广东省梅州市2020届高三数学上学期9月第一次质量检测试题文（含解析）.docx

广东省梅州市2020届高三数学上学期9月第一次质量检测试题 文（含解析）本试卷共4页，22小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知集合，则（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】求解出集合，根据并集的定义求得结果.【详解】 本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.设复数z满足，则（）A. B. 1C. D. 2【答案】B【解析】【分析】利用复数除法运算求得，根据模长定义求得结果.【详解】由题意得： 本题正确选项：【点睛】本题考查复数模长的求解，关键是能够利用复数的除法运算整理出复数.3.为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：参加场数01234567参加人数占调查人数的百分比8%10%20%26%18%12%4%2%估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是（）A. 参加活动次数是3场的学生约为360人B. 参加活动次数是2场或4场的学生约为480人C. 参加活动次数不高于2场的学生约为280人D. 参加活动次数不低于4场的学生约为360人【答案】D【解析】【分析】根据样本中的百分比代替总体中的百分比，从而可计算求得各选项中的学生数.【详解】参加活动场数为场学生约有：人，错误参加活动场数为场或场的学生约有：人，错误参加活动场数不高于场的学生约有：人，错误参加活动场数不低于场的学生约有：人，正确本题正确选项：【点睛】本题考查利用样本的数据特征估计总体的数据特征，属于基础题.4.已知双曲线，直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N，O为坐标原点若为直角三角形，则C的离心率为（）A. B. C. 2D. 【答案】A【解析】【分析】由双曲线的对称性可得渐近线方程，从而得到关系，进而求得关系，利用求得结果.【详解】为直角三角形，结合对称性可知，双曲线的渐近线为：即 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程.5.已知数列中，若数列为等差数列，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果【详解】依题意得：，因为数列为等差数列，所以，所以，所以，故选C【点睛】本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础6.已知，且，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解法一：由题意求出的值，然后代入求出结果；解法二：由两角差的余弦公式求出结果【详解】解法一：由，且得，代入得，=，故选C解法二：由，且得，所以，故选C【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值，较为基础7.如图，线段MN是半径为2圆O的一条弦，且MN的长为2.在圆O内，将线段MN绕N点按逆时针方向转动，使点M移动到圆O上的新位置，继续将线段绕点按逆时针方向转动，使点N移动到圆O上的新位置，依此继续转动点M的轨迹所围成的区域是图中阴影部分.若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分内的概率为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求解出阴影部分的面积，根据几何概型中面积型问题的求解方法求得结果.【详解】由题意得：阴影部分的面积：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中面积型问题的求解，关键是能够准确求解出阴影部分的面积，属于常考题型.8.在边长为等边中，点满足，则( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】结合题意线性表示向量，然后计算出结果【详解】依题意得：，故选D【点睛】本题考查了向量之间的线性表示，然后求向量点乘的结果，较为简单9.若函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果【详解】依题意得：函数在上单调递减，因为，所以，即，在上恒成立，所以，即，故选B【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法10.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图像可能是（ ）、A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：函数f（x）在x=2处取得极小值，所以时，；时，.所以时，；时，；时，.选C.考点：导数及其应用.11.已知过抛物线焦点F的直线与抛物线交于点A，B，抛物线的准线l与x轴交于点C，于点M，则四边形AMCF的面积为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过作于，作于，设，根据抛物线定义和长度关系可求得，进而得到，利用求得梯形的上下底边长和高，利用梯形面积公式求得结果.【详解】过作于，过作于设，则， ，本题正确选项：【点睛】本题考查抛物线中四边形面积的求解问题，关键是能够灵活运用抛物线的定义，得到图形中的等量关系，进而求得所需的线段长度.12.若关于的方程没有实数根，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】方程化为，令，求出函数的值域，只需令属于所求值域的补集即可得结果.【详解】因为不满足方程，所以原方程化为化为， ，令，时，；时，令，+0-递增递减当，即时，综上可得，的值域为，要使无解，则，即使关于的方程没有实数根的实数的取值范围是，故选A.【点睛】本题主要考查利用导数研究方程的根，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分13.若实数满足约束条件，则的最小值等于_【答案】【解析】【分析】先画出可行域，改写目标函数，然后求出最小值【详解】依题意，可行域为如图所示的阴影部分的三角形区域，目标函数化为：，则的最小值即为动直线在轴上的截距的最大值通过平移可知在点处动直线在轴上的截距最大因为解得，所以的最小值【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，一般步骤：画出可行域，改写目标函数，求出最值14.已知长方体的外接球体积为，且，则直线与平面所成的角为_【答案】【解析】【分析】先求出外接球的半径，结合题意找出线面角的平面角，然后计算出结果【详解】设长方体的外接球半径为，因为长方体的外接球体积为，所以, 即，因为，所以.因为平面，所以与平面所成的角为，在中，因为，所以，所以【点睛】本题考查了求线面角的平面角，通常要先找出线面角的平面角，然后结合题意解三角形求出角的大小，需要掌握解题方法15.