2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系学案 新人教A版必修第一册

1 1 1 2 2 集合间的基本关系集合间的基本关系 1 理解子集 真子集 空集的概念 2 能用符号和 venn 图表示集合间的关系 3 掌握列举有限集的所有子集的方法 1 子集的概念 温馨提示 a是b的子集 的含义是 对任意x a都能推出x b 2 集合相等的概念 如果集合a的任何一个元素是集合b的元素 同时集合b的任何一个元素都是集合a 的元素 那么 集合a与集合b相等 记作a b 也就是说 若a b且b a 则a b 2 3 真子集的概念 温馨提示 在真子集的定义中 a b首先要满足a b 其次至少有一个x b 但x a 4 空集的概念 1 给出下列集合 a a b c b a b c d e 1 集合a与集合b有什么关系 2 集合b中的元素与集合a有什么关系 答案 1 a b 2 a b c a d e a 2 判断正误 正确的打 错误的打 1 空集中只有元素 0 而无其余元素 2 任何一个集合都有子集 3 若a b 则a b 3 4 方程x2 2 0 的解集为空集 答案 1 2 3 4 题型一集合间关系的判断 典例 1 判断下列两个集合之间的关系 1 a 1 1 b x x2 1 2 a x x是等边三角形 b x x是等腰三角形 3 a x 1 x 4 b x x 5 0 4 m x x 2n 1 n n n n x x 2n 1 n n n 思路导引 集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的 解 1 用列举法表示集合b 1 1 故a b 2 等边三角形是三边相等的三角形 等腰三角形是两边相等的三角形 故a b 3 集合b x x 2 则下列选项正确的是 a 0 mb 0 m c md 0 m 解析 选项 b c 中均是集合之间的关系 符号错误 选项 d 中是元素与集合之间的 4 关系 符号错误 答案 a 2 下列正确表示集合m 1 0 1 和n x x2 x 0 关系的 venn 图是 解析 m 1 0 1 n 0 1 n m 答案 b 题型二有限集合子集 真子集的确定 典例 2 1 填写下表 并回答问题 原集合子集子集的个数 a a b a b c 由此猜想 含n个元素的集合的所有子集的个数是多少 真子集的个数及非空真子集 个数呢 2 求满足 1 2 m 1 2 3 4 5 的集合m 解 1 原集合子集子集的个数 1 a a 2 a b a b a b 4 a b c a b c a b a c b c a b c 8 猜想 含n个元素的集合的子集共有 2n个 真子集有 2n 1 个 非空真子集有 2n 2 5 个 2 由题意可得 1 2 m 1 2 3 4 5 可以确定集合m必含有元素 1 2 且含有元素 3 4 5 中的至少一个 因此依据集合m的元素个数分类如下 含有三个元素 1 2 3 1 2 4 1 2 5 含有四个元素 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 含有五个元素 1 2 3 4 5 故满足题意的集合m为 1 2 3 1 2 4 1 2 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 4 5 1 2 3 4 5 1 求解有限集合子集问题的 3 个关键点 确定所求集合 是子集还是真子集 合理分类 按照子集所含元素的个数依次写出 注意两个特殊的集合 即空集和集合本身 空集是任何集合的子集 是任何非空集 合的真子集 2 与子集 真子集个数有关的 3 个结论 假设集合a中含有n个元素 则有 a的子集的个数为 2n个 a的真子集的个数为 2n 1 个 a的非空真子集的个数为 2n 2 个 针对训练 3 已知集合m x z z 1 x m 若集合m有 4 个子集 则实数m a 1 b 2 c 3 d 4 解析 根据题意 集合m有 4 个子集 则m中有 2 个元素 又由m x z z 1 x m 其元素为大于等于 1 而小于等于m的全部整数 则m 2 答案 b 4 已知集合b a b c c a b d 集合a满足a b a c 则满足条件的集 合a的个数是 解析 若集合a 满足a b a c 若集合a 集合a可能是 a b a b 故集合a共 4 个 答案 4 题型三利用集合间的关系求参数值 或范围 6 典例 3 已知集合a x 3 x 4 b x 1 m x 2m 1 且a b 求实数m 的取值范围 思路导引 a b 即集合a中的数在集合b中 特别注意a 的情况 解 由a b 将集合a b分别表示在数轴上 如图所示 则error 解得m 4 故m 的取值范围是 m m 4 变式 1 本例中若将 a b 改为 b a 其他条件不变 求m的取值范围 2 本例若将集合a b分别改为a 3 m2 b 1 3 2m 1 其他条件不变 求实 数m的值 解 1 由b a 将集合a b分别表示在数轴上 如图所示 b a 当b 时 1 m 2m 1 解得m 2 3 当b 时 有error 解得 m 2 3 5 2 综上可知 m的取值范围是error 2 由a b 按m2 1 和m2 2m 1 两种情况分类讨论 若m2 1 则m 1 或m 1 当m 1 时 b中元素为 1 3 3 适合题意 当m 1 时 b中元素为 1 3 1 与元素的互异性矛盾 若m2 2m 1 则m 1 由 知不合题意 综上所述 m 1 由集合间的关系求参数的 2 种方法 1 当集合为连续数集时 常借助数轴来建立不等关系求解 此时应注意端点处是实点 7 还是虚点 2 当集合为不连续数集时 常根据集合包含关系的意义 建立方程求解 此时应注意 分类讨论思想的运用 针对训练 5 已知集合a x 1 x 4 b x x a 若a b 