第八章 组合变形

第八章组合变形 Chapter8Combineddeformation 材料力学 MechanicsofMaterials 第八章组合变形 Combineddeformation 组合变形 一 组合变形的概念 Conceptsofcombineddeformation 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形 则构件的变形称为组合变形 二 解决组合变形问题的基本方法 叠加法 Basicmethodforslovingcombineddeformation superpositionmethod 叠加原理的成立要求 内力 应力 应变 变形等与外力之间成线性关系 8 1组合变形和叠加原理 Combineddeformationandsuperpositionmethod 三 工程实例 Engineeringexamples 1 外力分析 Analysisofexternalforce 将外力简化并沿主惯性轴分解 将组合变形分解为基本变形 使之每个力 或力偶 对应一种基本变形 3 应力分析 Stressanalysis 画出危险截面的应力分布图 利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加 建立危险点的强度条件 四 处理组合变形的基本方法 Basicmethodforsolvingcombineddeformation 2 内力分析 Analysisofinternalforce 求每个外力分量对应的内力方程和内力图 确定危险截截面 分别计算在每一种基本变形下构件的应力和变形 一 受力特点 Characterofexternalforce 杆件将发生拉伸 压缩 与弯曲组合变形 作用在杆件上的外力既有轴向拉 压 力 还有横向力 二 变形特点 Characterofdeformation 8 2拉伸 或压缩 与弯曲的组合 Combinedaxialloadingandbending F1产生弯曲变形 F2产生拉伸变形 Fy产生弯曲变形 Fx产生拉伸变形 示例1 示例2 三 内力分析 Analysisofinternalforce 横截面上内力 Internalforceoncrosssection 2 弯曲 1 拉 压 轴力FN Axialforce 弯矩MZ Bendingmoment 剪力FS shearforce 因为引起的剪应力较小 故一般不考虑 横截面上任意一点 z y 处的正应力计算公式为 四 应力分析 Analysisofstress 1 拉伸正应力 Axialnormalstress 2 弯曲正应力 Bendingnormalstress 轴力 Axialforce 所以跨中截面是杆的危险截面 F2 F2 l 2 l 2 3 危险截面的确定 Determinethedangercrosssection 作内力图 弯矩 Bendingmoment 拉伸正应力 最大弯曲正应力 杆危险截面下边缘各点处上的拉应力为 4 计算危险点的应力 Calculatingstressofthedangerpoint F2 F2 l 2 l 2 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时 应分别建立杆件的抗拉 抗压强度条件 五 强度条件 Strengthcondition 由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态 故其强度条件为 例题1悬臂吊车如图所示 横梁用20a工字钢制成 其抗弯刚度Wz 237cm3 横截面面积A 35 5cm2 总荷载F 34kN 横梁材料的许用应力为 125MPa 校核横梁AB的强度 F A C D 1 2m 1 2m B 30 AB杆为平面弯曲与轴向压缩组合变形 中间截面为危险截面 最大压应力发生在该截面的上边缘 解 1 分析AB的受力情况 F A C D 1 2m 1 2m 30 B 2 压缩正应力 3 最大弯曲正应力 4 危险点的应力 B A D F FRAy FRAx F A C D 1 2m 1 2m 30 B 例题2小型压力机的铸铁框架如图所示 已知材料的许用拉应力 t 30MPa 许用压应力 c 160MPa 试按立柱的强度确定压力机的许可压力F 350 F F 50 50 150 150 解 1 确定形心位置 A 15 10 3m2 Z0 7 5cm Iy 5310cm4 计算截面对中性轴y的惯性矩 350 F F 50 50 150 150 2 分析立柱横截面上的内力和应力 在n n截面上有轴力FN及弯矩My n n 350 F F 50 50 150 150 由轴力FN产生的拉伸正应力为 n n 350 F F 50 50 