第三章单自由度系统的强迫振动(13-16)

1 激振力 第三章单自由度系统有阻尼的强迫振动 前几节讨论了在外界初始干扰下依靠系统本身的弹性恢复力维持的自由振动 本节讨论系统由外界激振所引起的振动 称为强迫振动 外界激振所引起的系统的振动状态称为响应 对于不同的外界激振 系统将具有不同的响应 一个自由度系统的振动 激振力 激振力包括 简谐激振力 非简谐的周期激振力 冲击激振力 随机激振力 等等 我们将重点讨论系统对简谐激振力的响应 因为这是最基本的 是研究其他响应的基础 最后要讨论系统对任意激振力的响应 一个自由度系统的振动 激励 激励包括 力激励 运动激励 激振力引起的振动包括 瞬态响应 稳态响应 一个自由度系统的振动 响应 简谐振动下系统的响应由初始条件引起的自由振动 伴随强迫振动发生的自由振动以及等幅的稳态强迫振动 瞬态响应只存在于振动的初始阶段 称为过渡阶段 当激励频率与系统固有频率很接近时 将发生共振现象 系统对周期激励的响应通常指稳态响应 可以借助谐波分析来研究 如图所示的弹簧质量系统中 质量块上作用有简谐激振力 一个自由度系统的振动 简谐激励下的的强迫振动 稳态阶段 P P0sin t 简谐激励是激励形式中最简单的一种 是理解系统对其他激励的基础 2 运动微分方程 按达朗伯原理 动静法 1 注1 达朗伯原理 当一个力学系统运动时 它的任何位置都可以看作是平衡位置 只要我们在原动力上再加上惯性力 这样就可以把任何动力学问题按相当的静力学问题来处理 按牛顿第二定律 最后都得到 一个自由度系统的振动 注2 简单说明一下各力方向 我们设位移x向下为正 取所有与x一致的力 速度和加速度为正 则P P0sin t 为正 kx 因弹性恢复力与位移反向 因阻尼力与速度反向 因惯性力与加速度反向 2 运动微分方程 1 关于x2 由方程 1 的非齐次P0sin t可得特解 也是简谐函数 其频率与激振力一致 一个自由度系统的振动 我们现在解这个微分方程 它比有阻尼自由振动微分方程多了右端激振力 是一个非齐次线性微分方程 它的解包含两部分 当阻尼为小阻尼时 x1是上章讨论的有阻尼自由振动 特点是振动频率为阻尼固有频率 振幅为指数衰减 称为瞬态振动或瞬态响应 x2是一种持续的等幅振动 它是由于简谐激振力的持续作用而产生的 称为稳态强迫振动或稳态振动 可见 系统受简谐振激励后的响应分为两个阶段 一开始的过程称为过渡阶段 经充分长时间后 瞬态响应消失 进入稳态阶段 其中 其中B和 是特定常数 可以把x2代回微分方程 1 求出 齐次方程解 非齐次方程 1 之特解 注3 为什么这里 只要系统有阻尼 振动位移肯定滞后于干扰力 注4 非齐次方程 1 的特解一般用参数变换法求出 但须积分 当 1 的右端具有某些特殊形式时 可直接用代数方法求出 叫待定系数法 一个自由度系统的振动 用复数方法求特解 复数形式 其中x是复数 设复数形式的特解为 一个自由度系统的振动 记 为频率比 定义为 其中 齐次方程解 非齐次方程 1 之特解 一个自由度系统的振动 我们这里利用矢量平衡关系定常数B 一个自由度系统的振动 这样 我们看到激振力P超前位移x2为 速度超前位移90 加速度超前位移180 又知 弹性力与位移x2反向 阻尼力与速度反向 惯性力与加速度反向 由方程 1 它是个力的平衡方程可见 惯性力 阻尼力 弹性力及干扰力在任何瞬时都是 平衡的 我们取即位移x2达到最大值 振幅B这一瞬时 此时各力相位如图 便于确定常数B 作旋转矢量图 一个自由度系统的振动 