高等代数考研历年试题.doc

此文档收集于网络，如有侵权，请联系网站删除复旦大学高等代数19981.,是复数.,0,0.证明: (I-)=I-,=0时必=0,时必0且 (15分)2.A=.为实数,.求 (10分)3.个实变量的二次型为2,它是否正定?说明理由. (15分)4.求A=的Jordan标准型和全体特征子空间. 5.实阵是初等反射阵,即,当且仅当正交相似于.证明之. (20分)6.是互质的实多项式. ,.(i) 证明：。(ii) 由（i）证：若且，则有非奇异阵，使 ,. (20分) 记号: 是实阵全体.是复阵全体.,分别是阵的转置和转置复共轭.是阵的零空间,即齐次方程组的解空间.方阵的特征子空间是,其中是的某个特征值.是单位阵. 是子空间的直接和.是阵的秩.复旦大学高等代数1999一、 概念题（不必写理由或计算过程）：（45分）1数域K上n阶反对称阵组成的K上线性空间的维数是（ ）。2欧氏空间中r个向量两两正交，它们是否线性无关（答是或否）。3欧氏空间中两个正交变换之和是否是正交变换（答是或否）。4上三角阵A是正交阵，则A必是阵。5欧氏空间上自共轭变换在标准正交基下的表示矩阵为阵。6已知8阶阵A的不变因子为1，1；（）（），（），写出A的Jordan标准型。7设是n维线性变换，V是否必是Ker和Im的直和？（ ）8已知V是K上小于4次的多项式全体组成的线性空间且，是V的一组基，向量在这组基下的坐标（写成行向量形式）为：。9写出K上4维列向量空间由下面矩阵决定的线性变换的一个2维不变子空间的基：（写在本题空白处）又，的核空间的维数为。10.求和的最大公因子( ).11.设dim V=n,dim U=m,是V到U的线性映射,若nm,则( )A.必不是单映射; B.必是满映射; C.必是单映射; D.必不是满映射;12.将n阶方阵A的行对换,再将列对换得矩阵B,则A与B( ) A.必相似; B.不相似; C无法判断;13.设A是n阶实对称矩阵,A的n个顺序主子式都不小于零是A为半正定阵的( ) A.充分条件; B必要条件; C.充要条件; D.既非充分又非充要条件;14.社是n维线性空间上的线性变换, ,是的全部不同特征值,是的特征子空间(=1,2,s),则dim+dim( ) (填,或=)二用初等变换法将下列二次型化为标准型并求出变换阵三设多项式是整系数多项式，,p是素数若p可以整除但不能整除且也不能整除，求证:是有理数域上的不可约的多项式（分）四是数域K上n阶矩阵且r (A)表示A的秩，求证：（分）五设是阶正交阵且，求证：必是奇异阵六设是数域上线性空间上线性变换的最小多项式，且和都是上不可约多项式,求证：存在的不变子空间使是和的直和且作为上的线性变换其最小多项式等于,作为上的线性变换其最小多项式等于（分）复旦大学高等数20001 求方阵 的逆阵。2 设为一个阶方阵且的秩等于的秩。证明的秩等于的秩。3 设为一个阶正交阵，为一组线性无关的列向量，对于都有。如果的行列式等于1，证明是单位矩阵。4 设是一个自然数，是由所有实矩阵构成的维实向量空间，和分别为由所有对称矩阵和反对称矩阵构成的空间。证明，既是和的直和。5 设为一个数域，为上以作为不定元的多项式全体所组成的集合。设，其中。假定是中的一个不等于零的数。证明可以表示成有限多个以下类型的矩阵的乘积：其中是中的非零数，而.复旦大学数学分析20001. 求极限: .2. 计算积分: .3. 设具有连续偏导数,满足,证明:必存在一点,满足方程.4. 计算积分: 其中区域.5. 问交错级数是否绝对收敛的话,请证明之;不一定收敛的话,请举出反例.6. 问关于在是否一致收敛?证明你的论断.7. 计算第二类曲线积分,其中,方向为.8. 利用Lagrange乘数法,求平面与椭球面所截的椭圆的面积.复旦大学数学分析20011. 求极限 （12分）2已知，证明分别在（上都是严格单调增加函数。 （12分） 3设收敛，问积分是否一定收敛？收敛的话，请证明之；不一定收敛的话，请举出反例。 （12分）4设是由隐函数确定，求表达式，并要求简化之。 （12分）5用乘数法，解在条件下的极值问题。（13分）6求曲面所围区域的体积。 （13分）7证明：（推导过程要说明理由）。 （13分）8将展开成余弦级数，并求级数的和。 （13分）清华大学硕士生入学考试试题专用纸高等代数准考证号 系别 数学科学系 考试日期 2003.01 专业 考试科目 高等代数 试题内容：一、（20分）设（X）=(X+1)4(X-1)3为复方阵A的特征多项式，那么A的Jordan标准型J有几种可能？（不计Jordan块的次序）二、（20分）设方阵AA在实数域R上是否相似域对角形（即有实方阵P使P-1AP为对角形）？在复数域C上呢？给出证明。三、（20分）判断以下论断是否成立，证明自己的判断：对任意n阶可逆方阵A，存在方阵P,L,T使得 PA=LT,其中P为对换方阵（即对换单位方阵I的某两行所得方阵）之积，L为下三角形方阵且对角线元素均为1，T为上三角形方阵。四、（20分）任给互异复数a,b和a0，a1，a2，b0，b1，b2是否存在多项式使得 (i=0,1,2)？证明之。（其中表示(X)的次微商在a的取值）五、（20分）设方阵，试求：（1）C的特征多项式(X)； （2）C的极小多项式m(X); (3)与方阵C（乘法）可交换的方阵全体C。六、（30分）1、设V是域F上n维线性空间，以V表示定义域V上的线性函数全体，试证明V对适当定义的运算是F上线性空间（称为对偶空间），求其维数dim V2设V1,V2为F上m,n维线性空间，:V1V2为线性映射，则有线性映射*:V1V2，（称为的伴随映射）。若对于V1,V2的某基的方阵表示为A，试在V1,V2的适当基下求的方阵表示A.3、当V1V2V为欧几里得空间时，上述化为何种形式？当V