求实数a的取值集合 解 结合数轴 a b a 4 故实数a的取值集合为 a a 4 6 设集合m x 2x2 5x 3 0 n x mx 1 若n m 求m的取值集合 解 集合m 若n m 则n 3 或或 于是当n 3 时 m 当 3 1 2 1 2 1 3 n 时 m 2 当n 时 m 0 所以m的取值集合为 1 2 2 0 1 3 课堂归纳小结 1 对子集 真子集有关概念的理解 1 集合a中的任何一个元素都是集合b中的元素 即由x a能推出x b 这是判断 a b的常用方法 2 不能简单地把 a b 理解成 a是b中部分元素组成的集合 因为若a 时 则a中不含任何元素 若a b 则a中含有b中的所有元素 3 在真子集的定义中 a b首先要满足a b 其次至少有一个x b 但x a 2 集合子集的个数 求集合的子集问题时 一般可以按照子集元素个数分 类 再依次写出符合要求的子集 集合的子集 真子集个数的规律为 含n个元素的集合有 2n个子集 有 2n 1 个真子 集 有 2n 2 个非空真子集 写集合的子集时 空集和集合本身易漏掉 3 由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法 1 注意点 不能忽视集合为 的情形 当集合中含有字母参数时 一般需要分类讨论 2 常用方法 对于用不等式给出的集合 已知集合的包含关系求相关参数的范围 值 时 常采用数形结合的思想 借助数轴解答 8 1 下列四个关系式 a b b a 0 0 0 其中正确 的个数是 a 4b 3 c 2d 1 解析 对于 任何集合是其本身的子集 正确 对于 相对于集合 来说 也可以理解为 错误 对于 空集是非空集合的真子集 故 0 正确 对于 0 是集合 0 的元素 故 0 0 正确 答案 b 2 集合a x 1 x2m 1 即m8 且x4 解析 选项 a c d 都含有元素 而选项 b 中无元素 故选 b 答案 b 3 设集合a x 1 x 2 b x x a 若a b 则实数a的取值范围为 a a a 2 b a a 1 c a a 1 d a a 2 解析 在数轴上表示出两个集合 图略 因为a b 所以a 2 答案 a 4 若集合a满足a b a c b 0 1 2 3 c 0 2 4 8 则满足上述条件的集合 a的个数为 a 0b 1 c 2d 4 解析 a b a c a中最多能含有 0 2 两个元素 a 0 2 0 2 共 4 个 答案 d 5 若集合m error n error 则 a m nb m n 10 c m nd m与n没有相同元素 解析 m error n error k z z 2k 1 为奇数 k 2 为整数 m n 故选 c 答案 c 二 填空题 6 集合a 2n 1 n z z 集合b 4k 1 k z z 则a与b间的关系是 解析 因为整数包括奇数与偶数 所以n 2k或 2k 1 k z z 当n 2k时 2n 1 4k 1 当n 2k 1 时 2n 1 4k 1 故a b 答案 a b 7 已知非空集合a满足 a 1 2 3 4 若x a 则 5 x a 则满足上述要求 的集合a的个数为 解析 由题意知 满足题中要求的集合a可以是 1 4 2 3 1 2 3 4 共 3 个 答案 3 8 定义集合a b x x a且x b 若a 1 2 3 4 5 b 2 4 5 则a b的子 集个数是 解析 在a b中 x a x可能取 1 2 3 4 5 又x b x又不能取 2 4 5 因此x可能取值只有 1 和 3 a b 1 3 其子集个数为 4 答案 4 三 解答题 9 设集合a 1 3 a b 1 a2 a 1 且b a 求a的值 解 b a a2 a 1 3 或a2 a 1 a 当a2 a 1 3 时 解得a 1 或a 2 经检验 满足题意 当a2 a 1 a时 解得a 1 此时集合a中的元素 1 重复 与元素互异性矛盾 故a 1 不合题意 综上所述 a 1 或a 2 为所求 10 已知集合m x x2 2x a 0 1 若 m 求实数a的取值范围 2 若n x x2 x 0 且m n 求实数a的取值范围 解 1 由题意得 方程x2 2x a 0 有实数解 22 4 a 0 得a 1 2 n x x2 x 0 0 1 11 又m n 当m 时 即 22 4 a 0 得a0 时 即a 1 时 m中有两个元素 若m n则m n 从而error 无解 综上 a的取值范围为 a a 1 综合运用 11 已知集合a b 若a不是b的子集 则下列说法中正确的是 a 对任意的a a 都有a b b 对任意的b b 都有b a c 存在a0 满足a0 a a0 b d 不存在a0 满足a0 a a0 b 解析 a不是b的子集 也就是说a中存在某个元素不属于b 显然正是 c 选项要表 达的 对于 a 和 b 选项 取a 1 2 b 2 3 可否定 对于 d 选项 可存在 a0 a a0 b 但a不是b的子集 如a 1 3 b 2 3 答案 c 12 若b 1 2 a x x b 则a与b的关系是 a a bb b a c a bd b a 解析 因为b的子集为 1 2 1 2 所以a x x b 1 2 1 2 所以b a 答案 b 13 已知m y y x2 2x 1 x r r n x 2 x 4 则集合m与n之间的关 系是 解析 y x 1 2 2 2 m y y 2 n m 答案 n m 14 已知a x r r x3 b x r r a x 2a 1 若b a 则实数a的取 值范围是 解析 b a b的可能情况有b 和b 两种 当b 时 12 b a error 或error 成立 解得a 3 当b 时 由a 2a 1 得a 1 综上可知 实数a的取值范围是 a a3 答案 a a3 15 已知集合a x x a 4 b 1 2 b 1 是否存在实数a 使得对于任意的实数b 都有