150 150 由弯矩My产生的最大弯曲正应力为 50 50 150 150 n n 350 F F 3 叠加 在截面内侧有最大拉应力 50 50 150 150 n n 350 F F 在截面外侧有最大压应力 F 45 1kN 所以取 50 50 150 150 n n 350 F F 例题3正方形截面立柱的中间处开一个槽 使截面面积为原来截面面积的一半 求开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍 F F 1 1 未开槽前立柱为轴向压缩 解 F 开槽后1 1是危险截面 危险截面为偏心压缩 将力F向1 1形心简化 例题4矩形截面柱如图所示 F1的作用线与杆轴线重合 F2作用在y轴上 已知 F1 F2 80kN b 24cm h 30cm 如要使柱的m m截面只出现压应力 求F2的偏心距e 解 1 外力分析将力F2向截面形心简化后 梁上的外力有 轴向压力 力偶矩 F1 m m 2 m m横截面上的内力有 轴力 弯矩 轴力产生压应力 弯矩产生的最大正应力 3 依题的要求 整个截面只有压应力 得 F1 m m 8 3偏心拉 压 截面核心 Eccentricloads thekernofasection 1 定义 Definition 当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时 将引起轴向拉伸 压缩 和平面弯曲两种基本变形 一 偏心拉 压 Eccentricloads x y z 2 以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力F为例 1 将外力向截面形心简化 使每个力 或力偶 只产生一种基本变形形式 轴向拉力F 力偶矩m Fe 将m向y轴和z轴分解 F使杆发生拉伸变形 My使杆发生xz平面内的弯曲变形 y为中性轴 Mz使杆发生xy平面内的弯曲变形 z为中性轴 二 任意横截面n n上的内力分析 Analysisofinternalforceonanycrosssectionn n 轴力FN F 弯矩 三 任意横截面n n上C点的应力分析 Stressanalysisatpointconcrosssectionn n 由F产生的正应力 由My产生的正应力 由Mz产生的正应力 由于C点在第一象限内 根据杆件的变形可知 由叠加原理 得C点处的正应力为 均为拉应力 式中 A为横截面面积 Iy Iz分别为横截面对y轴和z轴的惯性矩 zF yF 为力F作用点的坐标 z y 为所求应力点的坐标 上式是一个平面方程 表明正应力在横截面上按线性规律变化 应力平面与横截面的交线 直线 0 就是中性轴 四 中性轴的位置 Thelocationofneutralaxis 令y0 z0代表中性轴上任一点的坐标 即得中性轴方程 讨论 1 在偏心拉伸 压缩 情况下 中性轴是一条不通过截面形心的直线 y z O 2 用ay和az记中性轴在y z两轴上的截距 则有 3 中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧 z 4 中性轴将横截面上的应力区域分为拉伸区和压缩区 横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1 D2两切点 a b c y y z z 5 对于周边具有棱角的截面 其危险点必定在截面的棱角处 并可根据杆件的变形来确定 N FyF Wz 最大拉应力 tmax和最大压应力 cmin分别在截面的棱角D1D2处 无需先确定中性轴的位置 直接观察确定危险点的位置即可 五 强度条件 Strengthcondition 由于危险点处仍为单向应力状态 因此 求得最大正应力后 建立的强度条件为 y z 六 截面核心 Thekernofasection yF zF 为外力作用点的坐标 ay az为中性轴在y轴和z轴上的截距 当中性轴与图形相切或远离图形时 整个图形上将只有拉应力或只有压应力 y z y z y z y z 截面核心 1 定义 Definition 当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时 就可以保证中性轴不穿过横截面 整个截面上只有拉应力或压应力 这个区域就称为截面核心 Thekernofasection y z 当外力作用在截面核心的边界上时 与此相应的中性轴正好与截面的周边相切 截面核心的边界就由此关系确定 2 截面核心的确定 Determinethekernofasection 例5求圆形截面的截面核心 圆截面的惯性半径 由于圆截面对于圆心O是对称的 因而 截面核心的边界对于圆也应是对称的 从而可知 截面核心边界是一个以O为圆心 以d 8为半径的圆 2 