1.4角平分线的性质

角平分线的性质 1 4 第2课时 1 角平分线的性质定理 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 角平分线的判定定理 在一个角的内部 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 4 角平分线的性质定理是证明角相等 线段相等的新途径 角平分线的逆定理是证明点在直线上 或直线经过某一点 的根据之一 3 性质定理和逆定理的关系点在角平分线上点到角两边的距离相等 回顾 如图1 29 已知EF CD EF AB MN AC M是EF的中点 需添加一个什么条件 就可使CM AM分别为 ACD和 CAB的平分线呢 图1 29 ME CD MN CA 同理可得AM是 CAB的平分线 可以添加条件MN ME 或MN MF M在 ACD的平分线上 即CM是 ACD的平分线 图1 29 PE PF 在 EBP中 BE PE PB BE PF PB 图1 30 举例 三 尺规作图 角平分线的作法 已知 AOB 如图 求作 射线OC 使 AOC BOC作法 用尺规作角的平分线 1 以O为圆心 以任意长为半径画弧交OA OB于点E D 2 分别以点D和E为圆心 以大于DE 2长为半径作弧 两弧在 AOB内交于点C 3 作射线OC 则射线OC就是 AOB的平分线 如图1 31 你能在 ABC中找到一点P 使其到三边的距离相等吗 图1 31 图1 32 定理 三角形的三条角平分线相交于一点 并且这一点到三边的距离相等 这个交点叫做三角形的内心 如图 E是 AOB的平分线上一点 EC OA于点C ED OB于点D 求证 1 ECD EDC 2 OC OD 2 如图 在 ABC中 AD DE BE DE AC BC分别平分 BAD ABE 点C在线段DE上 求证 AB AD BE M 证明作CM AB于点M AC BC分别平分 BAD ABE CD CM CE CM 在Rt ACD和Rt ACM中 CM CD AC AC Rt ACD Rt ACM AD AM 同理 BE BM 又AB AM BM AB AD BE 挑战自我 基本应用 填空 1 1 2 DC AC DE AB 1 DC AC DE AB DC DE 1 2 DC DE 到一个角的两边的距离相等的点 在这个角平分线上 在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 如图 求作一点P 使PC PD 并且点P到 AOB的两边的距离相等 3 已知 如图 C 90 B 30 AD是Rt ABC的角平分线 求证 BD 2CD 1 如图 在 ABC中 已知AC BC C 90 AD是 ABC的角平线 DE AB 垂足为E 1 如果CD 4cm 求AC的长 2 求证 AB AC CD 延伸训练 2 已知 如图所示 PA PC分别是 ABC外角 MAC与 NCA平分线 它们交于P PD BM于M PF BN于F求证 点P在 MBN的平分线上 E 3 已知 如图 B C 90 M是BC的中点 DM平分 ADC求证 AM平分 DAB E 4 已知 MON中 MP平分 OMN OP平分 MON 且PD MN PE ON 垂足分别为点D E求证 点P在 MNO的平分线上 小结 1 定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 2 逆定理 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线上 3 定理 三角形