1 由矢量平衡必有 即 一个自由度系统的振动 P0 和以下公式等效 一个自由度系统的振动 稳态强迫振动的基本特点 1 线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激振频率而相位滞后于激振力的简谐振动2 稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质 质量 刚度 阻尼 和激振的频率及力幅 而与系统进入运动的方式 初始条件 无关 这样 我们就完全确定了特解x2 一个自由度系统的振动 P0 无阻尼系统对简谐振动的稳态响应 当 时 得到 这时 我们知道 x的前一项代表有阻尼自由振动 随时间t增加而衰减至消失 称为瞬态振动 而第二项则代表有阻尼强迫稳态振动 在简谐激振力下 它是简谐振动 它与激振力有相同频率 其振幅B 相位差 只与系统本身性质 激振力大小 频率有关 与初始条件无关 初始条件只影响瞬态振动 一个自由度系统的振动 讨论 我们主要感兴趣的是强迫稳态振动 即 经过一段时间后 有 一个自由度系统的振动 1 幅 频特性 频率比 激振力频率与固有频率之比 我们设 把振幅写成 这就是用频率比和阻尼比所表示的动力放大系数 再引进两个参数 振幅放大系数或动力放大系数 由于动加载而使位移加大的程度 于是得到 一个自由度系统的振动 a 当 由零开始从小到大时 动力放大系数 从小到大 再从大到小 我们做出幅 频特性曲线 可见 0时 1 静态 1时 0 当激振频率远大于固有频率时 系统不响应 一个自由度系统的振动 b 当 接近1时 达最大值 即振幅达B Bmax 称为共振 这时系统的动应力最大 对系统 或结构 的破坏最大 注意到 位移共振时 1 就是说 这时激振动的频率并不等于系统的固有频率 所以不能用这种方法测定系统的固有频率 但是 当阻尼很小时 一般 1 c 阻尼越大 即 接近1 共振峰越低 即 小 一个自由度系统的振动 位移滞后于激振力的相位角 2 相 频特征 注 该式显示了相位差随 变化的规律 作相 频特性曲线 一个自由度系统的振动 a 当 有 静 0 10 21 2 2 相 频特征 可见 b 阻尼不同时 特征曲线不同 但当时 无论阻尼 如何 位移落后于激振力的相位差总是 2 我们可以利用这一特点测定系统的固有频率 n 这种方法叫相位共振法 一个自由度系统的振动 由公式及图可见 3 速度幅 频特性 作速度幅 频特征曲线 类似于位移振幅放大系数 动力放大系数 可定义速度幅放大系数 当 0时 v 0 无振动 静态 当 1时 v v max发生共振 当 时 v 0 一个自由度系统的振动 4 加速度幅 频特性 作加速度幅 频特性曲线 定义加速度幅放大系数 当 0时 g 0 静态 当 稍 1处 g g max 当 时 g 1 一个自由度系统的振动 前边 我们由曲线说明了发生位移共振 速度幅共振及加速度幅共振时的大小 实际上 我们有 v g的解析函数 用求函数极值的方法可以解析地确定共振时频率比的大小 一个自由度系统的振动 只有速度共振发生在 1处 即当激振力频率等于系统固有频率时发生速度共振 我们可利用这一特点测定系统的固有频率 n 令 得 可见位移共振发生在 1处 令 得 1 可见速度共振发生在 1处 令 得 可见加速度共振发生在 1处 一个自由度系统的振动 位移放大系数 证明 当 发生共振 5 共振现象的实质 a 共振点 我们在确定x2 Bsin t 中常数B 时曾画过矢量平衡图 那时没有发生共振 