2.2.2圆周角定理

2 2圆心角 圆周角 第2章圆 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 第1课时圆周角定理与推论1 2 2 2圆周角 1 理解圆周角的概念 会叙述并证明圆周角定理 2 理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解决简单的几何问题 重点 难点 3 理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用 难点 在射门过程中 球员射中球门的难易与它所处的位置B对球门AC的张角 ABC 有关 问题图中的 ABC ADC和 AEC的顶点各在圆的什么位置 它们的两边和圆是什么关系 情境引入 导入新课 顶点在圆上 并且两边都与圆相交的角叫作圆周角 如 BAC 我们把 BAC叫作BC所对圆周角 BC叫作圆周角 BAC所对的弧 讲授新课 概念学习 C O A B C O B C O B A A C O A B C O B C O B A A 练一练下列各图中的 BAC是否为圆周角 并简述理由 2 1 3 5 6 顶点不在圆上 顶点不在圆上 边AC没有和圆相交 图中的 ABC ADC和 AEC都是AC所对的圆周角 我们知道在同圆或等圆中 相等的弧所对的圆心角相等 那么图中的三个圆周角有什么关系 为了弄清楚这三个角的关系 我们先来研究一条弧所对的圆周角和圆心角的关系 我们猜测也相等 问题1如图 点A B C是 O上的点 请问图中哪些是圆周角 哪些是圆心角 合作探究 圆心角 BOC 圆周角 BAC 问题2分别量出这些角的度数 你有什么发现 BOC 2 BAC 问题3变动点A的位置 看看上述结论是否依然成立 变动点A的位置 圆周角的度数没有变化 它的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半 推导与验证 已知 在圆O中 弧BC所对的圆周角是 BAC 圆心角是 BOC 求证 BAC BOC 圆心O在 BAC的内部 圆心O在 BAC的一边上 圆心O在 BAC的外部 圆心O与圆周角的位置有以下三种情况 我们一一讨论 圆心O在 BAC的一边上 特殊情形 OA OC A C BOC A C 圆心O在 BAC的内部 圆心O在 BAC的外部 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半 圆周角定理 知识要点 100 A O 20 O 90 A B A B B C C 1 2 3 求 AOB 求 AOB 求 A 练一练 1 解 圆心角 AOB与圆周角 ACB所对的弧为 例1如图 OA OB OC都是 O的半径 AOB 50 BOC 70 求 ACB和 BAC度数 AB A ACB AOB 25 同理 BAC BOC 35 典例精析 例2如图 AB是 O的直径 C D E是 O上的点 则 1 2等于 A 90 B 45 C 180 D 60 A 例3如图 点A B C是圆O上的三点 且四边形ABCO是平行四边形 OF OC交圆O于点F 则 BAF等于 A 12 5 B 15 C 20 D 22 5 解析 连接OB 四边形ABCO是平行四边形 OC AB 又OA OB OC OA OB AB AOB为等边三角形 OF OC OC AB OF AB BOF AOF 30 由圆周角定理得 BAF BOF 15 故选 B 讲授新课 问题4回归到课堂初始探讨的问题中 A A1 A2和 A3都是弧BC所对的圆周角 那么他们相等吗 因为 A A1 A2和 A3所对弧上的圆心角均为 BOC 由圆周角定理可知 A A1 A2 A3 圆周角定理的推论1 在同圆 或等圆 中 同弧或等弧所对的圆周角相等 相等的圆周角所对的弧也相等 完成下列填空 1 2 3 5 如图 点A B C D在同一个圆上 AC BD为四边形ABCD的对角线 4 8 6 7 例4如图 O中 弦AB与CD交于点M A 45 AMD 75 则 B的度数是 A 15 B 25 C 30 D 75 典例精析 C 当堂练习 1 判断下列各图形中的角是不是圆周角 图 图 图 图 图 2 指出图中的圆周角 ACO ACB BCO OAB BAC OAC ABC 3 如图 点B C在 O上 且BO BC 则圆周角 BAC等于 D A 60 B 50 C 40 D 30 4 如图 AB是 O的直径 C D为圆上两点 AOC 130 则 D等于 A 25 B 30 C 35 D 50 A 5 如图 在 O中 弧AB 弧AC AOB 50 则 ADC的度数是 A 50 B 40 C 30 D 25 D 6 如图 AB是 O的直径 AOD是圆心角 BCD是圆周角 若 BCD 25 则 AOD 130 7 如图 已知圆心角 AOB 100 则圆周角 ACB ADB 130 50 8 如图 在 O中 弧AB 弧CD DCB 28 则 ABC 28 9 如图 分别求出图中 x的大小 解 1 同弧所对圆周角相等 x 60 2 连接BF F 同弧所对圆周角相等 ABF D 20 FBC E 30 x ABF FBC 50 60 x 30 20 x A