1.3.1且（and）

1 3简单的逻辑联结词 引入歌德是18世纪德国的一位著名文艺大师 一天 他与一位文艺批评家 狭路相逢 这位批评家生性古怪 遇到歌德走来 不仅没有相让 反而卖弄聪明 一边高傲地往前走 一边大声说道 我从来不给傻子让路 面对如此尴尬局面 但见歌德笑容可掬 谦恭地闪在一旁 一边有礼貌地回答道 呵呵 我可恰恰相反 结果故作聪明的批评家 反倒自讨个没趣 在这个故事里 批评家用他的语言和行动表明了这样几句语句 1 我不给傻子让路 2 你歌德是傻子 3 我不给你让路 想进一步了解有关的逻辑知识吗 1 我给傻子让路 2 你批评家是傻子 3 我给你让路 而歌德用语言和行动反击 1 正确理解逻辑联结词 且 或 非 的含义和表示 重点 2 会判断用 且 或 非 联结成新命题的真假 难点 提示 命题 3 是由命题 1 2 使用联结词 且 联结得到的新命题 探究点1联结词 且 下列三个命题之间有什么关系 1 12能被3整除 2 12能被4整除 3 12能被3整除且能被4整除 p q p q 记作 p q读作p且q 从集合角度看 p q x x p且x q 一般地 用联结词 且 把命题p和q联结起来 就得到一个新命题 提升总结 如何确定命题 p q 的真假性呢 规定 当p q都是真命题时 p q 是真命题 当p q两个命题中有一个是假命题时 p q 是假命题 简记为 两真且为真 将下列命题用 且 联结成新命题 并判断它们的真假 p 平行四边形的对角线互相平分 q 平行四边形的对角线相等 解 p且q 平行四边形的对角线互相平分且相等 由于p是真命题 q是假命题 所以p q是假命题 即时训练 例1将下列命题用 且 联结成新命题 并判断它们的真假 p 平行四边形的对角线互相平分 q 平行四边形的对角线相等 2 p 菱形的对角线互相垂直 q 菱形的对角线互相平分 解析 1 p q 平行四边形的对角线互相平分且相等 由于p是真命题 q是假命题 所以p q是假命题 2 p q 菱形的对角线互相垂直且平分 由于p是真命题 q是真命题 所以p q是真命题 例2用逻辑联结词 且 改写下列命题 并判断他们的真假 1 1既是奇数 又是素数 2 2和3都是素数 解 1 命题 1既是奇数 又是素数 可以改写为 1是奇数且1是素数 应为 1是素数 是假命题 所以这个命题是假命题 2 命题 2和3都是素数 可以改写为 2是素数且3是素数 因为 2是素数 与 3是素数 都是真命题 所以这个命题是真命题 将下列命题用 且 联结成新命题 并判断它们的真假 p 35是15的倍数 q 35是7的倍数 解 p q 35是15的倍数且是7的倍数 由于p是假命题 q是真命题 所以p q是假命题 变式练习 逻辑联结词 或 联结的命题之间是什么关系 下列三个命题间有什么关系 1 27是7的倍数 2 27是9的倍数 3 27是7的倍数或是9的倍数 提示 命题 3 是由命题 1 2 使用联结词 或 联结得到的新命题 探究点2联结词 或 从集合角度看p q x x p或x q 注意 或 在实际生活中是不可兼容的 而作为逻辑联结词是可兼容的 一般地 用联结词 或 把命题p和q联结起来 就得到一个新命题 记作 p q读作 p或q 提升总结 如何确定命题p或q的真假性呢 规定 当p q两个命题中有一个命题是真命题时 p q是真命题 当p q两个命题都是假命题时 p q是假命题 简记为 两假或才假 分别指出下列命题的形式并判断真假 2 2 解析 该命题是 p或q 形式 其中p 2 2 q 2 2 因为p是真命题 所以原命题是真命题 即时训练 例3分别指出下列命题的形式并判断真假 1 集合A是A B的子集或是A B的子集 2 周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等 解析 1 该命题是 p或q 形式 其中p 集合A是A B的子集 q 集合A是A B的子集 因为命题q是真命题 所以原命题是真命题 2 p 周长相等的两个三角形全等 q 面积相等的两个三角形全等 用 或 联结后构成的新命题 既p q 因为命题p q都是假命题 所以命题p q是假命题 判断下列命题的真假 1 47是7的倍数或49是7的倍数 2 3 4 3 若ax2 bx c 0 a 0 无实根 则b2 4ac 0 解析 1 真命题 2 假命题 3 真命题 变式练习 真 真 真 真 假 假 假 假 