上海交大计算结构力学课件ppt平板弯曲问题的有限元方法01

第4章 平板弯曲问题的有限元方法第4章 平板弯曲问题的有限元方法4.1 平板弯曲问题的基本方程平板简化的基本特征： 一个方向上的尺度远小于另外两个方向。平板的基本力学假定：（1） 挠度比厚度小的多（小挠度弯曲理论）（2） 忽略厚度方向的正应力（3）中面的各点没有面内位移(其他点有位移，如何计算？)（4）板中面的法线变形后仍为法线（直法线假定）由于直法线假定当某个截面的曲率给定时， 该截面上各个点的应变也给定广义应变 广义应力 广义本构关系 。其中为薄板的弯曲刚度。平衡方程：能量原理：平板弯曲有限元的主要问题构造，满足连续性的条件 能量表达式中的导数为2次（上式中的表达式） 有限元问题 处理平板弯曲问题的3种方法（1） 直接以法向位移构造场函数（2） 杂交单元：场函数不是处处连续，而是在单元边界上的若干点连续（3） 考虑横向剪切的影响，将位移和转角独立求解。4.2 基于薄板理论的非协调单元4.2.1 矩形单元节点的自由度4个节点，12个自由度的多项式表达式中可以有12项或采用广义坐标的形式 其中注 意上述表达式中4次项的处理： 和的对称性采用的方案行吗？（不行）注意当为常数时，是的4次多项式，需要5个节点参数，连续性不能满足。采用类似的方法可以得到的形函数为：关于的讨论：（1） 刚体位移的表示（2） 常应变：因此满足完备性的要求（3） 关于单元之间的连续性1-2边：6个参数 在这条边上3次变化（二次变化），通过采用4个节点参数：，可以保证这条边上的和是连续的。注意如果采用， 则和也不能保证连续。但是沿也是3次变化，但只有2个节点参数了，、因此不能唯一确定。这是一个非协调单元（4） 其他关于刚度矩阵和等效节点载荷列阵的计算方法，类同于前述平面问题单元。（5）此类矩形单元的收敛性是存在的，但不是单调。因此得到的解答不一定是真实解的上限或下限。单元刚度矩阵和等效节点载荷列阵的推导：由于极易给出： （提问： 是否象平面问题需要乘以一个厚度？）如果所受横向载荷为常数， 进一步可得其等效节点载荷为：4.2.2 三角形单元3个节点，3个自由度，9个节点参数注意完全的3次多项式含有10项：如何选取多项式的表达式？从和的对称性角度来讲去掉哪个？采用三角形的面积坐标来构造面积坐标的一次、二次、三次分别有以下的各项：一次式：二次式：三次式：和的1次完全多项式： 上述1次式的线性组合，正好给出了单元的刚体位移模式。还有剩下的6个节点参数，采用了上述各项的形式。由于，因此这6项包含了全部二次项的组合，也按照面积坐标的方式，考虑了之间的对称组合。在形式上是对称的。一般不能满足常应变的条件，调整C，（C=1/2）时正好满足常应变要求按照节点参数，给出后，可以得到的插值表示为：其中：同样可以证明，该单元沿其单元边界的法线方向，导数不连续。在单元的边界上，为三次变化，沿边界有4个参数，可以唯一地确定边界上的。由于边界上的法向导数是二次变化，有三个待定参数，不能由边界节点处的唯一确定。因此这是一个非协调单元。4.2.3 非协调单元解的讨论大多数非协调元的精度是够的有时比协调元解答更好协调元在单元边界上过分刚硬作业：(1) 导出4节点矩形薄板弯曲非协调单