激振力幅P0超前位移 角 当 1 即 n时 发生速度共振 弹性力与惯性力平衡 即kB m n2B 外加激振力仅用于克服阻尼力 即p0 r nB 一个自由度系统的振动 这时 2 力的平衡图如右 特点是 5 共振现象的实质 a 共振点 弹性力与惯性力平衡 即kB m n2B 外加激振力仅用于克服阻尼力 即p0 r nB 一般系统阻尼很小 要平衡激振力 只有靠振幅B的不断增大 直到产生的阻尼力r nB足以平衡激振力p0为止 从能量观点看 功率N Fvcos 共振时激振力与速度同向 即 0 此时激振力以最有效方式对系统做功 使系统能量增加 表现在振幅B加大 一个自由度系统的振动 b 共振区 所谓共振区 就是共振点 1 附近振幅相对比较大的区域 共振区一般指相 频特性曲线上 45 和 135 相对应的频率上的 1和 2之间的区域 由公式 当 45 时 当 135 时 注 由tg45 1 则2 1 2 2 2 1 0 所以共振区宽度 1 2 2 可见 阻尼越大 共振区越宽 一个自由度系统的振动 由速度幅放大系数公式 为求 1 2时的 v值 把公式变化为 共振时 1 v max 1 2 当 2时 135 注 当 1时 1 45 在共振区内 一个自由度系统的振动 v max 1 2 一个自由度系统的振动 共振时的振幅放大因子也称为品质因子 在共振区内 低频 高频及共振时的三种力多边形 P0 P0 振动缓慢 速度及加速度都很小 因而阻尼力与惯性力很小 主要由弹性力与激振力平衡 相位差为0 高频 加速度都很大 主要由惯性力与激振力平衡 相位差为180 共振时 振动剧烈 振幅很大 这时弹性力 阻尼力及惯性力都很大 弹性力与惯性力相互平衡 而激振力全部用于克服阻尼力 相位90 机械阻抗 工程机械领域 机械阻抗定义为简谐振动时复数形式的输入与输出之比 位移阻抗为 输入即 输出即 x t 又 位移阻抗为 速度阻抗为 加速度阻抗为 机械阻抗的倒数称为机械导纳 机械阻抗的倒数称为机械导纳 所以分别称为位移导纳 速度导纳及加速度导纳 工程中把位移阻抗和位移导纳又分别称为动刚度和动柔度 速度阻抗称为阻抗 加速度阻抗简称为视在质量 6 避免与利用共振 共振时系统的振动特别强烈 动应力很大 对结构强度及仪表使用造成威胁 因此 在结构设计中 避免发生共振是很重要的问题 例如直升飞机的螺旋桨就是一个振源 而整个飞机通过起落架与地面接触 这有一定的固有频率 如果两者频率相等 就会在直升飞机着陆的一瞬间发生地面共振 可能在几秒钟内造成机毁人亡的严重后果 其速度之快使飞行员来不及或无法采取措施 因此 不但在飞机设计过程中要尽量避免 而且在造出这样的飞机后还须作地面试验以检验是否满足要求 一个自由度系统的振动 防止共振总的来说有两方面 a 消除振源 例如做动平衡试验 发现有惯性力偶作用时用加配重方法调整 b 若振源无法完全消除 则要使激振力频率与系统固有频率之比 远离共振区范围工作 这又分为两种情况 若 已定 则要调整设计使 n远离 若 n已定 则设法使 远离 n 这里要说明一点 若一系统须稳定在 1以右较远处工作时 这样就必须越过共振区 从实践和理论上都表现 在短时间内越过共振区没有什么危险 因为共振是一个能量积累的过程 振幅增大需要一定的时间 另外 认识了共振 人们可以利用共振 例如用共振法测系统的固有频率 一个自由度系统的振动 一个自由度系统的振动 一个自由度系统的振动 系统的固有频率为 阻尼系数为 相对阻尼系数为 除去阻尼后的振幅为 1 2 B