思考 如果p且q为真命题 那么p或q一定为真命题吗 反之 如果p或q为真命题 那么p且q一定是真命题吗 提示 主题三 非p p 自主认知 1 观察下列两个命题 1 2 它们之间有什么关系 1 6是3的倍数 2 6不是3的倍数 提示 命题 2 是命题 1 的否定 2 以上两个命题的真假如何 你能归纳出它们真假的一般规律吗 提示 1 为真命题 2 为假命题 若p是真命题 则 p为假命题 若p为假命题 则 p为真命题 根据以上探究过程 试着写出 非 的含义及命题 p 真假的判断规则 1 非 的含义一般地 对一个命题p全盘否定 就得到一个新命题 记作 读作 或 p的否定 2 p 命题的真假若p是真命题时 则 p必是 若p是假命题 则 p必是 p 非p 假命题 真 命题 合作探究 1 逻辑联结词中 非 的含义是什么 提示 逻辑联结词 非 也称 否定 是从日常语言中的 不是 全盘否定 问题的反面 抽象而来的 非 是否定的意思 2 命题的否定与否命题有什么区别 提示 命题的否定只否定命题的结论 而否命题既否定命题的条件 又否定命题的结论 过关小练 1 命题p y tanx是奇函数 则 p 为 命题 解析 p y tanx不是奇函数 为假命题 答案 y tanx不是奇函数假 2 命题p y sin4x的周期是4 则 p 为 命题 解析 p y sin4x的周期不是4 为真命题 答案 y sin4x的周期不是4 真3 命题p 若m2 n2 0 则实数m n全为零 则 p 为 命题 填 真 或 假 解析 p 若m2 n2 0 则m n不全为零 为假命题 答案 若m2 n2 0 则m n不全为零假 归纳总结 1 从集合的角度理解 且 或 非 1 且 从集合角度看 可设A x x满足命题p B x x满足命题q 则 p q 对应于集合中的交集A B x x A且x B 2 或 从集合的角度看 可设A x x满足命题p B x x满足命题q 则 p q 对应于集合中的并集A B x x A或x B 3 非 从集合的角度看 若设P x x满足命题p 则 p 对应于集合P在全集U中的补集 x x U 且x P p与 p 的真假关系 真假对立 2 含有逻辑联结词的命题真假的三个关注点 1 真假规律 p q 一真必真 都假才假 p q 一假必假 都真才真 2 p p与p是互为否定的 从而有 p p p真p假 p假p真 3 含有逻辑联结词的命题的否定 p q的否定为 p q p q的否定为 p q 其真假也可以参照含有逻辑联结词的命题的真假进行判断 拓展延伸 含有逻辑联结词的命题在电学上的理解 1 p q 从电学来讲 p q 相当于两个开关串联时 电路形成闭路的情形 且从该电路闭合与断开可得p q与 p q 的真假关系 全真才真 即p与q全为真时 p q 才真 其他情况为假 2 p q 从电学来讲 p q 相当于两个开关并联时 电路形成闭路的情形 该电路的闭合与断开也反映了p q与 p q 的真假关系 全假才假 即p与q全为假时 p q 才假 其他情况为真 3 p 从电学来讲 p 相当于一个开关时 电路形成闭路的情形 该电路闭合与断开可得p与 p的真假关系 真假相反 即p为真时 p为假 p为假时 p为真 类型一 含逻辑联结词命题的构成形式 典例1 1 下列命题 末位不是0的数不能被5整除 指数函数是单调函数 每一个向量都既有大小 又有方向 正方形是菱形或是矩形 其中含有逻辑联结词的命题有 A B C D 2 已知命题p 梯形有一组对边平行 q 梯形有一组对边相等 试确定由这组命题构成的 p q p q p 形式的命题 解题指南 1 观察是否含有逻辑联结词或具有相同含义的词汇 2 本题关键是正确理解逻辑联结词 且 或 非 的含义 应根据组成上述各含有逻辑联结词的命题的语句中所出现的逻辑联结词或语句的意义 确定含有逻辑联结词的命题的形式 解析 1 选A 是简单命题 其余的均为含有逻辑联结词的命题 2 p q 形式 梯形有一组对边平行且有一组对边相等 p q 形式 梯形有一组对边平行或有一组对边相等 p 梯形没有一组对边平行 规律总结 确定含逻辑联结词命题构成形式的三个关注点 1 简单命题与含 或 且 非 的新命题 不含逻辑联结词 或 且 非 的命题是简单命题 命题 p q p q p 是含有逻辑联结词的命题 其中p q为简单命题 2 区别 若p则q 在 p q p q p 中 p q都是命题 但在 