2.2.3圆周角定理的推论

2 2圆心角 圆周角 第2章圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第2课时圆周角定理的推论2与圆内接四边形 2 2 2圆周角 1 探索直径所对的圆周角的特征 并能应用其进行简单的计算与证明 重点 2 掌握圆内接四边形的有关概念及性质 重点 导入新课 情境引入 如图是一个圆形笑脸 给你一个三角板 你有办法确定这个圆形笑脸的圆心吗 讲授新课 问题1如图 AC是圆O的直径 那么 D D1 D2的度数分别是多少呢 这三个角所对弧上的圆心角是 AOC 而 AOC 180 利用圆周角定理 D D1 D2 90 问题2如图 若已知 D 90 它所对的弦AC是直径吗 是的 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 问题3回归到最初的问题 你能确定圆形笑脸的圆心吗 利用三角板在圆中画出两个90 的圆周角 这样就得到两条直径 那么这两条直径的交点就是圆心 典例精析 例1如图 AC是圆O的直径 CAD 60 点B在圆O上 求 ABD的度数 解 AC为直径 ADC 90 又 DAC 60 C 30 又 ABD和 C都是弧AB所对的圆周角 ABD C 30 例2如图 O直径AC为10cm 弦AD为6cm 1 求DC的长 2 若 ADC的平分线交 O于B 求AB BC的长 解 1 AC是直径 ADC 90 在Rt ADC中 在Rt ABC中 AB2 BC2 AC2 2 AC是直径 ABC 90 BD平分 ADC ADB CDB 又 ACB ADB BAC BDC BAC ACB AB BC 概念学习 如图 A B C D是圆O上的四点 顺次连接A B C D四点 得到四边形ABCD 我们把四边形ABCD称为圆内接四边形 这个圆叫作这个四边形的外接圆 如图 四边形ABCD为 O的内接四边形 O为四边形ABCD的外接圆 2 当ABCD为一般四边形时 猜想 A与 C B与 D之间的关系为 A C 180 B D 180 性质探究 1 当ABCD为矩形时 A与 C B与 D之间的关系为 A C 180 B D 180 试一试 证明 圆内接四边形的对角互补 已知 如图 四边形ABCD为 O的内接四边形 O为四边形ABCD的外接圆 求证 BAD BCD 180 证明 连接OB OD 根据圆周角定理 可知 由四边形内角和定理可知 ABC ADC 180 圆内接四边形的对角互补 要点归纳 典例精析 例3如图 ABCD是圆O的内接四边形 已知 BOD 100 求 BAD及 BCD的度数 解 圆心角 BOD与圆周角 BAD所对的弧为弧BD BOD 100 BCD BAD 180 BCD 180 BAD 180 50 130 BAD BOD 100 50 例3已知 ABC 以AB为直径的 O分别交AC于D BC于E 连接ED 若ED EC 1 求证 AB AC 1 证明 ED EC EDC C EDC B B C AB AC 2 若AB 4 BC 求CD的长 解 连接AE AB为直径 AE BC 由 1 知AB AC BE CE CDE B C C CDE CBA CE CB CD CA AC AB 4 4CD CD 1 四边形ABCD是 O的内接四边形 且 A 110 B 80 则 C D 2 O的内接四边形ABCD中 A B C 1 2 3 则 D 70 100 90 当堂练习 3 如图 A 50 ABC 60 BD是 O的直径 则 AEB等于 A 70 B 110 C 90 D 120 B 4 如图 C D是以线段AB为直径的 O上两点 若CA CD 且 ACD 40 则 CAB A 10 B 20 C 30 D 40 B 5 如图 ABC内接于 O AB BC ABC 120 AD为 O的直径 AD 6 那么AB的值为 A 3B C D 2 A 6 在 O中 CBD 30 BDC 20 求 A 解 CBD 30 BDC 20 C 180 CBD BDC 130 A 180 C 50 圆内接四边形对角互补 变式 已知 OAB等于40 求 C的度数 A B C O D 7 如图 在 ABC中 AB AC 以AB为直径的圆交BC于D 交AC于E 1 BD与CD的大小有什么关系 为什么 2 求证 AB是圆的直径 点D在圆上 ADB 90 AD BC AB AC BD CD AD平分顶角 BAC 即 B