2019-2020学年实验中学高一上学期第二次月考数学试题（解析版）

2019-2020学年河南省实验中学高一上学期第二次月考数学试题一、单选题1已知集合，则（ ）ABCD【答案】B【解析】解出集合A中的不等式，得出解集，求出集合B，即可求得.【详解】解不等式，得，所以，所以.故选：B【点睛】此题考查解一元二次不等式，求函数值域，求两个集合的并集，关键在于根据集合关系准确求解.2函数图象的大致形状是（ ）ABCD【答案】C【解析】先由函数奇偶性，排除BD；再由函数值的大致范围，即可确定结果.【详解】因为，所以，所以是偶函数，排除BD；又当时，所以，当时，所以，故排除D，选C.故答案为C【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记函数的奇偶性即可，属于常考题型.3函数的单调增区间为（ ）ABCD【答案】D【解析】令，则是减函数，由复合函数知识知，只需求函数 的单调递减区间即可，而的单间区间为，故原函数的单调递增区间为，选D.4一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长ABCD【答案】B【解析】原图为平行四边形，边长分别为2和 ，周长为 ，选B.5函数是（ ）A是奇函数又是减函数B是奇函数不是减函数C是减函数不是奇函数D不是奇函数也不是减函数【答案】A【解析】根据定义域及的关系判断奇偶性，根据分段函数解析式结合奇偶性判断单调性.【详解】由题，定义域为R，所以函数是奇函数，不妨先考虑当时，的解析式：，即当时，所以函数，所以函数是定义域上的减函数.故选：A【点睛】此题考查根据函数解析式判断函数的奇偶性和单调性，关键在于根据题意准确进行绝对值化简，涉及分类讨论.6设方程的两个根分别为，则（ ）ABCD【答案】D【解析】根据y=的图像特点和数形结合的思想，大致确定出两根的范围，然后将两根做差即可.【详解】如图： 方程有两个根分别为，不妨令, 由图可知两根的范围是，则,作差-得:,即. ,故选D.【点睛】本题考查了对数函数的图像和方程根的应用，解题中的关键是将方程的根转化为函数的交点，由交点的分布可大体确定出根的范围，然后才可以确保后续计算的有效性.7某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是A24B28CD【答案】C【解析】根据三视图知该几何体是正方体和正四棱锥的组合体，结合图中数据求出该几何体的表面积【详解】根据三视图知，该几何体是下部为正方体，上部为正四棱锥的组合体，画出直观图如图所示；则该几何体的表面积是故选：C【点睛】本题考查了利用三视图求几何体的表面积应用问题，准确还原图形，熟记表面积公式是关键，基础题8如图，在四面体ABCD中，E，F分别是AC与BD的中点，若CD2AB4， EFBA，则EF与CD所成的角为() A60B45C30D90【答案】C【解析】取BC中点为G，连接FG，EG推导出EFG是EF与CD所成的角，由此能求出结果【详解】取BC中点为G，连接FG，EG所以有ABEG，因为EFBA，所以EFEG，因为CD2AB4，所以可知EG1，FG2，所以EFG是一个斜边为2，一条直边为1的直角三角形EF与CD所成的角也是EF与FG所成的角也是斜边为2与直角边为1的夹角，即EF与CD所成的角为30故选C【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题9某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可知，该几何体是在棱长分别为 的长方体中的三棱锥 ，且： ，该四面体的体积为 .本题选择A选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法正方体与球各自的三视图相同，但圆锥的不同10如图，在正方体中，F是棱上的动点，下列说法正确的是（ ）A对任意动点F，在平面内不存在与平面平行的直线B对任意动点F，在平面内存在与平面垂直的直线C当点F从运动到的过程中，直线与平面夹角大小不变D当点F从运动到的过程中，点D到平面的距离逐渐变大【答案】C【解析】F是棱上的动点，平面就是平面，即可判断点到平面的距离和线面夹角大小.【详解】根据题意，在正方体中，F是棱上的动点，平面就是平面，根据正方体性质，平面，平面，所以平面，平面，所以A说法错误；对于B选项：一个事实：正方体中，平面不与平面垂直，用反证法证明“对任意动点F，在平面内不存在与平面垂直的直线”，假设“在平面内存在与平面垂直的直线”，则平面与平面垂直，与题矛盾，所以假设不成立，所以B选项说法错误；已经证得：平面，所以点A，D到平面的距离为定值，所以D选项不正确；设这个定值为d，直线与平面夹角的正弦值为也为定值，所以夹角大小不变，所以C选项说法正确.故选：C【点睛】此题考查空间几何体中的线面关系和距离关系，根据题意利用公理定理进行推理分析，考查立体几何的综合应用能力.11函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数设函数f(x)在0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：f(0)0；f(1x)1f(x)则()ABC1D【答案】B【解析】由，令，可得，由，令，可得，令，可得，由结合，可知，令，可得，因为且函数在上为非减函数，所以，所以，故选B.12如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为OE，F，G，H为圆O上的点，ABE，BCF，CDG，ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起ABE，BCF，CDG，ADH，使得E，F，G，H重合得到一个四棱锥当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的表面积为( )ABCD【答案】D【解析】根据侧面积与底面积的关系求出正方形的边长，进而利用外接球的性质求出半径，从而求出外接球的表面积.