2016届高考数学经典例题集锦：数列

1 数列题目精选精编数列题目精选精编 典型例题典型例题 一 研究等差等比数列的有关性质 1 研究通项的性质 例题 1 已知数列 n a 满足 1 11 1 3 2 n nn aaan 1 求 32 a a 2 证明 31 2 n n a 解 解 1 2 123 1 3 14 3413aaa 2 证明 由已知 1 1 3 n nn aa 故 12211 aaaaaaa nnnnn 12 1 31 333 1 2 n nn a 所以证得 31 2 n n a 例题 2 数列 n a 的前n项和记为 11 1 21 1 nnn S aaSn 求 n a 的通项公式 等差数列 n b 的各项为正 其前n项和为 n T 且 3 15T 又 112233 ab ab ab 成等比数列 求 n T 解 解 由1 21 nn aS 可得 1 21 2 nn aSn 两式相减得 11 2 3 2 nnnnn aaa aa n 又21 213aS 21 3aa 故 n a 是首项为 1 公比为 3 的等比数列 1 3n n a 设 n b 的公差为d 由3 15T 得 可得123 15bbb 可得 2 5b 故可设13 5 5bd bd 又123 1 3 9aaa 由题意可得 2 51 59 53 dd 解得12 2 10dd 等差数列 n b 的各项为正 0d 2d 2 1 322 2 n n n Tnnn 例题 3 已知数列 n a 的前三项与数列 n b 的前三项对应相同 且 2 123 22 aaa 1 28 n n an 对任意的 Nn 都成立 数列 nn bb 1 是等差数列 求数列 n a 与 n b 的通项公式 是否存在 Nk 使得 0 1 kk ba 请说明理由 点拨 点拨 1 21 123 22 28 n n aaaan 左边相当于是数列 1 2n n a 前 n 项和的形式 可以联想到已知 n S 求 n a 的方法 当 2n 时 1nnn SSa 2 把 kk ab 看作一个函数 利用函数的思想方法来研究 kk ab 的取值情况 解 解 1 已知 2 123 22aaa 1 2n n a 8n n N 2n 时 2 123 22aaa 2 1 28 1 n n an n N 得 1 28 n n a 求得 4 2 n n a 在 中令 1n 可得得 4 1 1 82a 2 所以 4 2 n n a n N 由题意1 8b 2 4b 3 2b 所以21 4bb 32 2bb 数列 1nn bb 的公差为 2 4 2 1nn bb 2 1 4 n 26n 121321 nnn bbbbbbbb 4 2 28 n 2 714nn n N 2 kk ba 2 714kk 4 2 k 当 4k 时 2 77 24 f kk 4 2 k 单调递增 且 4 1f 所以 4k 时 2 714f kkk 4 21 k 又 1 2 3 0fff 所以 不存在k N 使得 0 1 kk ba 例题 4 设各项均为正数的数列 an 和 bn 满足 an bn an 1成等差数列 bn an 1 bn 1成等比数列 且 a1 1 b1 2 a2 3 求通项 an bn 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 解 解 依题意得 2bn 1 an 1 an 2 a2n 1 bnbn 1 an bn为正数 由 得 21211 nnnnnn bbabba 代入 并同除以 1 n b 得 21 2 nnn bbb n b 为等差数列 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 b1 2 a2 3 2 9 221 2 2 bbba则 2 1 1 2 2 2 2 9 1 2 2 n bnnb nn 当 n 2 时 2 1 1 nn bba nnn 又 a1 1 当 n 1 时成立 2 1 nn an 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 2 研究前 n 项和的性质 例题 5 已知等比数列 n a 的前n项和为 2n n Sab 且1 3a 1 求a b的值及数列 n a 的通项公式 2 设 n n n b a 求数列 n b 的前n项和 n T 解 解 1 2 n 时 aSSa n nnn 1 1 2 而 n a 为等比数列 得 aaa 11 1 2 又 3 1 a 得 3 a 从而 1 23 n n a 又1 23 3aabb 2 1 3 2 n n n nn b a 21 123 1 3222 n n n T 3 231 11 1231 23 22222 n nn nn T 得 21 11111 1 232222 n nn n T 1 1 1 1 241 2 1 1 32322 1 2 n n nnn nn T 例题 6 数列 n a 是首项为 1000 公比为 1 10的等比数列 数列 b n满足 12 1 lglglg kk baaa k Nk 1 求数列 b n 的前n项和的最大值 2 求数列 b n 的前n项和 n S 解 解 1 由题意 4 10 n n a lg 4 n an 数列 lg n a 是首项为 3 公差为1 