2.2.2椭圆的几何性质

人教A版高中数学选修2 1 长沙市稻田中学龙翔 椭圆及其标准方程 斜截面边缘是椭圆 数学实验 1 在平面内 任取两个定点F1 F2 2 取一细绳并将细绳 大于两定点的距离 的两端分别固定在F1 F2两点 3 用笔尖 点M 把细绳拉紧 慢慢移动笔尖看看能画出什么图形 演示 想想看 这一过程中什么变化了 什么没有变 请你为椭圆下一个定义 椭圆的定义 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 数学实验 1 在平面内 任取两个定点F1 F2 2 取一细绳并将细绳 大于两定点的距离 的两端分别固定在F1 F2两点 3 用笔尖 点M 把细绳拉紧 慢慢移动笔尖看看能画出什么图形 演示 若改为小于或等于将是什么情况 1 改变两点之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 1 改变两点之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 1 改变两点之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两点之间的距离吗 1 改变两点之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两点之间的距离吗 1 改变两图钉之间的距离 使其与绳长相等 画出的图形还是椭圆吗 2 绳长能小于两图钉之间的距离吗 结论 若把绳长记为2a 两定点间的距离记为2c c 0 1 当2a 2c时 轨迹是 2 当2a 2c时 轨迹是 3 当2a 2c时 椭圆 线段 无 这两个定点叫做椭圆的焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 椭圆的定义 平面内与两个定点F1 F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 大于 F1F2 大家还记得求曲线方程的一般步骤吗 建系 列式 设点 证明 化简 问题 如何建系更好 使方程最简洁 圆与坐标轴的关系 圆关于X Y轴 原点对称 圆方程的最简单形式 探讨建立平面直角坐标系的方案 方案一 原则 尽可能使方程的形式简单 运算简单 一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴 对称 简洁 问题 如何化简含两个根式的方程 问题 如何化简含两个根式的方程 整理得 上式两边再平方 得 整理得 移项平方 得 问题 如何化简含两个根式的方程 两边同时除以 得 问题 观察右图 你能从中找出表示的线段吗 则 1 式可化为 1 2 令b 从上述过程可以看到 椭圆上任意一点的坐标都满足方程 2 方程 2 的解对应坐标的点都在椭圆上 则 2 为椭圆的标准方程 2 标准方程 体现数学式子的简洁美 对称美 内在的每一个字母a b都赋予它深刻的含义 最能直观体现参数几何意义 方便对椭圆的研究 标准方程 体现数学式子的简洁美 对称美 内在的每一个字母a b都赋予它深刻的含义 最能直观体现参数几何意义 方便对椭圆的研究 人生感悟 标准的制定 是个内在优化的过程 达到在一定的范围内获得最佳秩序 以促进最佳社会效益为目的 总体印象 对称 简洁 像 直线方程的截距式 特征 方程的左边是平方和 右边是1 如果焦点在Y轴上 标准方程是什么呢 思考 刚才我们得到了焦点在x轴上的椭圆方程 如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢 问题 下面怎样化简 由椭圆的定义得 限制条件 由于 得方程 看标准方程的分母 谁的分母大就在其对应的轴上 归纳方程特征 1 已知椭圆的方程为 则a b c 焦点坐标为 焦距等于 若CD为过左焦点F1的弦 则 F2CD的周长为 5 4 3 3 0 3 0 6 20 四 例题研讨 学以致用 2 已知椭圆的方程为 则a b c