【详解】如图：连接交于点，设重合交于点，设正方形的边长为，则，因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则，解得，设该四棱锥的外接球的球心为，半径为，则有，因为，所以.则，解得，外接球的表面积为，故选.【点睛】本题主要考查了折叠问题，以及外接球问题，属于难题.对于平面图形折叠成空间几何体的相关问题，关键是抓住不变的数量关系以及位置关系；对于外接球问题，关键是找出球心位置并确定半径.二、填空题13若在区间上是增函数，则的取值范围是_【答案】a【解析】先将函数分离常数，再根据反比例函数的单调性，即可得出结果.【详解】因为，又在区间上是增函数，所以只需，即.故答案为【点睛】本题主考查根据函数的单调性求参数的问题，熟记基本初等函数的单调性即可求解，属于基础题型.14已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，圆锥底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】根据底面圆的半径求出展开图扇形的弧长，再求出圆锥的母线长，得出锥体的高，即可求解体积.【详解】因为圆锥底面圆的半径为1，所以侧面展开图扇形的弧长为，因为圆心角为120，所以圆锥的母线即展开图扇形的半径为，所以圆锥的高为，所以该圆锥的体积.故答案为：【点睛】此题考查利用扇形弧长公式求圆锥的母线长再求锥体的高，进而求出锥体体积，属于简单题目.15已知，若关于的方程有四个实根，则这四个根之积的取值范围_.【答案】.【解析】考查方程的根、函数零点、函数图象交点的相互转化，借助形去计算数.【详解】与两图象交点问题，当，则，其中，.填写: 【点睛】二次函数对称轴、对数函数绝对值一些特殊性质需要考生多记.16若三棱锥中，,其余各棱长均为5，则三棱锥内切球的表面积为_【答案】【解析】由题意得，易知内切球球心到各面的距离相等，设为的中点，则在上且为的中点，在中，所以三棱锥内切球的表面积为三、解答题17已知全集，集合，.（1）若，求；（2）若，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）解出集合A，B，求出，即可求得；（2）分类讨论，和两种情况分别求解.【详解】（1）由题：全集，集合，解，与同解，即，；（2）当时，即时，满足；当时，解得：，综上所述：.【点睛】此题考查解分式不等式，求补集交集运算，根据集合的包含关系求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，注意不重不漏.18若定义在上的函数对任意的、，都有成立，且当时，.（1）求证：为奇函数； （2）求证：是上的增函数；（3）若，解不等式【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】（1）构造函数，由题意得出，先令求出的值，再令，代入可证明出函数为奇函数；（2）任取，由题中条件得出，于此可得出函数在上的单调性；（3）由题意得出，于此可将不等式化为，由函数在上的单调性得出，解出该不等式可得出实数的取值范围.【详解】（1）证明：定义在上的函数对任意的、，都有成立，构造函数，则，即.令，得，所以，.由于函数的定义域为，关于原点对称，令，则，因此，函数为奇函数；（2）任取，则，.另一方面，即，因此，函数在上为增函数，即函数在上为增函数；（3），则，由，得，即，又，所以，.由于函数在上单调递增，所以，即，解得，因此，不等式的解集为.【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性与单调性的证明，同时也考查了函数不等式的求解，需转化为同一函数的两个函数值的大小关系，利用单调性得出自变量的大小关系求解，考查分析问题和求解问题的能力，属于中等题.19如图，在四棱锥中，底面，M为上一点，且.（1）若，求证：平面；（2）若，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）根据已知得，计算证明，即可证明线面垂直；（2）对三棱锥体积进行变换即可求解体积.【详解】（1）连接，作，垂足为，如图所示：，所以，所以，所以，所以，底面，底面，所以，是平面内两条相交直线，所以平面；（2），则为等边三角形，底面，所以就是点底面的距离，M为上一点，且，三棱锥的体积.【点睛】此题考查证明线面垂直和求锥体体积，涉及计算证明和转换三棱锥顶点，综合性比较强.20如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，过点的三条棱PA、AB、AD两两垂直且相等，E，F分别是AC，PB的中点（）证明：EF/平面PCD；（）求EF与平面PAC所成角的大小【答案】（）见解析； （）见解析.【解析】（）连接BD，则E是BD的中点，F是PB的中点得EF/PD。线面平行转化为线线平行。（）首先找出EF与平面PAC所成的角，由题意可得EF与平面PAC所成的角的大小等于。根据条件得，所以。【详解】（）证明：如图，连接BD，则E是BD的中点又F是PB的中点， EF/PD， EF不在平面PCD内， EF/平面PCD。（）连接PE， ABCD是正方形，又平面，。平面，故是PD与平面PAC所成的角，EF/PD，EF与平面PAC所成的角的大小等于PA=AB=AD，因此PD=BD在中，EF与平面PAC所成角的大小是。【点睛】本题主要考查了证明线面垂直（通常转化成证明线线垂直）。求直线与平面成的夹角通常直接找直线与平面成的角或者建立空间直角坐标系利用向量法。21如图：四锥中，.（1）证明：平面；（2）求点B到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）通过计算证明即可证明平面；（2）利用等体积法求点到平面距离.【详解】（1）由题：四锥中，即，所以，由题，是平面内两条相交直线，所以证明平面；（2）由（1）可得：就是到平面的距离，设点B到平面的距离为，三棱锥的体积：，解得：【点睛】此题考查根据计算得线线垂直证明线面垂直，利用等体积法求点到平面距离.22如图，在四棱锥中，底面是正方形，.（1）证明：平面；（2）若是的中点，在棱上是否存在点，使平面？若存在