2|4的最小值为|C3C2|4，故选A例2（2013上海，春季理31）已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”。(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;(2)求函数 图像对称中心的坐标;(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”。判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明)。解析：(1)平移后图像对应的函数解析式为, 整理得, 由于函数是奇函数, 函数图像对称中心的坐标是。(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数。设则,即。 由不等式的解集关于原点对称,得。此时. 任取,由得, 所以函数图像对称中心的坐标是。(3)此命题是假命题. 举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数。修改后的真命题: “函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数。评述：以上两题分别运用了几何图形和函数图象的对称性来解决相关问题，对称在解题中的巧妙运用，一方面帮助学生们快速、准确地解答相关习题；另一方面，让他们感到数学原来如此简单，如此优美，继而提高他们复习中的积极性。对称是一个数学概念，学生所熟悉的有代数中的对称式，几何中的轴对称、中心对称、旋转对称等等，而对称性问题则是一类用运动的观点、运动的思想去研究图形位置变化或者图形性质的数学问题，有时在代数中若能运用，就更会有独到的效果。这类数学问题常常要运用“动”的思想去观察、分析、推理、猜想，在运动中寻找不变的量，从而发现规律，达到解决问题的目的。对称更是一种思想方法，在代数、几何中恰当的运用对称性解决问题，既可以减少一些繁琐的计算，使解题方法简洁明快，又可以拓展学生的解题思路，培养学生的思维能力。下面，本文将结合二轮复习中的冲刺模拟题，从不同角度整合高考中常见的几类对称问题，力求让学生在复习中能够从对称的美感出发，在谈“数”色变的枯燥解题中感受数学的魅力。一、代数中的对称思想 1.1以函数为载体的对称问题 函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质。“借助形的对称分析量的对称”这句话意味着数形结合思想的运用，很多蕴含了数形结合思想的考题都可以通过对称性来见微知著。例（2014创新冲刺卷一，理16）已知函数是偶函数，且，当时，则方程在区间-10,10上的解的个数是_。解析：由可知的图像关于对称，式子也可写成，根据偶函数的定义，从而推出是周期为4的函数。画出在时的图像。设，可知这是一个偶函数，图像关于y轴对称，在同一坐标系中作图，通过观察轴右侧图像，结合对称性可知答案为9个。函数与对称有关的性质可以从自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨。函数自身的对称性分为中心对称以及轴对称，中心对称可借助定理：函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是f (x) + f (2ax) = 2b。轴对称可借助定理：函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是f (a +x) = f (ax) 即f (x) = f (2ax)。上例正考查了函数自身的对称性。对于f (x)的探究，是把奇偶性、对称性、周期性这三大性质进行整合的过程。根据其内容上的特点，课堂上可以让学生自行推导如下定理：若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。 若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且2| ab|是其一个周期。若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称 （ab），则y = f (x)是周期函数，且4| ab|是其一个周期。这种融知识性、思想性、方法性、综合性于一体的复习教学，对形成相对完整的“双基”教学模块是比较有效的。 在2014高考复习冲刺卷中，数次出现此类与函数零点、方程的根相关的问题，恰恰都和函数的对称性有着千丝万缕的联系，教师在复习中可加入下列题组：练习1（2014创新冲刺卷四，文17）方程在-1,3上有四个不同的根，则_。解析：设两者都关于点（1,0）对称，设，根据对称性知答案为4。练习2（2014创新冲刺卷四，理7）函数，若实数满足，且，则下列式子成立的是（ ） 解析：两个函数均关于成中心对称图形，且，答案为D。不同函数对称性的探讨往往从以下定理出发，定理1：函数y = f (x)与y = 2bf (2ax)的图像关于点A (a ,b)成中心对称。定理2：函数y = f (x)与y = f (2ax)的图像关于直线x = a成轴对称。函数y = f (x)与ax = f (ay)的图像关于直线x +y = a成轴对称。函数y = f (x)与xa = f (y + a)的图像关于直线xy = a成轴对称。通过对试题的研究，笔者发现，课本中一笔带过的反函数对称性问题又再次重现。反函数问题就是一类特殊的不同函数对称问题。例（2014创新冲刺卷二，文14）设直线与直线关于直线对称，则_。答案为-4。例（2014创新冲刺卷四，理8）点P在函数图像上，点Q在函数图像上，则最小值为（ ）解析：两函数互为反函数，图像关于直线y=x对称，最终转化为与y=x平行的两切线距离问题求解。答案为A。评述：由互为反函数的函数y=f(x)和y=f-1(x)的图象关于直线y=x 对称可知，若点（a，b）在函数y=f(x)的图象上，则点（b，a）必在其反函数y=f-1(x)的图象上，反之亦然。1.2方程中的对偶式在已知函数类型的情况下，往往可以利用待定系数法或者根据函数的相关性质求出函数的解析式，这里不加赘述但是，当函数的类型未知，又如何来求函数的解析式呢？