用二次函数图象和性质讨论一元二次方程根的分布2

1 用二次函数图象和性质讨论一元二次方程根的分布 四川省德阳市中江县会棚中学 兰李城 大家知道 二次函数与一元二次方程有着密切关系 从函数观点来看 一元二次方程 仅当二次函数的值为 0 时的特殊情况 解一元二次方程实质上就是求二次函数值为零时自 变量的值 反应在图像上就是求抛物线与 x 轴交点的横标值 因此 许多与一元二次方程 的根有关的问题都可以利用二次函数图像和性质进行一般的讨论 关于一元二次方程根的分布问题 其特殊情况课本中已介绍了用判别式和韦达定理来 讨论 然而用这种方法对一元二次方程根的分布来作一般讨论 往往由于须满足的条件较 多使问题变得复杂而降低了它的实用价值 如结合二次函数图像和性质来进行讨论 不仅 简单易行 而且还可以解决许多仅用判别式和韦达定理不易解决的问题 由于任何形式的一元二次方程总可化成 ax2 bx c 0 a b c 均为实数 且 a 0 为简单 起见 设一元二次方程 ax2 bx c 0 a b c 均为实数 且 a 0 的实根为 x1 x2 且 x1 x2 一 设 m 为常数 则由函数 f x ax2 bx c 的图像和性质 易知 1 x1 x2 均大于 m 的充要条件是 0 b 2a m f m 0 2 x1 x2 均小于 m 的充要条件是 0 b 2a m f m 0 3 x1 x2 中一根大于 m 另一根小于 m 的充要条件 是 f m 0 例 1 当 a 为何值时 方程 x2 a 2 x 5 a 0 两根均大于 2 两根均小于 2 一根大于 2 另一根小于 2 解 由 得 0 a 2 2 2 2 f 2 0 即 a 2 2 4 5 a 0 a 2 4 4 2 a 2 5 a 0 解得 5 a 4 由 得 0 即 a 2 2 2 f 2 0 解得 a 4 由 得 f 2 0 即 4 2 a 2 5 a 0 解得 a 5 二 设 m1 m2 为常实数 且 m1 m2 则 1 x1 x2 均在区间 m1 m2 之内的充要条件是 0 m1 b 2a m2 f m1 0 f m2 0 2 x1 x2 均在区间 m1 m2 之外的充要条件是 f m1 0 f m2 0 3 x1 x2 中 仅有一根在区间 m1 m2 之内的充 要条件是 f m1 f m2 0 a 2 2 4 5 a 0 a 2 4 4 2 a 2 5 a 0 3 其中 较小一根 x1 在区间 m1 m2 之内的充要条件是 f m1 0 f m2 0 较大一根在区间 m1 m2 之内的充要条件是 f m1 0 f m2 0 例 2 已知方程 x2 2ax a2 1 0 的两根均在区间 2 4 内 求 a 的值 解 由 得 0 2 a 4 即 f 2 0 f 4 0 解得 1 a 3 例 3 已知方程 x2 10mx 16 0 的两根 x1 3 x2 4 求 m 的范围 解 由 得 f 3 0 即 f 4 0 解得 m 5 6 例 4 确定 m 的值 使方程 2x2 4x m 仅有一根在区间 1 3 内 解 原方程可化为 二次项系数为正 一般形式 得 2x2 4x m 0 2a 2 4 a2 1 0 2 a 4 4 4a a2 1 0 16 8a a2 1 0 25 30m 0 32 40m 0 4 由 得 f 1 f 3 0 即 2 4 m 18 12 m 0 解得 6 m 2 例 5 a 为何值时 方程 2x2 4x 3a 0 的一根在区间 1 3 内 另一根小于 1 解 由 得 f 1 0 即 f 3 0 解得 2 a 2 3 例 6 若 x1 x2 分别是方程 ax2 bx c 0 和 ax2 bx c 0 的一个非 0 的实根 则方程 1 2 ax2 bx c 0 必有一根在 x1 和 x2 之间 证明 令 f x 1 2 ax2 bx c x1 x2 分别是方程 ax2 bx c 0 和 ax2 bx c 0 的非 0 实根 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 而 f x1 f x2 1 2ax12 bx1 c 1 2ax22 bx2 c 1 2ax12 bx1 c ax12 bx1 c 1 2ax22 bx2 c ax22 bx2 c 1 2ax12 3 2ax22 3 4a2x12x22 0 即 f x1 f x2 0 由 可得 方程 1 2ax2 bx c 0 必有一根在 x1 与 x2 之间 三 设 m1 m2 m3 为常实数 且 m1 m2 m3 则 x1 x2 分别在区间 m1 m2 和 m2 m3 之内的充要条件是 f m1 0 f m2 0 f m3 0 例 2 已知 a 为实数 关于 x 的方程 2x2 a 3 x a2 a 2 0 的两个实根分别在区间 0 1 和 1 2 内 求 a 的范围 2 4 3a 0 18 12 3a 0 5 解由 得 f 0 0 f 1 0 即 f 2 0 解得 2 a 1 或 3 a 4 四 设 m1 m2 m3 m4 均为常实数 且 m1 m2 m3 m4 则 x1 x2 分别在区间 m1 m2 和 m3 m4 之内的充要条件是 f m1 0 f m2 0 f m3 0 f m4 0 例 8 设方程 x2 2ax a2 1 0 的两根分别在区间 1 0 和 1