P0 2 k P0 c wn c P0 B wn 一个自由度系统的振动 其中频率比为 于是得到 有阻尼的振幅为 例2 用图示共振试验得到的速度幅 频特性曲线 求系统的阻尼比 一个自由度系统的振动 我们知道 共振区宽度与阻尼比 有关即 解 图中Bv为速度幅 即 B 该图是速度幅随激振力频率 变化的曲线 当 n时Bv Bvmax即共振点 例2 用图示共振试验得到的速度幅 频特性曲线 求系统的阻尼比 一个自由度系统的振动 这就是说 用速度共振方法可测定系统的阻尼 在曲线上量取 于是得到 1 2 则 或 注 一个自由度系统的振动 例二 电机转速1760转 分 由于未很好平衡 产生不平衡力70公斤使支座振动 支座弹簧常数11000公斤 厘米 配有阻尼装置 其c 35公斤 厘米 电机重300公斤 求 振幅 无阻尼时的振幅 固有频率fn 一个自由度系统的振动 例二 电机转速1760转 分 由于未很好平衡 产生不平衡力70公斤使支座振动 支座弹簧常数11000公斤 厘米 配有阻尼装置 其c 35公斤 厘米 电机重300公斤 求 振幅 无阻尼时的振幅 固有频率fn 可见 由于阻尼的存在使振幅下降为原来的1 10 它与激振力频率1760转 分很接近 解 激振力频率弧度 秒 于是 厘米 当c 0时 厘米 周 分 一个自由度系统的振动 前面我们讨论的振动问题都是把振动系统 弹簧 阻尼 质量系统 固定在基础上 激振力作用在质量上 而基础是固定不动的 这类振动称为第一类振动问题 3 5基础振动 第二类振动问题 工程中 经常遇到另一种情况 激振力不直接作用在质量上 而是由于基础本身振动使与基础相联的弹簧 阻尼 质量系统发生振动 这类振动称为第二类振动问题 例如 装在机器上的仪器 仪表等等 由于仪器振动 仪器 仪表发生第二类振动 另外 振动试验台就是典型的作基础振动的机械 在振动台上做试验的试件的振动就属于第二类振动 一个自由度系统的振动 一 计算模型和振动微分方程 基础作简谐振动 取坐标x1向下为正 运动方程是 x1 bsin t 那么 作用在m上的力有 一个自由度系统的振动 取坐标x为质量m离开平衡位置的绝对位移 向下为正 取为质量m对于基础的相对位移 则有 应用动静法原理 可写出微分方程 1 表示质量相对于基础运动形式 即 1 一个自由度系统的振动 3 二 相对振动 用P0 mb 2代入 1 式 则相对振动微分方程为 这与前边讨论的第一类有阻尼强迫的形式完全相同 就是说 相当于在质量m上直接作用一个简谐力 其力幅P0 mb 2 其方向与基础振动的加速度方向相反 应用前边的结果 可以直接写出方程 3 的解 其中相对位移振幅 一个自由度系统的振动 质量m滞后于基础相位差 引进参数 相对位移传递系数 质量m相对于基础的振幅与基础自身振幅之比 作相系统对振动的幅 频特征曲线 曲线 可见 1 当 1时 0 就是说 当基础振动频率 远比系统固有频率为低时 系统的相对振动幅 这表明 系统几乎完全随着基础一起振动 0即刚性连接 一个自由度系统的振动 把幅 频 相 频特性结合起来即得到结论 当 1时 即基础频率 高时 质量m相对于基础的振幅接近等于基础本身的振幅 而且两者相位相反 这说明质量m实际上几乎在空间静止不动 绝对位移为零 系统的相频特性与第一类振动相同 请大家回忆一下 2 当 2时 1 当 3以后 1 就是说 系统相对于基础的振幅接近等于基础的振幅 一个自由度系统的振动 再看相对速度传递系数 四 系统固有频率的测定 在第一类振动中 我们介绍过 