《微积分初步》教案

微积分初步教案重庆广播电视大学九龙坡分校 杨洪容使用教材中央广播电视大学出版社出版 赵坚、顾静相编微积分初步课程名称微积分初步班 级10秋数控技术专业授课时间年 月 日 第 周 星期 第 节教学内容第 四章 不定积分与定积分4.2.1 第一换元积分法（凑微分法） 课 型实践课教学时数1课时教学目的通过本节课学习，学生掌握不定积分的换元积分公式，会计算相应定积分。教学重点和 难 点重点: 用第一换元积分法求不定积分难点: 将可以变形为是学习中的一个难点教学关键使学生明确换元的目的是为了把所求不定积分化为可用基本积分公式求解的不定积分；正确处理课堂上的讲练关系，尽可能让学生多练习。充分运用启发式、问题式教学，让学生在例题的学习中，课堂练习中理解和掌握不定积分的求解方法。教学中注意充分渗透换元思想、把一个式子看成整体的思想，注重学生素质的培养。授课方法讲授课，讲练结合，问题解决教学法。教学资源教材及大纲，多媒体资源（中央电大、重庆电大教学资源、自制课件）课堂小结本节课主要学习了用第一换元积分法（凑微分法）求不定积分。作 业1、练习4.22思考常见的凑微分形式有哪些？（参考书疑难指导）3、思考问题：求不定积分：； 教 学 过 程一复习求积分方法，引入新课 二进行新课定理4.1 （第一换元法）例题 （1）“与公式相比较换元” 例1 （详） 2 （略） （2）“利用导数关系换元”例3（详） 4 （详） 5（详） 6 （略）三课堂练习 1 （详讲） 2（略讲） 3 （略讲）四课堂小结 五课后作业 六教学反思附板书、课件设计图教学过程：一复习求积分方法，引入新课（涉及的公式及性质均用课件展示）用定义，基本积分公式及直接积分法求积分，回忆复合函数求导法，以求引出换元积分法。（，） （提问）求函数f(x)的不定积分的方法:1、定义法：利用定义: F(x)=f(x)(xI)f(x)dx=F(x)+C,求函数f(x)的不定积分. 2、基本积分表法：利用基本积分表中的9个基本积分公式（课件展示）和不定积分的两个性质:f(x)+g(x)dx=f(x)dx+g(x)dx kf(x)dx=kf(x)dx利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.求函数f(x)不定积分的实际过程中，我们不难发现，如果被积函数f(x)结构比较复杂时，我们很难用定义求出函数f(x)的不定积分。例如，对函数 x1, (临时板书)不能直接用公式求。概括：由于基本积分表法求函数f(x)的不定积分，需要利用基本积分表中的公式，而基本积分表中的公式只有9个，这样能求不定积分的被积函数的种类和数量都太少，大量存在不定积分的被积函数。（提问）复合函数的求导法是怎样的？换元积分法是把复合函数求导法则逆过来进行，通过适当的变量替换（换元，提示这是数学的基本思想方法），把某些不定积分化成基本积分表中所列函数的形式再计算出最终结果。例如，对于不定积分不可以直接用基本公式来计算，其原因是被积函数是复合函数，假如我们以为积分变量，则，解出，于是而在上一节中的基本积分公式表中的每一个公式，当以其他变量替代时仍然是成立的，即有 因此有注意到在求解中我们是将积分转化为积分来进行的，而后一个积分是以为积分变量的，故可视，利用积分公式求出结果。那么如何将后一个积分与前一个积分相联系呢？这正是解题的关键。实际上，我们是采取了改变积分变量的方法求积分，即，而在前面乘一个2是为了将变为“凑”上去的，式子中的添加的因子是完全是为了前后两个积分的相等。这种积分方法称为第一换元积分法，也称凑微分法。（求用临时板书，与学生一起分析过程）二、进行新课 交代本节任务是完成不定积分的求法，而要运用换元法作为手段，作示范定理4.1 （第一换元法）（此定理及证明用课件展示，略说明证明过程，重点在于渗透换元思想）设则有 （4-1） 其中是可微函数。