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北 方 交 通 大 学1999-2000学年第二学期高等数学B（）期末考试试卷（B卷）答案一填空题（本题满分15分，每道小题3分），请将合适的答案填在空中 1函数 的定义域为 _ 2设二元函数由方程所确定，则 _ 3交换累次积分的顺序_ 4若，则级数在 _ 时发散 5设方程有特解，则它的通解为_ 答案： ，； ； ； ； 二选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效 1曲线： 在点处的切线一定平行于_ （A） 平面； （B） 平面； （C） 平面； （D）平面 2已知： 是一连接、两点的有向光滑曲线段，其中始点为，终点为，则 _ （A）； （B）； （C）； （D） 3设，则 _ （A） ； （B） ； （C）； （D） 4函数在处的幂级数展开式为_ （A） ； （B） ； （C） ； （D） 5设与是方程的_，则（与为任意常数）是该方程的通解 （A）两个不同的解 ； （B）任意两个解； （C）两个线性无关的解 ； （D）两个线性相关的解 答案： （D）； （D）； （B）； （C）； （C）三（本题满分7分） 设，其中函数具有二阶连续的偏导数，求 解： 3所以， 7四（本题满分7分） 计算 ，其中是由圆周及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域 解： 作极坐标变换 则有 2 5 7五（本题满分8分） 证明：曲面（为常数）上任意点处的切平面与三个坐标面所形成的四面体的体积为常数 解： 令 2则 ， ， 设为曲面上的任意一点，则在该点处的切平面方程为 4化为截距式，有所以，所求四面体的体积为 8即所求体积为常数 六（本题满分8分） 求微分方程 的通解 解： 原方程化为， 这是一个齐次方程，令，则，代入原方程，得 3分离变量，得积分，得，即 6代回原变量，得 ，因此所求通解为 8七（本题满分8分） 求函数的全微分，并研究在点处该函数的全微分是否存在？ 解： 当时， 3 3 在原点处， ， 则有 ，令，则有 所以，函数在点处不可微 8八（本题满分8分） 求三重积分其中是由曲线 绕轴旋转一周所成的曲面与平面所围成的立体 解： 作柱坐标变换， 1则有 4 8九（本题满分8分） 求幂级数的收敛域（端点情形要讨论） 解： 设， 则 ， 所以，收敛半径为， 4当时，级数为而 所以， 因此，级数发散 6同理，当时，级数也发散 7所以幂级数的收敛区间为 8十（本题满分8分） 设，试确定函数，使得曲线积分在或在的域内与路径无关，并求由点到的上述积分 解： 因为， 由于曲线积分在或在的域内与路径无关，因此 所以得微分方程 解此方程，得通解 4代入，得所以，所求函数为 5 又 8十一（本题满分8分） 利用Gauss（高斯）公式计算曲面积分 ，其中为球
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