25.1锐角的三角比的意义

1 教学单元分析教学单元分析 锐角三角比的意义和其值锐角三角比的意义和其值 适宜对象 九年级学生 设计者 胡文成 一 一 课程标准 学科要求与教学内容分析课程标准 学科要求与教学内容分析 内容分析 内容分析 锐角三角比是三角学的基础 本课题学习内容主要包括锐角三角比的概念和 特殊锐角三角比的值以及用计算器求任意锐角三角比 从相似三角形入手让学生经历锐角三 角比的概念的形成过程 用几何方法探求特殊锐角三角比的值 课标课标 中的相关表述 中的相关表述 在具体情景中引进锐角三角比 理解锐角三角比的概念 会 求特殊锐角的三角比值 会用计算器求锐角三角比的值 课标课标 中补充中补充 锐角三角比只涉及正弦 余弦 正切 余切 注重建立直角三角形 的边角关系 对三角比之间的关系不作要求 学科要求 考纲 学科要求 考纲 中要求 中要求 理解锐角三角比的概念 会求特殊锐角 30 45 60 的三角比的值 会用计算器求锐角的三角比的值 能根据锐角三角比的值 利用计算器求锐角的大小 核心概念 核心概念 锐角三角比 核心技能 核心技能 会求锐角三角比 二 二 标准具体化标准具体化 1 1 概念分解概念分解 一级二级三级 正切对边 邻边 余切邻边 对边 正弦对边 斜边 锐角三角比 余弦 邻边 斜边 2 2 技能分解技能分解 一级技能二级技能 领会阐述 复述 2 应用会 运用 三 三 学习目标学习目标 1 能根据正切 余切概念正确进行计算 2 能根据正弦 余弦概念正确进行计算能根据正弦 余弦概念正确进行计算能根据正弦 余弦概念正确进行计算 3 能推导并熟记能推导并熟记能推导并熟记 30 30 30 45 45 45 60 60 60 角的三角函数值 并能根据这些值说出对应的锐角角的三角函数值 并能根据这些值说出对应的锐角角的三角函数值 并能根据这些值说出对应的锐角 度数 能熟练计算含有度数 能熟练计算含有度数 能熟练计算含有 30 30 30 45 45 45 60 60 60 角的三角函数的运算式角的三角函数的运算式角的三角函数的运算式 四 四 重点 难点重点 难点 重点 理解正弦 正弦 正弦 余弦 正切 余切的概念 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计 算 难点 熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算 五 五 知识结构图知识结构图 锐角三角比 锐角三角比概念 特殊锐角三角比 正切 余切 正弦 余弦 30 度 45 度 60 度 六 六 学习过程学习过程 一 目标学习与自主诊断 一 目标学习与自主诊断 目标目标 1 1 能根据正切 余切概念正确进行计算 活动活动 1 1 1 1 观察观察 1 在 Rt ABC 中 C 90o A 30o BC 35m 求 CB 3 2 Rt ABC 使 C 90o A 45o 计算 A 的对边与邻边比 2 2 思考思考 通过上面的计算 你能得到什么结论 说明说明 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 3030o o 那么不管三角形的大小如何 这 那么不管三角形的大小如何 这 个角的对边与邻边的比值都等于个角的对边与邻边的比值都等于 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 4545o o 那么不 那么不 3 3 管三角形的大小如何 这个角的对边与邻边的比值都等于管三角形的大小如何 这个角的对边与邻边的比值都等于 1 1 3 3 讨论 讨论 一般地 当 A 取其他一定度数的锐角时 它的对边与邻边的比是否也是一个定值 活动活动 2 2 如图 Rt ABC 与 Rt A B C C DC A 90 A 那么与有什 CA BC AC DC 么关系 结论 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对边 与邻边的比是一个固定值 如图 在 Rt ABC 中 A B C 所对的边分别记为 a b c 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与邻边的 比叫做 A 的正切 记作 tanA 板书 tanA b a 的邻边 的对边 A A 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的邻边与对边的 比叫做 A 的余切 记作 cotA 板书 cotA A A 的 的 b a 活动活动 3 3 例题 1 在 Rt ABC 中 C 900 AC 3 BC 2 求 tanA 和 tanB 的值 解 在 Rt ABC 中 AC 3 BC 2 tanA 3 2 AC BC tanB 2 3 BC AC 例题 2 在 Rt ABC 中 C 900 BC 4 AB 5 求 cotA 和 cotB 的值 解 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 AB2 AC2 BC2 BC 4 AB 5 AC 345 2222 