的等差数列 12 1 lglglg3 2 k k k aaak 1 1 7 3 22 n n nn bn n 由 1 0 0 n n b b 得6 7n 数列 b n 的前n项和的最大值为 67 21 2 SS 2 由 1 当 7n 时 0 n b 当 7n 时 0 n b 当 7n 时 2 12 7 3 113 2 244 nn n Sbbbnnn 当 7n 时 12789nn Sbbbbbb 2 712 113 2 21 44 n Sbbbnn 2 2 113 7 44 113 21 7 44 n nnn S nnn 例题 7 已知递增的等比数列 n a 满足 234 28aaa 且 3 2a 是 2 a 4 a 的等差中项 1 求 n a 的通项公式 n a 2 若 1 2 log nnn baa 12nn Sbbb 求使 1 230 n n Sn 成立的n的最小 值 解 解 1 设等比数列的公比为 q q 1 由 a1q a1q2 a1q3 28 a1q a1q3 2 a1q2 2 得 a1 2 q 2 或 a1 32 q 1 2 舍 an 2 2 n 1 2n 2 1 2 log2n nnn baan Sn 1 2 2 22 3 23 n 2n 2Sn 1 22 2 23 n 2n 1 Sn 2 22 23 2n n 2n 1 n 1 2n 1 2 若 Sn n 2n 1 30 成立 则 2n 1 32 故 n 4 n 的最小值为 5 例题 8 已知数列 n a 的前 n 项和为 Sn 且1 1 nn Sa 成等差数列 1 1Nna 函数3 logf xx I 求数列 n a 的通项公式 4 II 设数列 n b 满足 1 3 2 n n b nf a 记数列 n b 的前 n 项和为 Tn 试比较 525 12312 n n T 与 的大小 解 解 I 1 1 nn Sa 成等差数列 1 21 nn Sa 当 2n 时 1 21 nn Sa 得 11 2 nnnn SSaa 1 3 nn aa 1 3 n n a a 当 n 1 时 由 得112 221Saa 又1 1 a 2 2 1 3 3 a a a n a 是以 1 为首项 3 为公比的等比数列 1 3 n n a II xlogxf 3 1 33 loglog 31 n nn f aan 11111 3 2 1 3 213 n n b nf annnn 1 111111111111 2 24354657213 n T nnnn 1 1111 2 2323nn 525 122 2 3 n nn 比较 525 12312 n n T 与 的大小 只需比较2 2 3 nn 与 312 的大小即可 22 2 2 3 3122 56 156 2 5150 nnnnnn 与2 15 10 nn Nn 当 19Nnn 与 时 525 2 2 3 312 12312 n n nnT 与 当 10n 时 525 2 2 3 312 12312 n n nnT 与 当 10Nnn 与 时 525 2 2 3 312 12312 n n nnT 与 3 研究生成数列的性质 例题 9 I 已知数列 n c 其中 nn n c32 且数列 nn pcc 1为等比数列 求常数p II 设 n a n b 是公比不相等的两个等比数列 nnn bac 证明数列 n c 不是等比数列 解 解 因为 cn 1 pcn 是等比数列 故有 cn 1 pcn 2 cn 2 pcn 1 cn pcn 1 将 cn 2n 3n代入上式 得 2n 1 3n 1 p 2n 3n 2 2n 2 3n 2 p 2n 1 3n 1 2n 3n p 2n 1 3n 1 即 2 p 2n 3 p 3n 2 2 p 2n 1 3 p 3n 1 2 p 2n 1 3 p 3n 1 整理得6 1 2 p 3 p 2n 3n 0 解得 p 2 或 p 3 设 an bn 的公比分别为 p q p q cn an bn 为证 cn 不是等比数列只需证 2 2 c c1 c3 事实上 2 2 c a1p b1q 2 2 1 a p2 2 1 b q2 2a1b1pq 5 c1 c3 a1 b1 a1 p2 b1q2 2 1 a p2 2 1 b q2 a1b1 p2 q2 由于 p q p2 q2 2pq 又 a1 b1不为零 因此 2 2 c c1 c3 故 cn 不是等比数列 例题 10 n2 n 4 个正数排成 n 行 n 列 其中每一行的数成等差数列 每一列的数成等比数列 并且所有公 比相等 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头已知 a24 1 16 3 8 1 4342 aa 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 求 S a11 a22 a33 ann 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 解 解 设数列 1k a 的公差为 d 数列 ik a i 1 2 3 n 的公比为 q 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 则 1k a a11 k 1 d akk