若p 则q 中 p q可以是命题 也可以是含有变量的陈述句 3 把握实质 正确理解逻辑联结词 或 且 非 是解题的关键 有些命题并不一定包含 或 且 非 这些逻辑联结词 要结合命题的具体含义进行正确的命题构成的判定 巩固训练 指出下列命题的构成形式及构成它们的简单命题 1 方程2x2 1 0没有实数根 2 12能被3或4整除 3 菱形的对角线垂直且平分 解析 1 这个命题是 p的形式 其中p 方程2x2 1 0有实数根 2 这个命题是p q的形式 其中p 12能被3整除 q 12能被4整除 3 这个命题是p q的形式 其中p 菱形的对角线垂直 q 菱形的对角线互相平分 补偿训练 分别指出下列含有逻辑联结词的命题的形式及构成的简单命题 1 小李是老师 小赵也是老师 2 1是合数或质数 3 方程2x 1 0无实根 4 2 1 解析 1 这个命题是p且q的形式 其中 p 小李是老师 q 小赵是老师 2 这个命题是p或q的形式 其中 p 1是合数 q 1是质数 3 这个命题是 p的形式 其中 p 方程2x 1 0有实根 4 这个命题是p或q的形式 其中 p 2 1 q 2 1 类型二 含逻辑联结词的命题真假的判断 典例2 2015 杭州高二检测 已知p 2 2 5 q 3 2 则下列判断正确的是 A p q 为假 q 为假B p q 为真 q 为假C p q 为真 p 为假D p q 为真 p q 为假 解题指南 先判断p q的真假 再判断 p q p q p q 的真假 解析 选B 由题意可知 p假 q真 所以 p q 为真 p q 为假 p 为真 q 为假 延伸探究 本例条件不变 试判断命题 p q p q p q 的真假 解析 由条件知 p假 q真 所以 p真 q为假 故 p q为真 p q 为假 p q 为假 规律总结 判断命题 p q p q p 真假的步骤 1 确定命题构成 确定命题是 p q 还是 p q 还是 p 形式的命题 2 判断简单命题的真假 对命题p和q 不含逻辑联结词的命题 的真假作出判断 3 判断含有逻辑联结词的命题真假 对于 p q 形式的命题 可记为 有真必真 对于 p q 形式的命题 可记为 一假必假 对于 p 形式的命题 可记为 真假相反 再由 p q p q p 的真假判断方法给出结论 提醒 记忆口诀 同为真时且为真 同为假时或为假 出现假时且为假 出现真时或为真 补偿训练 分别指出由下列各组命题构成的 p或q p且q 非p 形式的含有逻辑联结词的命题的真假 1 p 9是质数 q 8是12的约数 2 p 函数y cosx是周期函数 q 函数y cosx是偶函数 3 p 0 q 0 解析 1 p或q 9是质数或8是12的约数 p且q 9是质数且8是12的约数 非p 9不是质数 因为p假q假 所以 p或q 为假 p且q 为假 非p 为真 2 p或q 函数y cosx是周期函数或是偶函数 p且q 函数y cosx是周期函数且是偶函数 非p 函数y cosx不是周期函数 因为p真q真 所以 p或q 为真 p且q 为真 非p 为假 3 p或q 0 或 0 p且q 0 且 0 非p 0 因为p真q假 所以 p或q 为真 p且q 为假 非p 为假 类型三 根据含逻辑联结词命题的真假求参数的范围 典例3 2015 青岛高二检测 命题p 关于x的不等式x2 2ax 4 0对一切x R恒成立 q 函数f x 5 2a x是减函数 若p或q为真 p且q为假 求实数a的取值范围 解题指南 先求出命题p与q为真时a的取值范围 然后根据题意讨论p q的真假 求出参数a的取值范围 解析 设g x x2 2ax 4 因为关于x的不等式x2 2ax 4 0对一切x R恒成立 所以函数g x 的图象开口向上且与x轴没有交点 故 4a2 161 即a 2 所以命题q a 2 由p或q为真 p且q为假 可知p和q一真一假 1 若p真q假 则此不等式组无解 2 若p假q真 则所以a 2 综上 实数a的取值范围是 2 延伸探究 若将 q 函数f x 5 2a x是减函数 改为 q 函数f x 5 2a x是增函数 其他条件不变 求实数a的取值范围 解析 设g x x2 2ax 4 因为关于x的不等式x2 2ax 4 0对一切x R恒成立 所以函数g x 的图象开口向上且与x轴没有交点 故 4a2 16 0 所以 2 a 2 所以命题p 2 a 2 函数f x 5 2a x