讲题的四种境界

讲题的四种境界黄金声(江西省临川二中 344100) 讲题，是数学课堂的主旋律之一，如何讲题，是老师们必须面临的课题笔者经十余年的探索、积累，于2003年第一次提出了“讲题的四种境界”的理念，又经近几年的思考、归纳，试图通过本文从更深层次诠释、丰富这一独创理念，并期待得到同行的指点1 什么是“讲题的四种境界”?第一种境界：就题讲题，把题目讲清；(达成目标：一听就能懂)第二种境界：发散题目的多种解(证)法，拓展解题思路，把题目讲透；(达成目标：一点就能透)第三种境界：理清题目的诸多变化，以求探源奠基，把题目讲活；(达成目标：一时忘不了)第四种境界：探究题目之数学思想方法，以能力培养为终极目标，做题目的主人(达成目标：一用真有效)2 “讲题的四种境界”理念的基本内容与诠释21会解题会讲题会解题：针对自己存在的问题，结合自己的知识水平和能力水平，对题目所反映的信息进行处理其目的是为了求得自己的理解，并能顺利地讲完此题讲题后情景教师：我明明讲得很清楚，可学生还是说不懂!基础太差了!?学生：课堂上老师讲的我都懂了，为什么下来不会做题?教师：这就奇怪了，既然听懂了，怎么不会做题呢?悟性有问题!?教师再讲类似题，甚至将解题的每一个步骤更详细地写出来，然后再布置学生做题不信教不会(再不会就没救)!?会讲题：针对学生存在的问题，结合学生的知识水平和能力要求，对题目所反映的信息进行处理其目的是为了让学生更好地理解、消化、运用讲题前情景教师认真做题；教师反思自己的做题过程：我是怎样思考的?做题过程中遇到哪些障碍?学生在思考过程中会遇到哪些障碍?怎样讲才会使学生更容易接受?在一次习题课的课前准备时，有如下一道题引起了我的注意：题1 如图，将一张长方形纸片翻折，则图中重叠部分是 三角形 答案很简单：等腰三角形由此引起了我的疑问：答案为什么不可以是钝角三角形?是等腰三角形吗?是不是随便一折都是等腰三角形?于是，我拿了一张长方形纸片动手折了起来结果发现，重叠部分可以是钝角三角形、锐角三角形、直角三角形，但都是等腰三角形，当然，还可以折出等边三角形如图所示： 而要判断三角形形状的变化，只要抓住图中的变化就轻松搞定，即： 当时，是锐角三角形； 当时，是钝角三角形； 当=时，是等腰直角三角形，当=时，是等边三角形在讲题时，如果把这些变化融进去，不是更能体现本题的价值吗?从思想方法上看，三角形形状变化体现“分类思想”，而三角形形状发生变化的原因是由的变化引起的，这又体现了“转化思想”，还有“从特殊到一般思想”、“空间观念”、“图形的轴对称”等等2007年1月10日和9月20日，我以“一张长方形纸片：折出你的思维”为题，分别在抚州市金溪县第二中学和赣州市崇义县横水中学上了这节课，从课后教师的点评看，反映还是不错的这说明，我对这道填空题的探究得到了同行的肯定22 清楚懂会清楚：是“分得开”，是教师的讲解可以使学生把事理“分开”了，但是还没有“连上”，即没有把“分开”的东西和学生已知的、熟悉的、可接受的东西连接起来其讲题效果达到了第一种境界或第二种境界懂：是“连得上”，是教师的讲解能使学生把题目中所涉及的综合的、不熟悉的“知识结”分解为已知的、熟悉的、可接受的“点”，又能在这些点之间找到已知的、熟悉的、可接受的“线”其讲题效果达到了第二种境界或第三种境界会：是通过教师的讲解能使学生在“连得上”的基础上对相关知识进行联络、梳理、发散和拓展，从而培养了学生思维的广阔性和深刻性，并使学生具备了较强的自主探究能力其讲题效果达到了第三种境界或第四种境界题2 (2007常州)已知，如图，正方形的边长为6，菱形的三个顶点、分别在正方形边、上，连接 (1)当时，求的面积； (2)设，用含的代数式表示的面积； (3)判断的面积能否等于1，并说明理由 讲题分析 第(1)问中“”寓意于，即，且又由菱形可得点 (或)此时位于边上，由此可知，四边形(菱形) 已特殊化为正方形所以，的面积等于的面积第(2)问中“”是让菱形一般化由于可推知中，所以，作出边上的高就成为一种必然由图形的对称性可知，应连接，通过证明，得第(3)问是借助试题中“菱形的两个顶点、分别在正方形边、上”的限制作用由第(2)问可知，是一个定值，则的大小就限制了的面积因为，所以，即点不可能与点重合(的最小值为0，即的最小值等于)点不能与点重合(即的最大值等于)这样通过求出的值并由此求出 (或)的值就可以正确判断的面积能否等于1了讲题反思 1 第(1)问中证明“四边形(菱形) 为正方形”非常困难，原答案也只用同理可证模糊了事，能否消除这个逻辑性障碍? 