高中数学解题中“主元思想”的应用.doc

高中数学解题中“主元思想”的应用在数学解题中常用到“主元思想”，所谓“主元思想”，即是指在含有两个或两个以上字母的问题的解决过程中，选择其中一个字母作为研究的主要对象，视为“主元”，而将其余各字母视作参数或常量，来指导解题的一种思想方法这一思想方法运用的核心是确定“主元”、选择“主元”，在多变量问题的解题中一旦选对了“主元”，等价于战斗中选择准了主攻方向下面利用两道例题的分析和解题研究来简单介绍一下应该如何运用“主元思想”和如何选择解题中的“主元”：例1设不等式mx22xm+10对满足m2的一切m都成立，求x的取值范围分析1可以将原不等式化为（x21）m2x1，采用分离变量法，视为主元，通过讨论x21的符号来求解解答1（1）当x21=O即x=1时，成立2x1O，x=1；（2）当x210即x1或x1时，由式得m，由题意知2，由此得不等式组，解得1x；（3）当x210即1x1时，由得m，由题意知2，由此得不等式组，解得x1；综上可知：x分析2视m为主元，将原不等式看成关于m的不等式，进而将不等式的左边看成关于m的函数，利用函数的性质解题解答2设f（m）=（x21）m+12x，则m2时，恒有f（m）0，解得点评上述两种解法都运用了“主元思想”，但从解题过程来看，视m为主元比视x为主元要简便得多事实告诉我们，若能稍微改变一下思维习惯，在含有多个变量的问题中，合理运用“主元思想”，优先考虑如何选择主元是十分必要的例2设a、b、c、d是实数，且满足（a+b+c）22（a2+b2+c2）+4d，求证：ab+bc+ac3d分析原不等式为关于a、b、c的对称轮换式，若能证明abd，则同理可证bcd，acd，从而命题得证三个变量在解题中具有等同地位，谁可以作为主元？由于题设中的不等式可变形为c22（a+b）c+a2+b22ab+4d0，从变形的结构形式看，此时可以视c为主元，构造函数f（x）=x22（a+b）x+a2+b22ab+4d，进而通过研究该函数的性质来帮助寻找与的不等关系解答如分析中所设，易知f（x）是开口向上的抛物线，f（c）0，从而抛物线与x轴有交点，=4（a+b）24（a2+b22ab+4d）0，即 abd，同理，若分别视a、b为主元，则可证得bcd，acd，ab+bc+ac3d，证毕点评对于含有多个变量的等式或不等式，可以运用“主元思想”来指导对式子的整理和变形，从多个变元中选择出一个作为主元，可以使我们的研究目标更加清晰，以便于在纷繁复杂的关系中理出头绪许多看似复杂、困难的问题，运用这样的思想方法去求解，常常可以收到“避虚就实、变繁成简，化难为易”的解题效果最后给出两个问题留给读者作为练习：（1）已知a、b、cR，a+b+c=0，abc=1，求证a、b、c中至少有一个大于（2）已知k=a+x=b+y=c+z，a，b，c，x，y，z均为正数，求证：ay+bz+cxk2参考解答：（1）由a+b+c=0得b=-a-c代入abc=1中，得-ac（a+c）=1ac2+a2c+1=0，将该式视C为未知数（主元）的方程，则=a4-4a0，a0，a，若在该式视a为主元，则可得c，故原命题成立（2）由条件可知x=ka，y=kb，z=kc，k0，a、b、c （0，k），记f（a）=ay+bz+cx，则将x，y，z代入后得：f（a）=（k-b-c）a+bk+ck-bc（0ak），其中0b，ck，当b+ck时，f（a）f（o）=bk+ck