BCAB cotA 4 3 BC AC cotB 3 4 AC BC A B C A B C 4 3 3 问题拓展 问题拓展 在上题中 在同一个直角三角形中 A 的正切和余切有怎样的数量关系 B 是 A 的 余角 那么它们的正切 余切值之间有怎样的数量关系 说明说明 在在 Rt ABCRt ABC 中 中 A B 90 A B 90 则有则有 tanA cotA 1tanA cotA 1 tanA tanA Bcot 1 tanB tanB Acot 1 自我诊断 自我诊断 1 如图 在直角 ABC 中 C 90o 若 AB 5 AC 4 则 cotA A B C D 88 1 III 1 3 5 4 5 3 4 4 3 2 在 ABC 中 C 90 BC 2 tanA 则边 AC 的长是 2 3 A B 3 C D 88 1 III 2 13 4 35 目标目标 2 能根据正弦 余弦概念正确进行计算能根据正弦 余弦概念正确进行计算能根据正弦 余弦概念正确进行计算 活动活动 1 1 1 观察观察 1 在 Rt ABC 中 C 90o A 30o BC 35m 求 AB 2 Rt ABC 使 C 90o A 45o 计算 A 的对边与斜边的 比 2 2 思考思考 通过上面的计算 你能得到什么结论 通过上面的计算 你能得到什么结论 说明说明 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 3030o o 那么不管三角形的大小如何 这 那么不管三角形的大小如何 这 个角的对边与斜边的比值都等于个角的对边与斜边的比值都等于 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 在一个直角三角形中 如果一个锐角等于 4545o o 那么不 那么不 2 1 管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于 2 1 3 3 讨论 讨论 由上面的观察 我们可以得到什么结论 由上面的观察 我们可以得到什么结论 C B A 5 活动活动 2 如图 如图 Rt ABCRt ABC 与与 Rt A B C Rt A B C C DC A C DC A 90 90o o A A 那么 那么与与有什有什 BA BC AB CB 么关系么关系 结论 在直角三角形中 当锐角 A 的度数一定时 不管三角形的大小如何 A 的对边 与斜边的比是一个固定值 如图 在 Rt ABC 中 A B C 所对的边分别记为 a b c 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的对边与邻边的 比叫做 A 的正弦正弦 记作 sinA 板书 sinA c a 的斜边 的对边 A A 在 Rt ABC 中 C 90 我们把锐角 A 的邻边与对边的比叫做 A 的余弦余弦 记作 cosA 板书 cosA c b 的斜边 的邻边 A A 活动活动 3 例题 1 1 如图 在中 求 sinB cosB 的值 解 在中 22 BCABAC AB BC 63 AC 36 3 sinB 2 1 6 3 AB AC 2 2 cosB 2 2 2 1 6 3 AB BC 6 0 123 1 2 3 4 X Y P Q 2 在 Rt ABC 中 C 90 BC 6 sinA 求 cosA 和 tanB 的值 5 3 解 又 例题 2 在直角坐标平面中有一点 P 3 4 求 OP 与 x 轴正半轴的夹角的正切 正弦 和余弦的值 解 过点 P 向 x 轴引垂线 垂足为点 Q 则 OPQ 900 由点 P 的坐标为 3 4 得 OQ 3 QP 4 在 Rt OPQ 中 OP 5 43 2222 PQOQ tan 3 4 OQ PQ sin 5 4 OP PQ cos 5 3 OP OQ 3 3 问题拓展问题拓展 1 从定义可以看出与cosA 有什么关系 与呢 sin Asin Bcos A 满足这种关系的 与又是什么关系呢 利用定义及勾股定理你还能发现与的关系吗 再试A B sin Acos A 试看与和存在特殊关系吗 tan Asin Acos A 1 若 那么 或 90AB sin AcosBsin Bcos A 2 22 sincos1AA 3 sin tan cos A A A 自我诊断 自我诊断 3 在中 C 90 a b c 分别是 A B C 的对边 则有 88 2 III 3 A B C D 7 4 在中 C 90 如果那么的值为 88 2 III 4 A B C D 5 如图 P 是 的边 OA 上一点 且 P 点的坐标为 3 4 则 sin 88 2 III 5 目标目标 3 能推导并熟记能推导并熟记能推导并熟记 30 30 30 45 45 45 60 60 60 角的三角函数值 并能根据这角的三角函数值 并能根据这角的三角函数值 并能根据这 些值说出对应的锐角度数 能熟练计算含有些值说出对应的锐角度数 能熟练计算含有些值说出对应的锐角度数 能熟练计算含有 30 30 30 45 45 45 60 60 60 角的三角函数的运算式角的三角函数的运算式角的三角函数的运算式 