2 第(2)问中“连接”是学生解题的一个难点，但这一难点的突破没有在试题(或解题)中得到暗示同时，试题中连接有些不流畅 3 研究发现：由于点是随着点、的位置变化而变化的，虽然点到的距离，是一个定值，但点到的距离却在一定范围内发生变化 为了彰显本题图形背景中的核心思想“特殊一般特殊”，可将本题图形置于平面直角坐标系的背景中，以探究动态菱形中点的位置变化为主线，改编成下题： 题3如图，正方形的边长为6以直线为羽轴、为轴建立坐标系菱形的三个顶点、分别在正方形边、上，已知(1)如图甲，当点在边上时，求点的坐标；(2)设请在图乙中探索：用含的代数式表示点的坐标；(3)设点的横坐标为问：有无最大值和最小值?若有，请求出；若无，请直接作否定的判断，不必说明理由 (思考：正方形可以作怎样的改变?将正方形置换成矩形可以吗?平行四边形呢?梯形呢?)23 应该有=想有+可能有一般说来，教师不会把学生完全没有学的、学生现有知识能力水平无法企及的题目拿给学生做，那么为何有的学生却可能对题目(难题)无从下手呢?此时学生的心态是怎样的呢?教师面对这种情况又该怎样做呢?想有：人的需要、欲望、感情是普遍存在的，学生也不例外，此时教师应该尽其所能激发起学生的需要和突破难题的欲望，并使他们初步感受到这种需要所能带来的那种快感可能有：当学生感觉到利用已有知识能做而又做不出来的时候，此时教师的启发和点拨就显得至关重要根据本人的思考，教师的启发与点拨可从以下几方面人手：1 从学生已有知识中“启”：温故而知新，以达承前启后、承上启下的目的；2 从学生知识的盲点处“启”：盲即模糊，或遗忘，此时善意的提醒、引导就成为解决问题的必要手段；3 从知识的关键点“启”：一语点醒梦中人，顿悟、恍然大悟、大彻大悟由此产生；4 从知识的最近发展区“启”：因势利导，顺水推舟，正所谓“唯有源头活水来”；5 有时教师的一个手势、一副表情、一点鼓励、一种暗示就会使学生冲破迷雾，思如泉涌，此时师生之思之想已如水乳交融，浑然天成应该有：当学生取得成功后，其喜悦的心情是难以言表的，在今后的学习中，就会更加主动地去透视题目中的各种潜在因素，即使在遇到困难时，也会坚定必胜的信念，这便是教师讲题应达到的成功境界题4 (2006安徽)如图，直线过正方形的顶点，点、到直线的距离分别是1和2，则正方形的边长是 讲题分析1 利用和两个已知条件，证明RtRt，得2 利用勾股定理求出正方形的边长讲题反思1 正方形的顶点看起来是否“很孤单”如图l，能否求出点到直线的距离?()2 正方形是否“摇摇欲坠”?将图形特殊化：如图2，令，且则，3 观察、比较上面两题中、的大小，你发现了什么?()如图3，你能证明这个结论具有一般性吗?作于点，可证：四边形是矩形，则：由，可得4 让直线动起来!如图4，可证，得，即点、到直线的距离之和与点、到直线的距离之和相等思考直线的位置若再发生变化，还有类似的结论吗?你能总结出一般规律吗?5 如图5，连接，你能利用图形证明勾股定理吗?24 讲题的最高境界=授之以法+培之以能+强之以心对应于“讲题的四种境界”，一个合格的教师，其讲题的效度大致有以下四种水平层次：正确：内容正确熟练，进度适中贴切，板书工整得当，讲话清晰从容易懂：外在关系注意铺垫呼应，内在联系注意区分主次，化难为易注意方式方法，关键突破注意把握时机独到：说之以理见技巧，动之以情见门道，感之以美见艺术，启之以需见奥妙固顶：授之以法，培之以能，强之以心授之以法：关注通性通法，做到深入浅出，让学生易学培之以能：引导数学思考，激发学习欲望，让学生想学强之以心：鼓励提出问题，强调自主探究，让学生会学题7 正方形中，是边上任意一点(不与点重合)，是延长线上一点，连接，作，交的平分线于点(1)如图1，当是的中点时，求证：；(2)如图2，当不是的中点时，(1)中的结论还成立吗?