用速度振幅共振及相位共振都可测定系统的固有频率 在第二类振动中 由的表达式及有关曲线可以看到 最大相对位移传递系数不发生在 1处 因此不能用位移共振法测出系统的固有频率 一个自由度系统的振动 这就是说 用相对位移 速度 加速度共振都无法测定相同的固有频率 唯有利用相对振动的相 频特性可测得相同的固有频率 即 可以看到 和的表达式是一样的 一个自由度系统的振动 因此 在振动试验中 同时测出物体相对于振动台的运动及振动台本身运动 比较二者相位 当前者滞后于后者 2时 振动台的振频就等于系统的固有频率 由式可见 当 1时 这时产生相继共振 就是说 当基础振频 等于系统固有频率 n时无论阻尼如何 质量m相对于基础的运动落后于基础运动的相位角是 2 一个自由度系统的振动 五 惯性式拾振器 第二类振动物体也是强迫振动 与第一类振动不同之点在于 第一类振动的激振力直接作用在质量m上 而第二类振动是以基础位移形式进行激振的 所以又称为位移激振 利用上述位移激振的理论 人们设计了惯性式拾振器 拾振器的壳体带有磁钢 它与振动物体刚性连接着 线圈由弹性与壳体连接 这样 当物体振动时 壳体随振动物体一起振动 而线圈发生第二类振动 使线圈弹簧系统的固有频率 n远低于物体在频率 一般 则 也就是说 线圈实际停留在空中不动 于是 不动的线圈与运动着的带磁钢壳体间有相对运动 其相对运动速度等于振动速度v 线圈切割磁力线产生电动势 由电磁感应定律 E BLV 10 4 一个自由度系统的振动 这种拾振器转换的电压信号E与物体振动速度成正比 又称为速度型拾振器 若增设积分电路则可测位移 微分电路可测加速度 按预先标定可直接读出位移 速度 加速度之数值 式中 E 线圈感应电动势 伏 B 空气中的磁感应强度 高斯 L 线圈的绕线长度 米 V 相对运动速度 米 秒 一个自由度系统的振动 振动会损坏机器设备 影响仪器 仪表的工作 振动产生的噪音对人体也有害 因此有必要进行隔振 隔振的原理就是前边讲过的关于第一类及第二类振动的理论 3 6振动的隔离 按激振方式不同可以把隔振分为两类 第一类隔振 又称为主动隔振 机器本身是振源 把它与地基隔离开来 以减少其对周围的影响 第二类隔振 又称为被动隔振 当基础发生振动时 为保护安装在此基础上的设备而把二者隔离开来 隔振的方法是在我们希望隔开的两者之间加上由弹性 阻尼元件组成的减振器 例如 橡胶隔振器 对减振器的要求后面将详细讨论 我们先讲第一隔振 一个自由度系统的振动 二 第一类隔振 振源是机器本身 目的是减小传递到地基上的力 设机器质量为m 我们设法把它与基础隔离开 以减少其对周围的影响 设机器的激振力为P P0sin t 若把机器刚性固定在基础上 则激振力将不折不扣地传到基础上 今把机器与基础间装上减振器 如图 按第一类振动理论 可写出m k r系统在P P0sin t作用下的位移方程 x Bsin t 一个自由度系统的振动 振源 机器 通过减振器传给基础的力应为弹性力与阻尼力的矢量和 其中 所以 传给基础的振动力幅值为 一个自由度系统的振动 注 用TF表示经减振器传给基础的振动力幅值与振源激振力幅值之比 TD TF 力传递系数 一个自由度系统的振动 一 第二类隔振 设基础以x1 bsin t规律振动 若质量为m的设备刚性固定基础上 不加隔振器 则基础的振动将不折不扣地传到设备上去 即x x1 bsin t 设备振动的振幅 相位与基础相同 今将设备和基础之间装上减振器 其弹簧系数k 阻尼r 按第二类振动理论 