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教育类精品资料 异面直线所成角的计算 高二数学备课组 a b是两异面直线 在空间中任取一点O 过O作两异面直线的平行线a1 b1 则称a1 b1所成的锐角或直角为 a b O a 1 b 1 两异面直线a b所成的角 定义 练习1 每对异面直线所成的角是多少 A1B与D1C1 A1B与C1C A1B与CD A1B与C1D B1B与AD A1B与B1C A1B与B1D1 45 45 45 90 60 90 60 例1 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a M为AB的中点 N为BB1的中点 求A1M与C1N所成角的余弦值 解 E G 如图 取A1B1的中点E 连BE 有BE A1M 取CC1的中点G连BG 有BG C1N 则 EBG即为所求角 或补角 由余弦定理 cos EBG 2 5 F 取EB1的中点F 连NF有BE NF A1M 则 FNC1为所求角 或补角 想一想 还有其它方法吗 BG BE a EG a 连EG 在 EBG中 为什么 例2 在长方体ABCD A1B1C1D1中 AA1 c AB a AD b a b 求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值 取BB1的中点M 连O1M 则O1M D1B 如图 连B1D1与A1C1交于O1 于是 C1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角 或其补角 解 O1 方法归纳 平移法 即根据定义 以 运动 的观点 用 平移转化 的方法 使之成为相交直线所成的角 a c b 解法二 连接交于O 取中点N 连接ON 则 NOB即为异面直线所成角 或补角 O 解法三 方法归纳 补形法 把空间图形补成熟悉的或完整的几何体 如正方体 长方体等 其目的在于易于发现两条异面直线的关系 如图 补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面 连结A1E C1E 则 A1C1E为A1C1与BD1所成的角 或补角 BC1的长方体B1F 练习2 如图 在空间四边形ABCD中 已知AD 1 BC 且AD BC 对角线BD AC 求AC与BD所成的角 方法归纳 中位线平移 在空间图形中 利用中点连接两个空间图形 利用中位线的平行与长度传递异面直线的长度与方向 练习2 解法二 定角一般方法 1 直接平移 小结 1 求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角 体现了化归的数学思想 2 用余弦定理求异面直线所成角时 要注意角的范围 1 当cos 0时 所成角为 2 当cos 0时 所成角为 3 当cos 0时 所成角为 3 当异面直线垂直时 还
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