证 只需证明式（4-1）右端函数的导数等于左端的被积函数。记，且有 因此有式（4-1）成立。第一换元积分的思想是：在不定积分中，若可以变形为，而函数的原函数又比较容易得出，那可以用对原式作换元，这时相应地有，于是有 （过程很重要） 注意：将可以变形为是学习中的一个难点，其困难之处是经常要“凑”上，实际上，对于换元积分法的掌握基于我们对积分公式的熟悉，以及对复合函数分解的熟练，同时要会将微分公式反过来用。积分基本公式是积分计算的最终依据, 在积分计算时, 必须将积分号中的被积表达式与某个基本公式中被积表达式的形式完全相一致, 方可利用公式求出积分。 掌握积分的换元法就是在解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。利用换元法时，要把被积表达式分解出 ，并凑成微分 ,因此这种方法也称为凑微分法例题讲解（1）“与公式相比较换元”例1 求（板书）（详）问题：请同学们观察不定积分的结构形式，它与基本积分公式表中的哪个公式类似? 观察被积函数是一个复合函数，最外面一层是幂函数，可想到基本公式表中这个公式。解 被积函数可以写成，若令，可以利用积分公式对变量求解。于是令，则，即注意：在微分中我们已经习惯了，而在积分计算中常常是要反过来使用，即。例如将例 2 求.（板书）（主要是学生求解，略）问题：请同学们首先分析该例中的被积表达式2cos2xdx与基本公式表中的哪个公式的被积表达式类似,然后请同学们利用该基本积分公式和例1中换元的方法对例2求解.总结: 好,请同学们看黑板,将自己的解法与黑板上的解法进行对比,看看自己的解法中是否有不当之处，表达是否准确无误.解:其中u=2x,C为常数.或其中C为常数.（板书） 问题：在上面的两个例子的求解中,我们首先在基本积分表中寻找与所求不定积分类似的基本积分公式,然后利用换元的方法对问题求解. 现在有一个这样一个问题:如果在基本积分表中找不到与所求不定积分类似的基本积分公式, 那么,如何去求不定积分呢? 下面的例3就给出了该问题的解决办法.（2）“利用导数关系换元”例3 求（板书）（与学生一起分析，详）与学生一起分析：观察被积函数，可将，而也是积分定理中需要形式。解 被积函数看成复合函数，利用积分公式对变量求解。令，而，于是例4 求（板书）（与学生一起分析，详）与学生一起分析：观察被积函数可知： 解 被积函数看成复合函数，利用积分公式对变量求解。令，而，于是例5 （板书）（与书上书写不同 ，请同学们注意看书，详） 问题：请同学们观察不定积分的结构形式与基本积分公式表中的哪个公式类似?解:其中u=cos x,C为常数.或其中C为常数.（板书）总结：如果在基本积分表中我们找不到与所求不定积分类似结构形式的基本积分公式的话, 我们可对被积函数进行恒等变形后(),再利用基本微分公式(),对积分变量(x)进行换元(u=cosx),最后再利用基本公式表中的基本公式()对其求解.所以希望同学们对基本微分公式要熟记,还要学会基本微分公式从右到左地运用,例如,对公式d(cosx)=-sinxdx, 从右到左运用为公式 sinxdx=-d(cosx).只有这样,我们才能较快地找到解题的思路与方法. 例6 求（板书）（略）解 被积函数看成复合函数，利用积分公式对变量求解。令，而，于是运算熟练之后，可以省去以上“视”和“还原”的过程，而直接凑微分。 注 当熟练地掌握了这种换元法后，可以不写出中间变量记号（即不引入新的变量记号）。这样可以省去还原这一步。例1 例6 小结：分析上面六个例子的具体解法,我们发现它们有以下共同点:（引导学生分组讨论，抽学生回答）被积表达式中的被积函数都含有基本初等函数f(u)和初等函数u=j(x)的复合函数fj(x). 