设备m的振动为 一个自由度系统的振动 m r k m x x1 0 第二类隔振的目的 就是要求通过减振器使设备m的振幅小于地基的振幅 即TD 1 所以第二类隔振的实质就是隔幅 同时也起到了隔力作用 我们比较一下经过隔振后m的振幅与未经隔振时设备m的振幅 即地基振幅 就是前边讲过的位移传递系数 我们现在从隔振角度对第二类振动的幅 频特性曲线 TD 曲线 作进一步讨论 必须找出有效的隔振措施 一个自由度系统的振动 其中 基础振动频率 n 由设备m与减振器组成的系统之固有频率 1 不论阻尼大小 只有当时才有隔振效果 2 在以后 随 增加 TD逐渐减小 即隔振效果越来越高 但当 5之后 TD曲线接近水平 就是说 再加大 隔振效果提高甚微 因此 一般取 2 5即可 3 为提高 须降低设备与减振器组成系统之固有频率 n 又 也就是说使减振器的弹性元件逾软逾好 但弹性元件太软抵抗外界冲击力能力变差 所以 对 不能一味提高 有时基础振频 很低 难以达到的要求 宁可使用刚体固定方法 使TD 1 一个自由度系统的振动 以上四点就是设计减振器的理论依据 4 以后 位移传递系统TD随阻尼增加而提高 可见在这种情况下阻尼增加对隔振不利 但也不能因此而盲目减少阻尼 因为意味要越过共振区工作 阻尼太小将提高共振峰 因此要全面考虑 一个自由度系统的振动 0 1 2 4 2 1 0 7 0 4 0 3 0 2 3 1 第一类隔振的目的 就是使经过减振器传给基础的力小于振源 机器 的激振力 即TF 1 所以第一类隔振实质就是隔力 一个自由度系统的振动 应当注意的是 在第一类隔振中 在设计减振器时 除了满足TF的要求外 还应考虑机器本身的振幅B和静位移是否会影响机器的正常工作 通常 一台机器 动力源 的正常工作 对振幅有严格的限制 如果其激振力频率 很低 为了达到隔振目的使 势必把减振器的刚度设计得很低 虽然达到隔力目的使机器振幅加大到不允许的程度 在这种情况下 我们不得牺牲隔力 而采用刚度固定方法 以满足对振幅的限制 此时TF 1 即激振力百分之百传到基础上 为了表示隔振效果 这里是用隔力效率 F 1 TF 100 它表示由减振器隔离掉的激振力的百分率 与 F可以统称为隔振效率 一个自由度系统的振动 例 橡皮金属减振器在额定重量下静位移为1 6mm 用作航空仪表隔振 飞机振动范围20 200Hz 求 1 最低隔振效率 2 当隔振效率为50 时 对应的频率是多少 一个自由度系统的振动 求TD用 例 橡皮金属减振器在额定重量下静位移为1 6mm 用作航空仪表隔振 飞机振动范围20 200Hz 求 1 最低隔振效率 2 当隔振效率为50 时 对应的频率是多少 解 这是第二类隔振问题 仪表隔振系统的固有频率为 由TD 曲线可见 当 1以后 越大 即激振频率越高 隔振效率提高 因此 最低隔振效率发生在f 20Hz处 min 20 12 5 一个自由度系统的振动 则TD 0 5 忽略阻尼 min 1 0 63 100 37 若 1 TD 100 50 则 由 则 得 一个自由度系统的振动 例 一机器安装在弹性支承上 测得固有频率为f 12 5HZ 阻尼比 0 15 参与振动的质量为880kg 已知机器转速N 2400r min时 不平衡力的幅值是1470N 求机器振动的振幅 力传递及传到地基上的力幅 一个自由度系统的振动 例 一机器安装在弹性支承上 测得固有频率为f 12 5HZ 阻尼比 0 15 参与振动的质量为880kg 已知机器转速N 2400r