例：已知函数满足，求函数的解析式。解析：本题函数的类型未知，因而无法设出函数的解析式进而利用待定系数法求解，那如何下手呢？要用表示，可以把和看成两个未知数，把看成已知数，那就需要两个方程才可以解出那如何构造两个方程同时不增加未知数的个数呢？想到构造它的对偶式，用代替式中的，得由、两式，可解得此类题型经常把与、相关，构造对偶式借助方程组求解。1.3不等式中的对称式有关函数图像的对称问题我们已谈得比较多，而代数形态上的对称却很少涉及，在客观小题的训练中就缺少了一种巧妙的好方法。如果一道填空题就花费大量的时间像做解答题一样来解，往往使得解答题的答题时间变得很紧，得不偿失。我们可以在课堂中让学生了解对称式（把一个多项式的任意两个字母互换后，所得的多项式不变称这个多项式为对称式）。对称式的本质反应的是多元多项式中字母地位相同，一些对称式的代数问题，常用最简对称式a+b、ab表示将问题解决。我们不妨仔细观察最熟悉的基本不等式中“和定积最大”问题：已知正数，满足，求的最大值。如果将换成，将换成，等式并没有发生变化，所求量也没有发生变化，我们可以认为，和的地位是相同的，它们是广义的对称关系，那么显然不能对和中的任何一个有所偏袒，因而它们应该相等，即时，有最大值。 这样，一道常考题也有了新解法：若，且，则的最小值为 。我们从对称式角度思考，本题中交换，两个字母，题目并没有任何变化，从而它们是对称的，故当时，有最小值。教师亦可引入下题巩固学生关于对称式的认识，也可增长学生的探究能力。练习：在ABC中求证。解析：三角形中有隐形约束条件,只有当时才有最值。 方法上的对称、形式上的对称,确实能为我们获取信息打开通道，在几何方面，对称性则更为直观。如果我们能将球，圆，双曲线，椭圆，抛物线等的直观对称性应用到待解决的问题中去，那么就可以把陌生的和困难的问题转化为我们熟悉的容易的问题中来，从而有种“柳暗花明又一村”的感觉，达到化难为易的效果！二、几何中的对称思想例（2014创新冲刺卷二，理10）已知棱长为1的正方体，F是棱BC的中点，M是线段上的动点，则和的面积和的最小值是（ ）解析：答案为A。点M在面ABCD上的射影N在AF上，由此面积最小值问题转化为求的最小值，D点关于直线AF的对称点为E，也即当C,N,E三点共线时取得最小值。评述：本题表面上是立体几何的题目，实际上是考察的是解析几何中利用对称性求线段长度之和的最小值。2.1利用对称性解决线段和与差的最值问题例如已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y2=0，在直线l上求一点P。（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大，此类利用直线的对称知识及三角形三边的关系求距离的最值在一轮复习时已完成，解题通法是：设点关于直线的对称点为，设直线与直线相交于点。若在直线的同一侧，则最小；若在直线的异侧，则最大。 二轮复习作为提高，可将题目进行改编，如：已知点M（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小解析：如右图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小也可改变成函数题，与两点间的距离公式相结合。如求函数y=+的最小值.解析：因为y=+，所以函数y是x轴上的点P（x，0）与两定点A（0，3）、B（4，3）距离之和。y的最小值就是|PA|+|PB|的最小值。复习时不仅要关注知识间的相互联系也要注重学科间的相互渗透，大家可以结合物理光学知识中入射线和反射线关于法线对称的知识对题目进行改编，这里不再一一列举。其实，在很多几何题型当中，对称都彰显了其无穷的魅力，复习时可引入下题提高：函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，则（为坐标原点）的周长的最小值为 解析：作为填空题，如果能够注意到，函数的图象关于原点是对称的，那么点在第一象限或者第三象限，周长的最小值应该是一样的，所以可只考虑点在第一象限的情况；同时，函数的图象又是关于直线对称的，当点从点沿曲线向左或者向右移动时，线段的长度都逐渐增大，当点越来越接近轴或轴时，线段的长度趋向于，所以点的位置只可能沿曲线向对称轴移动，最终，当点落在时，的周长应该是最小的。2.2圆锥曲线中的对称问题2.2.1曲线上的对称点存在性问题在圆锥曲线解题时利用对称性引入参数，把要证明或求解的关系式转化为参数的关系式，最后消去参数，从而得到问题的解。利用对称性会更有利于我们解决简单参数问题。例：直线l经过点（1，1），若抛物线y2=x上存在两点关于直线l对称，求直线l斜率的取值范围。解析：设抛物线上关于直线l：y1=k（x1）对称的两点为（y12，y1）、（y22，y2）， =，1=k（1）y1+y2=k，y1y2=+，y1、y2是方程y2+ky+=0的两根.由=k24（+）002k0.这种解法比常规思路更胜一筹，更容易被人理解，运用了对称性来分析，避免了复杂的分析，从而使解题的思路清晰了，同时也简化了解题步骤，提高解题的速度。2.2.2中点弦问题的另类解法对于圆锥曲线的中点弦问题，我们往往采用传统方法以及点差法两种解题思路，例如：一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点M(1,1)，求直线AB的方程。解法一：利用传统做法，转化为二次问题，设出斜率写出直线点斜式，联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理解决。缺点是运算量较大。解法二：利用点差法，设弦的两端点坐标,代入曲线方程相减后分解因式,便可与弦所在直线的斜率及弦的中点联系起来。和解法一一样，都要考虑斜率存在性问题。另类解法：利用对称性，设椭圆上任意点的坐标为(x,y),点(x,y)关于弦AB的中点M(1,1)的对称点为(2-x,2-y)，且在椭圆4x2+9y2=36上，所以有4(2-x)2+9(2-y)2=36。两式相减即得4x+9y-13=0为直线AB的方程。中点弦所求直线方程问题实际上是求两个关于点P(x0,y0)对称的圆锥曲线的相交弦所在直线方程问题，用对称性解题运算量减小，且不需考虑斜率问题。这