说明理由 证法探究 作，证RtRt；在上取一点，满足，证RtRt逆向思维：若，则成立吗?类比拓展：在正多边形中，类似本题的结论是否也成立?(类比联想)问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图1，两个全等正三角形的其中一边完全重合，点是边上任意一点(不与点重合)若，则如图2，两个全等正方形的其中一边完全重合，点是边上任意一点(不与点重合)若，则然后运用类比的思想提出了如下的命题：如图3，两个全等正五边形的其中一边完全重合，点是边上任意一点(不与点重合)若么，则任务要求(1)请你从、三个命题中任意选择一个进行证明；(2)请你继续完成下面的探索：如图4，两个全等正 (3)边形其中一边完全重合，点是边上任意一点(不与点重合)问：当么等于多少度时，结论成立(不要求证明)?如图5，两个全等正六边形的其中一边完全重合，点是边的中点当时，点是的中点吗?说明理由(拓展延伸)如图，正方形与正方形中，边完全重合，连接将直角三角形的直角顶点在直线上滑动(不与点、重合)，其中一条直角边始终经过点，另一条直角边交直线于点，作，交直线于点(1)如图1，顶点是的中点求证：；求证：点是的中点(2)设正方形的边长为1，求丽的值综上所述，教师在讲题前既要从自己做题的角度去揣摩习题，还要以学生做题的角度去思考习题，更要以命题者的角度去审视题目，只有这样，才能最大限度的挖掘习题的潜能，提高讲题的效率能把复杂的问(习)题简单化就是完美，能把简单的问(习)题深刻化就是杰出!让我们共同努力，使自己体验讲题的快乐，让学生在倾听讲题的快乐中享受数学之美!参考文献杜和戎讲授学(M)北京华语教学出版社，2007一、数学教学不能只凭经验从经验中学习是每一个人天天都在做而且应当做的事情，然而经验本身的局限性也是很明显的，就数学教学活动而言，单纯依赖经验教学实际上只是将教学实际当作一个操作性活动，即依赖已有经验或套用学习理论而缺乏教学分析的简单重复活动；将教学作为一种技术，按照既定的程序和一定的练习使之自动化。它使教师的教学决策是反应的而非反思的、直觉的而非理性的，例行的而非自觉的。这样从事教学活动，我们可称之为“经验型”的，认为自己的教学行为传递的信息与学生领会的含义相同，而事实上这样往往是不准确的，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、这会社会阅历等方面的差异使得这样的感觉通常是不可靠的，甚至是错误的。二、理智型的教学需要反思理智型教学的一个根本特点是“职业化”。它是一种理性的以职业道德、职业知识作为教学活动的基本出发点，努力追求教学实践的合理性。从经验型教学走向理智型教学的关键步骤就是“教学反思”。对一名数学教师而言教学反思可以从以下几个方面展开：对数学概念的反思、对学数学的反思、对教数学的反思。1. 对数学概念的反思学会数学的思考对于学生来说，学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考，用数学的眼光去看世界。而对于教师来说，他还要从“教”的角度去看数学，他不仅要能“做”，还应当能够教会别人去“做”，因此教师对教学概念的反思应当从逻辑的、历史的、关系的等方面去展开。简言之，教师面对数学概念，应当学会数学的思考为学生准备数学，即了解数学的产生、发展与形成的过程；在新的情境中使用不同的方式解释概念。2.对学数学的反思当学生走进数学课堂时，他们的头脑并不是一张白纸对数学有着自己的认识和感受。教师不能把他们看着“空的容器”，按照自己的意思往这些“空的容器”里“灌输数学”这样常常会进入误区，因为师生之间在数学知识、数学活动经验、兴趣爱好、社会生活阅历等方面存在很大的差异，这些差异使得他们对同一个教学活动的感觉