所求的不定积分变形后被积表达式中都含有j(x)dx=d(j(x).例1中的j(x)dx =(2x-1)dx=2dx=d(2x-1)= d(j(x). （临时板书） 例2中的j(x)dx =(2x)dx=2dx=d(2x)= d(j(x). （临时板书） 例3中的j(x)dx =dx=d()= d(j(x). （临时板书） 例4中的j(x)dx=d()= d(j(x). （临时板书）例5中的j(x)dx = (sinx)dx=cosxdx=d(sinx)= d(j(x). （临时板书）例6中的j(x)dx = dx= d(j(x). （临时板书）所求的不定积分变形后都含有 fj(x) j(x)dx. （临时板书）例1中的fj(x)j(x)dx= =（临时板书）例2中的. （临时板书） 例3中的fj(x)j(x)dx= =（临时板书）例4中的2fj(x)j(x)dx= dx=2（临时板书）例5中的 . （临时板书）例6中的-fj(x)j(x)dx =（临时板书）说明：第一换元积分法（凑微分法）是积分运算的重点, 也是难点。主要是处理复合函数求积分的方法，此法的实质是复合函数求导数的逆运算。在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分必须容易求出原函数。它的基本思想是“变换积分变量，使新的积分对于新的积分变量容易求原函数”，采用的手段是“凑微分”，将凑成。如上所知，如果说被积函数可以凑成这样两个因子的乘积（其中一个是的函数，另一个是的导数），方可使用第一换元积分法。注意这里的一定要含在原被积函数中。一般地，换元后的函数是积分基本公式中函数的形式或积分基本公式中函数的线性组合形式。三课堂练习（1） （详讲 ） （2） （分析后略讲） （3）（分析后略讲） （4） 教师可以抽三个学生上黑板练习，教师巡视指导。学生练习15分钟后,教师要求学生将上述3个练习题与教材中的例1-6中的解法进行对照,找出解题过程中存在的问题.教师针对这些问题进行必要的讲解.课堂练习详解（1）：积分对于, 原被积函数为, 令, 将, 其中的因子2是的导数, 是为了换元而凑出来的, 而因子是为了与原积分的保持相等而乘上去的, 于是有 （2）（3）（下面部分有时间就归纳如下，无时间则作为思考题，在下次讲解作业时讲。以课件形式展示）在积分计算中，不但要熟悉基本积分公式，还要熟悉基本微分公式，熟悉常见的凑微分形式：（参考书疑难指导）四课堂小结：本堂课主要学习了第一换元法求不定积分，第一换元积分法（凑微分法）是积分运算的重点,主要是处理复合函数求积分的方法，此法的实质是复合函数求导数的逆运算。在运算中始终要记住换元的目的是使换元后的积分必须容易求出原函数。掌握好换元积分法的要点: （板书）1.熟记基本积分公式（板书），明了基本公式中的变量换成u的函数时,公式仍然成立。2熟记基本微分公式（板书）,特别要注意基本微分公式的逆向使用. “凑微分”要朝着容易求积分的方向进行（讲解）3熟记复合函数微分法则和常见的“凑微分”形式。（参考书疑难指导）（板书）4多练习 常总结（板书）求函数的不定积分,由于积分方法是灵活多样的, 规律性不强，技巧性较强, 一些“凑”的方法是要靠一定量的练习来积累的，因此, 这就要求同学多练习，并及时对解题方法进行总结，摸索规律, 提高解题能力。（讲解）课下将本课已有课件、教学重难点、例题、小结等制作成课件、还有习题参考答案上传九龙坡学习平台。请同学们参考。另外，请参考中央电大、重庆电大相关教学资源。 五课后作业（课件展示）1练习4.22思考常见的凑微分形式有哪些？（参考书疑难指导）3思考问题：求不定积分：； 被积函数是两个函数乘积，但又不存在，可以写成形式又该如何呢？为下一部分学习分部积分做准备。六教