将函数的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数图象，则_【答案】【解析】分析】根据平移后关于轴对称可知关于对称，进而利用特殊值构造方程，从而求得结果.【详解】向左平移个单位长度后得到偶函数图象，即关于轴对称关于对称 即： 本题正确结果：【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题，关键是能够通过平移后的对称轴得到原函数的对称轴，进而利用特殊值的方式来进行求解.16.已知数列的前项和为，且（为常数）若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为_【答案】【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数列为等比数列，从而得到，进而得到；利用可得到关于的不等式，解不等式求得的取值范围，根据求得结果.【详解】当时， ，解得：当且时，即：数列是以为首项，为公比的等比数列 ，解得：又 或满足条件的的取值集合为本题正确结果：【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用与的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到的通项公式，进而根据单调性可构造出关于的不等式，从而求得结果.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.在中，角，的对边分别是，.已知.（）求角的值；（）若，求的面积.【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（）由，利用正弦定理以及两角和与差的正弦公式可得，结合角的范围可得结果；（）由余弦定理可得，求出的值，利用三角形面积公式可得结果.【详解】（），由正弦定理可得，因为，.，.（），.【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.18.为了了解我市特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份20142015201620172018特色学校（百个）0.300.601.001.401.70（）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；（）求关于的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）参考公式： ，【答案】（I）相关性很强；（II），208个.【解析】【分析】（）求得，利用求出的值，与临界值比较即可得结论；（）结合（）根据所给的数据，利用公式求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； 代入线性回归方程求出对应的的值，可预测地区2019年足球特色学校的个数.【详解】（）， ，与线性相关性很强.（） ，关于的线性回归方程是.当时，（百个），即地区2019年足球特色学校的个数为208个.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；求得公式中所需数据；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.19.如图，三棱台的底面是正三角形，平面平面，.()求证：；()若和梯形的面积都等于，求三棱锥的体积.【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】【分析】（）取的中点为，连结，可证明四边形为平行四边形，得，由等腰三角形的性质得，可得，由面面垂直的性质可得平面，从而可得结果；（）由三棱台的底面是正三角形，且，可得，由此，.根据面积相等求得棱锥的高，利用棱锥的体积公式可得结果.【详解】（）取的中点为，连结.由是三棱台得，平面平面，.，四边形为平行四边形，.，为的中点，.平面平面，且交线为，平面，平面，而平面，.（）三棱台的底面是正三角形，且，.由（）知，平面.正的面积等于，.直角梯形的面积等于，.【点睛】本题主要考查面面垂直证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直以及棱锥的体积，属于中档题. 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20.已知直线与焦点为F的抛物线相切.（）求抛物线C的方程；（）过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值.【答案】（）（）【解析】【分析】（）联立和，利用即可求得，从而得到抛物线方程；（）设直线为，与抛物线联立后可利用韦达定理求得，进而得到；由中点坐标公式可求得中点；利用点到距离之和等于点到的距离的倍，可将所求距离变为关于的函数，求解函数的最小值即可得到所求距离之和的最小值.【详解】（）将与抛物线联立得：与相切 ，解得：抛物线的方程为：（）由题意知，直线斜率不为，可设直线方程为：联立得：设，则 线段中点设到直线距离分别为则 当时，两点到直线的距离之和的最小值为：【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用问题，涉及到根据直线与抛物线的位置关系求解抛物线方程、抛物线中的最值问题的求解等知识；求解最值的关键是能够将所求距离之和转变为中点到直线的距离，利用点到直线距离公式得到函数关系，利用函数最值的求解方法求得结果.21.已知函数.（）求的单调区间；（）若对于任意的（为自然对数的底数），恒成立，求的取值范围.【答案】（I）当时， 的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间是；（II）【解析】【分析】（）求出，分两种情况讨论，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（）对分四种情况讨论，分别利用导数求出函数最小值的表达式，令最小值不小于零，即可筛选出符合题意的的取值范围.【详解】（）的定义域为. .（1）当时，恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间；（2）当时，由解得，由解得.的单调递增区间为和，单调递减区间是.（）当时，恒成立，在上单调递增，恒成立，符合题意.当时，由（）知，在、上单调递增，在上单调递减.（i）若，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需，且.而当时，且成立.符合题意.（ii）若时，在上单调递减，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需即可，此时成立，符合题意.（iii）若，在上单调递增.对任意的实数，恒成立，只需，即，符合题意.综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，