a11 k 1 d qk 1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 依题意得 16 3 2 8 1 1 3 3 1143 3 1142 1124 qdaa qdaa qdaa 解得 a11 d q 2 1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 又 n2个数都是正数 a11 d q 2 1 akk k k 2 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 n nS 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 32 1432 2 1 2 1 3 2 1 2 2 1 2 1 n nS 两式相减得 nn n S 22 1 2 1 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 例题 11 已知函数 3 log f xaxb 的图象经过点 1 2 A 和 2 5 B 记 3 f n n anN 1 求数列 n a 的通项公式 2 设 nn n n n bbbT a b 21 2 若 ZmmTn 求m的最小值 3 求使不等式 12 1 1 1 1 1 1 21 np aaa n 对一切 Nn 均成立的最大实数 p 解 解 1 由题意得 2 5 log 1 2 log 3 3 ba ba 解得 1 2 b a 12 log 3 xxf 12 log 123 3 Nnna n n 2 由 1 得 n n n b 2 12 nn n nn T 2 12 2 32 2 5 2 3 2 1 1321 1132 2 12 2 32 2 52 2 3 2 1 2 1 nnn n nnn T 得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 T 2 1 1n2n2111nn1n321 n 6 1n1n1n 2 1n2 2 1 2 3 2 1n2 nn2n n 2 3n2 3 2 1n2 2 1 3T 设 2 32 Nn n nf n 则由 1 5 1 2 1 32 1 2 1 32 2 52 2 32 2 52 1 1 nn n n n nf nf n n 得 2 32 Nn n nf n 随n的增大而减小 n当 时 3 n T 又 ZmmTn 恒成立 3 min m 3 由题意得 21 1 1 1 1 1 1 12 1 Nn aaan p n 对 恒成立 记 1 1 1 1 1 1 12 1 21n aaan nF 则 1 1n2 1n2 1n 1n 4 1n 2 3n2 1n2 2n2 a 1 1 a 1 1 a 1 1 1n2 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 a 1 1 3n2 1 n F 1n F 2 n21 1nn21 1 0 nFnFnFnF即 是随n的增大而增大 nF 的最小值为 3 3 2 1 F 3 3 2 p 即 3 3 2 max p 二 证明等差与等比数列 1 转化为等差等比数列 例题 12 数列 n a 中 2 8 41 aa 且满足 nnn aaa 12 2 Nn 求数列 n a 的通项公式 设 21nn aaaS 求 n S 设 n b 1 12 n na 12 NN nn nTbbb n 是否存在最大的整数m 使得对任意 Nn 均有 n T 32 m 成立 若存在 求出m的值 若不存在 请说明理由 解 解 1 由题意 nnnn aaaa 112 n a 为等差数列 设公差为d 由题意得2 832dd 82 1 102 n ann 2 若 50210 nn则 5 21nn aaaSn 时 2 12 8102 9 2 n n aaannn 6n 时 nn aaaaaaS 76521 2 555 2940 nn SSSSSnn 故 40n9n nn9 S 2 2 n 5 6 n n 7 3 111 11 12 2 1 21 n n b nan nnn n T 1111111111 1 22233411nnnn 2 1 n n 若32 n m T 对任意 Nn 成立 即116 nm n 对任意 Nn 成立 1 N n n n 的最小值是2 1 1 162 m m 的最大整数值是 7 即存在最大整数 7 m 使对任意 Nn 均有 32 n m T 例题 13 已知等比数列 n b 与数列 n a 满足 3 n a n bn N 1 判断 n a 是何种数列 并给出证明 2 若 8131 220 aambbb 与 解 解 1 设 n b 的公比为 q 3 n a n b qlog1naa3q3 31n a1na n1 所以 n a 是以 3 log q 为公差的等差数列 2 813 aam 所以由等差数列性质可得 120813 aaaam 123 aaa 120 20 20 10 2 aa am 1220 10 1 220 33 aaam bbb 2 由简单递推关系证明等差等比数列 例题 14 已知数列 n a 和 n b 满足 1 1a 2 2a 0 n a 1nnn ba a n N 且 n b 