活动活动 1 1 还记得我们推导正弦关系的时候所到结论吗 即 sin30 sin45 2 1 2 2 2 你还能推导出 sin60 的值及 30 45 60 角的其它三角函数值吗 3 讨论 画 30 45 60 的直角三角形 分别求 sin 30 cos45 tan60 的值 归纳结果 30 30 45 45 60 60 sinAsinA cosAcosA tanAtanA 活动活动 2 求下列各式的值 1 1 cos60 2 cos45 2 sin30 sin45 2 2 解 1 原式 22 1212 2 2222 111 1 422 8 2 原式 自我诊断 自我诊断 6 求下列各式的值 88 3 III 6 1 sin30 cos30 2 sin30 sin45 3 tan60 2sin45 2cos30 4 45tan30cos 2 3 30sin2 5 60cot60tan30cos 30cot 45sin 30sin 22 七 七 拓展延伸拓展延伸 一 目标巩固 一 目标巩固 7 在直角三角形中 各边都扩大 2 倍 则锐角 A 的正弦值与余弦值都 A 缩小 2 倍 B 扩大 2 倍 C 不变 D 不能确定 88 2 III 7 8 在 Rt ABC 中 C 900 BC 4 sinA 则 AC 88 2 III 8 5 4 A 3 B 4 C 5 D 6 9 若 A 是锐角 且 sinA 则 88 2 III 9 3 1 A 00 A 300 B 300 A 450 C 450 A 600 D 600 A 900 10 若 cosA 则 88 2 III 10 3 1 AA AA tan2sin4 tansin3 9 A B C D 0 7 4 3 1 2 1 11 在 ABC 中 A B C 1 1 2 则 a b c 88 3 III 11 A 1 1 2 B 1 1 C 1 1 D 1 1 232 2 12 在 Rt ABC 中 C 900 则下列式子成立的是 88 2 III 12 A sinA sinB B sinA cosB C tanA tanB D cosA tanB 13 已知 Rt ABC 中 C 90 AC 2 BC 3 那么下列各式中 正确的是 88 2 III 13 A sinB B cosB C tanB D tanB 2 3 2 3 2 3 3 2 14 点 sin60 cos60 关于 y 轴对称的点的坐标是 88 3 III 14 A B C D 3 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 二 难点突破 二 难点突破 15 在 Rt ABC 中 C 90 AB 5 AC 3 则 sinB 88 2 III 15 16 在 ABC 中 若 BC AB AC 3 则 cosA 88 2 III 16 27 17 在 ABC 中 AB 2 AC B 30 则 BAC 的度数是 2 88 2 III 17 18 如图 如果 APB 绕点 B 按逆时针方向旋转 30 后得到 A P B 且 BP 2 那么 PP 的长为 不取近似值 以下数据供解题使用 sin15 cos15 88 3 III 18 62 4 62 4 19 计算 88 3 III 19 sincoscottantan3060456030 10 20 计算 2 245904421 1 cossin 88 3 III 20 21 如图 1 在中 AD 是 BC 边上的高 ABCtancosBDAC 1 求证 AC BD 2 若 求 AD 的长 sinCBC 12 13 12 图 1 88 3 III 21 22 如图 2 已知中 求的面积 ABC CRt ACmBAC ABC 用的三角函数及 m 表示 图 2 88 3 III 22 三 能力拓展 三 能力拓展 23 已知在 ABC 中 A B 是锐角 且 sinA tanB 2 AB 29cm 则 S ABC 13 5 88 3 III 23 24 如果方程 2 430 xx 的两个根分别是 Rt ABC 的两条边 ABC 最小的角为 A 那么 tanA 的值为 88 1 I 24 25 直角梯形 ABCD 中 AB BC AD BC BC AD AD 2 AB 4 点 E 在 AB 上 将 CBE 沿 CE 翻折 使得 B 点与 D 点重合 则 BCE 的正切值为 88 1 I 25 11 26 如图 已知直线 1 l 2 l 3 l 4 l 相邻两条平行直线间的距离都是 1 如 果正方形 ABCD 的四个顶点分别在四条直线上 则sin 88 2 III 26 27 如图 等边三角形ABC中 D E分别为 AB BC边上的点 ADBE AE 与CD交于点 F AGCD 于点G 则 AG AF 的值为 88 3 III 27 28 因为 cos30 cos210 所以 cos210 cos 180 3 2 3 2 30 cos30 因为 cos45 cos225 所以 cos225 3 2 2 2 2 2 cos 180 45 猜想 一般地 当 为锐角时 有 cos 180 2 2 cos 由此可知 cos240 的值等于 8