例6求矩形截面的截面核心 Thekernofarectanglesection 矩形截面的 直线 绕顶点B旋转到直线 时 将得到一系列通过B点但斜率不同的中性轴 而B点坐标yB zB是这一系列中性轴上所共有的 这些中性轴方程为 上式可以看作是表示外力作用点坐标间关系的直线方程 故外力作用点移动的轨迹是直线 这些中性轴方程为 1 对于具有棱角的截面 均可按上述方法确定截面核心 2 对于周边有凹进部分的截面 如T字形截面 能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴 因为这种直线穿过横截面 4 讨论 Discussion 研究对象 Researchobject 圆截面杆 circularbars 受力特点 Characterofexternalforce 杆件同时承受转矩和横向力作用 变形特点 Characterofdeformation 发生扭转和弯曲两种基本变形 8 4扭转与弯曲的组合 Combinedbendingandtorsion 一 内力分析 Analysisofinternalforce 设一直径为d的等直圆杆AB B端具有与AB成直角的刚臂 研究AB杆的内力 将力F向AB杆右端截面的形心B简化得 横向力F 引起平面弯曲 力偶矩m Fa 引起扭转 AB杆为弯 扭组合变形 画内力图确定危险截面 固定端A截面为危险截面 Fl A截面 二 应力分析 Stressanalysis 危险截面上的危险点为C1和C2点 最大扭转切应力 发生在截面周边上的各点处 危险截面上的最大弯曲正应力 发生在C1 C2处 A截面 对于许用拉 压应力相等的塑性材料制成的杆 这两点的危险程度是相同的 可取任意点C1来研究 C1点处于平面应力状态 该点的单元体如图示 三 强度分析 Analysisofstrengthcondition 1 主应力计算 Calculatingprincipalstress 2 相当应力计算 Calculatingequalstress 第三强度理论 计算相当力 第四强度理论 计算相当应力 3 强度校核 Checkthestrength 1 该公式适用于图示的平面应力状态 是危险点的正应力 是危险点的切应力 且横截面不限于圆形截面 讨论 该公式适用于弯 扭组合变形 拉 压 与扭转的组合变形 以及拉 压 扭转与弯曲的组合变形 弯 扭组合变形时 相应的相当应力表达式可改写为 对于圆形截面杆有 2 式中W为杆的抗弯截面系数 M T分别为危险截面的弯矩和扭矩 以上两式只适用于弯 扭组合变形下的圆截面杆 例题7空心圆杆AB和CD杆焊接成整体结构 受力如图 AB杆的外径D 140mm 内 外径之比 d D 0 8 材料的许用应力 160MPa 试用第三强度理论校核AB杆的强度 A B C D 1 4m 0 6m 15kN 10kN 0 8m 解 1 外力分析将力向AB杆的B截面形心简化得 AB杆为扭转和平面弯曲的组合变形 15kN m 2 内力分析 画扭矩图和弯矩图 固定端截面为危险截面 20kN m 例题8传动轴如图所示 在A处作用一个外力偶矩m 1kN m 皮带轮直径D 300mm 皮带轮紧边拉力为F1 松边拉力为F2 且F1 2F2 L 200mm 轴的许用应力 160MPa 试用第三强度理论设计轴的直径 解 将力向轴的形心简化 轴产生扭转和垂直纵向对称面内的平面弯曲 中间截面为危险截面 1kN m 例题9图示一钢制实心圆轴 轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5kN 径向力1 82kN 齿轮D上作用有水平切向力10kN 径向力3 64kN 齿轮C的节圆直径d1 400mm 齿轮D的节圆直径d2 200mm 设许用应力 100MPa 试按第四强度理论求轴的直径 解 1 外力的简化 将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化 B A C D y z 5kN 10kN 300mm 300mm 100mm x 1 82kN 3 64kN 1kN m使轴产生扭转 5kN 3 64kN使轴在xz纵对称面内产生弯曲 1 82kN 10kN使轴在xy纵对称面内产生弯曲 2 轴的变形分析 T 1kN m 圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组合变形 由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面 故轴在xz和xy两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲 从而可用总弯矩来计算该截面正应力 1 C T图 Mz图 0 227 1 C B 3 绘制轴的内力图 B截面是