是以q为公比的等比数列 I 证明 2 2nn aa q II 若 212 2 nnn caa 证明 数列 n c 是等比数列 III 求和 1234212 111111 nn aaaaaa 解法解法 1 I 证 证 由 1n n b q b 有 12 2 1 nn n n nn aaa q aa a Nnqaa 2 n2n II 证 证 2 2nn qaa 222 21231 n nn aaqa q 2n2 2 2 2n2n2 qa qaa 22222222 2121212 22 2 5 nnnn nnn caaa qa qaa qq n c 是首项为 5 公比为 2 q 的等比数列 III 解 解 由 II 得 2 2 211 11 n n q aa 2 2 22 11 n n q aa 于是 1221321242 111111111 nnn aaaaaaaaa 24222422 12 11111111 1 1 nn aqqqaqqq 8 2122 3111 1 2 n qqq 当 1q 时 2422 122 1113111 1 2 n n aaaqqq 3 2 n 当 1q 时 2422 122 1113111 1 2 n n aaaqqq 2 2 3 1 2 1 n q q 2 222 31 2 1 n n q qq 故 2 122 222 3 1 2111 1 1 1 n n n nq qaaa q qq 解法解法 2 I 同解法 1 I II 证 证 22 2 12122212 212212 22 22 N nnnnn nnnnn caaq aq a qn caaaa 又112 25caa n c 是首项为 5 公比为 2 q 的等比数列 III 由解法 1 中 II 的类似方法得 2222 21212 3 nn nn aaaa qq 3421212 1221234212 111 nn nnn aaaaaa aaaa aa aaa 22 22212 44 212 33 22 k kkk k kk aaq q aaq 12kn 2n22 n221 q q1 2 3 a 1 a 1 a 1 例题 15 设数列 0 1 1 其中且项和为的前 nnnn aSSna 1 证明 数列 n a 是等比数列 2 设数列 n a 的公比 qf 数列 n b 满足 1 b b n f bn 1 n N n 2 求数列 n b 的通项公式 3 设 1 1 1 nn n Ca b 求数列 n C 的前 n 项和 n 1 证明 证明 由 11 1 1 2 nnnn SaSan 相减得 1 1 2 1 n nnn n a aaan a 数列 n a 是等比数列 2 解 解 9 1 n b 是首项为 1 1 2 b 公差为 1 的等差数列 1 2 1 1 n nn b 1 1 n b n 3 解 解 1 时 11 111 1 22 nn nnn n aCan b 21 111 12 3 222 n n Tn 得 nn n 2 1 n 2 1 12T 2 1 所以 11 4 1 2 22 nn n Tn 例题 16 OBC 的各个顶点分别为 0 0 1 0 0 2 设 1 P 为线段BC的中点 2 P 为线段 OC 的中点 3 P 为线段 1 OP 的中点 对每一个正整数 3 n n P 为线段 1nn P P 的中点 令 n P 的坐标为 nn xy 12 1 2 nnnn ayyy 1 求 321 aaa 及 N n an 2 证明 4 1 4 N n n y yn 3 记 444 N nnn byyn 证明 n b 是等比数列 1 解 解 因为 y1 y2 y4 1 y3 1 2 y5 3 4 所以 得 a1 a2 a3 2 又由 1 3 2 nn n yy y 对任意的正整数 n 有 an 1 123 1 2 nnn yyy 1 12 1 22 nn nn yy yy 12 1 2 nnn yyy an 恒成立 且 a1 2 所以 an 为常数数列 an 2 n 为正整数 2 证明 证明 根据 12 4 2 nn n yy y 及 12 1 2 nnn yyy an 2 易证得 yn 4 1 4 n y 10 3 证明 证明 因为 bn 1 4n48n4 yy 1 44 4 n y 1 4 4 n y 1 4 n b 又由 b1 48 yy 1 4 4 y y4 1 4 所以 bn 是首项为 1 4 公比为 1 4 的等比数列 模拟试题模拟试题 一 填空题 1 在等差数列 an 中 已知 a1 2 a2 a3 13 则 a4 a5 a6等于 2 已知数列的通项 52 n an 则其前n项和 n S 3 首项为 24 的等差数列 从第 10 项开始为正 则公差d的取值范围是 4 在等比数列 n a 中 3 a 和 5 a 是二次方程 2 50 xkx 的两个根 则 642 aaa 的值为 5 等差数列 an 中 a1 1 a3 a5 14 其前 n 项和 Sn 100 则 n 6 等差数列 an 的前 m 项和为 30 前 2m 项的和为 100 求它的前 3m 项的和为 头 头 头 头头 头 头头 头 头头 头 头 头头 wxckt wxckt 头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头头 头 头 7 已知两个等差数列 n a 和 n b 的前n项和分别为 An和 n B 且 745 3 n n An Bn 7 7 b a 若 n n b a 为正整数 n 的取值个数为 8 已知数列 n a 对于任意 pq N 有 pqp q aaa 若 1 1 9 a 则 36 a 9 记数列 n a 所有项的和为 1 S 第二项及以后各项的和为 2 S 第三项及以后各项的和为 3 S 第n项 及以后各项的和为 n S 若 2 1 S 1 2 S 3 1 2 S 2 1 2 n n S 则 n a 等于 10 等差数列 n a 共有2 1n 项 其中奇数项之和为 319 偶数项之和为 290 则其中间项为 11 等差数列 n a 中 0 n a 若 1 m 且 0 1 2 1 mmm aaa 21 38 m S 则m的值为 12 设 n S 为等差数列 n a 的前n项和 已知66 36 324 144 6 nn SSSn 则n等于 13 已知函数 xf 定义在正整数集上 且对于任意的正整数x 都有 2 2 1 f xf x f x 且 1 2 3 6ff 则 2005 f 14 三个数 cba 成等比数列 且 0 abcm m 则 b 的取值范围是 15 等差数列 n a 中 前n项和为 n S 首项 19 4 0aS 1 若 10 nn aS 求n 2 设 2 n a n b 求使不等式 12 2007 n bbb 的最小正整数n的值 点拨 在等差数列中 dnSa nn 知道其中三个就可以求出另外一个 由已知可以求出首项 1 a 与公差d 把 nn Sa 分别用首项 1 a 与公差d 表示即可 对于求和公式 1 2 n n n aa S 1 1 2 n n n Snad 采用哪一个都可以 但是很多题目要视具体情况确定采用哪一个可能更简单一些 例如 已知 910910 0 0 0 aaaa 判断 11 171820 SSS 的正负 问题 2 在思考时要注意加了绝对值时负项变正时 新的数列首项是多少 一共有多少项 16 等差数列 n a 的前n项和为n S 1 12a 3 93 2S I 求数列 n a 的通项 n a 与前n项和为 n S II 设 n n S b n Nn 求证 数列 n b 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 17 在直角坐标平面上有一点列1 11222 nnn P x yP xyP xy 对一切正整数 n 点 n P 位于函数 13 3 4 yx 的图 象上 且n P 的横坐标构成以 5 2 为首项 1 为公差的等差数列 n x 求点n P 的坐标 设抛物线列 321n cccc 中的每一条的对称轴都垂直于x轴 第n条抛物线 n c 的顶点为n P 且过点 2 0 1 n Dn 设与抛物线 n c 相切于n D 的直线的斜率为 n k 求 12231 111 nn k kk kkk 设 2 1 4 1N nn Sx xx nnTy yy n 等差数列 n a 的任一项 TSan 其中1 a 是 ST 中的最大数 10 265125a 求 n a 的通项公式 18 已知数列 n a 满足 11 1 21 N nn aaan 1 求数列 n a 的通项公式 2 若数列 n a 满足 12 111 444 1 N nn bbbb n an n N 证明 n b 是等差数列 试题答案试题答案 1 42 2 51 2 nn 12 3 8 3 3 4 5 5 5 10 6 210 7 8 5 5 个 解法一 点拨 利用等差数列的求和公式 1 2 n n aa n S 及等差数列的性质 若2 Nmpq m p q 则2 qp m aa a 解析 7 7 b a 113 13 113 13 13 17 2 13 2 2 aa A bb B 解法 2 点拨 利用 若 n a 为等差数列 那么 bnanSn 2 这个结论 根据条件 找出 n a 和 n b 的通项 解析 可设 745 n Aknn 3 n Bkn n 则1 1438 nnn aAAkn 22 n bkn 则 7 7 b a 14738 17 272 2 k k 由上面的解法 2 可知 n n a b 1438 12 7 22 1 kn knn 显然只需使 12 1n 为正整数即可 故 1 2 3 5 11n 共 5 个 点评 对等差数列的求和公式的几种形式要熟练掌握 根据具体的情况能够灵活应用 反思 解法 2 中 若是填空题 比例常数 k 可以直接设为 1 8 4 9 解 1 211 111 222 nnn nnn aSS 10 解 依题意 中间项为 1 n a 于是有 1 1 1 319 290 n n na na 解得1 29 n a 11 解 由题设得 mmmm aaaa2 11 2 而 0 m a 2 m a 又21 38 m S 121 21 2 21 382 21 22 mm aamam m 10m 12 解 661 6 36 324144 216 nnn SSSaa 1 36 n aa 1 324 2 n n n aa S 18n 13 解 由 2 2 1 f xf xf x 知函数 Nf x x 当x从小到大依次取值时对应的一系列函数值组成一 个等差数列 1 3 2005 fff 形成一个