2020届盘锦市辽河油田第二高级中学高三上学期期末数学（理）试题（解析版）

2020届辽宁省盘锦市辽河油田第二高级中学高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1复数是的共轭复数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】利用复数的乘法法则将复数表示为一般形式，利用共轭复数的概念可求出与的值，即可得出的值.【详解】，解得，因此，.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算，同时也考查了共轭复数的概念以及利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.2已知全集，集合，则等于（ ）ABCD【答案】C【解析】由题设条件先求出集合A，再由补集的运算求出，然后再由交集的运算求【详解】解：，又，故选：C【点睛】本题考查集合的交集、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用32019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（ ）A甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数B甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数C甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数D甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差【答案】D【解析】根据茎叶图分别找出中位数，求出平均数，方差，即可判断.【详解】由茎叶图可得：甲组选手得分的平均数：甲，乙组选手得分的平均数：乙，两个平均数相等，所以A选项错误；甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，所以B、C错误；甲组选手得分的方差：甲，乙组选手得分的方差：乙，所以甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差.故选：D【点睛】此题考查根据茎叶图的数字特征，求平均数，中位数，方差.4设为等差数列的前项和，已知，则（ ）ABCD【答案】D【解析】设等差数列的公差为，利用条件求出的值，由此可计算出的值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，因此，.故选：D.【点睛】本题考查等差数列中相关项的计算，一般利用方程思想求出首项和公差的值，同时也涉及了等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5已知直线是函数的一条对称轴，则（ ）AB在上单调递增C由的图象向左平移个单位可得到的图象D由的图象向左平移个单位可得到的图象【答案】D【解析】由正弦型函数的对称性，我们可以判断出选项A错误，由正弦型函数的单调性可以判断出选项B错误，根据正弦型函数的平移变换可以判断出选项C错误和选项D正确.【详解】由题意可得：，据此可得：，令k=0可得：，选项A错误；函数的解析式为：，若，则，函数不具有单调性；由的图象向左平移个单位可得到的函数图象，选项C错误；由的图象向左平移个单位可得到的图象，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题考查三角函数图象和性质的综合应用，熟练掌握正弦型函数的对称性及平移变换法则是解答本题的关键，属基础题.6平面向量与的夹角为，则（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：平面向量与的夹角为，故选A.【考点】平面向量数量积的运算.7使命题：，为假命题的一个充分不必要条件为（ ）ABCD【答案】B【解析】先求命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可【详解】解：若命题：，为假命题，则命题命题：，为真命题，则，即，解得，命题的等价条件为，则对应的充分不必要条件为的一个真子集，故选：B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系是解决本题的关键8投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）A0.648B0.432C0.36D0.312【答案】A【解析】试题分析：该同学通过测试的概率为，故选A【考点】次独立重复试验9如图所示是某多面体的三视图，图中小方格单位长度为1，则该多面体的侧面最大面积为（ ）ABCD【答案】B【解析】将该几何体放在棱长为的正方体中，通过三视图还原出几何体，计算各侧面面积比较即可.【详解】由三视图可知多面体是棱长为2的正方体中的三棱锥，故，该多面体的侧面最大面积为故选：B【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体，还原时可以将该几何体放在正方体中考虑，属于常考题.10已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为ABC2D【答案】D【解析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.【详解】由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点为圆的直径 根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形又，可得： 本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.11中，,为线段上任意一点，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】C【解析】先设PAx，x0，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解【详解】ABC中，设PAx，x0，则（）x（x）cos180+2（x）cos45x2x+4，x0，由二次函数的性质可知，当x时，有最小值；当x0时，有最大值4，所求的范围是，4故选：C【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题12已知函数，若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）A7BCD【答案】B【解析】通过求导数，根据导数符号可判断出是上的增函数，且是奇函数，从而根据可得出，从而得出，从而得出，且，都为正数，从而根据基本不等式即可求出最小值【详解】解：，是增函数，且是奇函数，由得，即 ，都为正数，当且仅当时取等号，的最小值为故选：【点睛】本题考查了根据导数符号判断函数单调性的方法，基本初等函数的求导公式，奇函数的定义，基本不等式求最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题二、填空题13已知函数在处的切线与直线平行，则的展开式中常数项为_；【答案】【解析】函数在处的切线的斜率为，直线的斜率为，依题得，故，再利用二项式定理计算结果即可.【详解】由题意知，.由题意知，即.， 其常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查导数的几何意义和二项式定理，属于基础题.14已知点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于， 两点，若点为线段的中点，且，则_【答案】8【解析】设，又，由为的中点，求得，直线的方程代入，得，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解。【详解】设，又，因为为的中点，所以点的坐标为，则，即，又由，则，即，直线的方程为，代入，得，设，则，解得，由抛物线的定义得：，解得：。【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。15在中，角所对的边为，若，则当取最大值时，_；【答案】【解析】由余弦定理得，结合条件，将式子通分化简得，再由辅助角公式得出，当时，取得最大值，从而求出结果.【详解】在中由余弦定理可得，所以，其中，当取得最大值时，故答案为：.【点睛】本题考查解三角形及三角函数辅助角公式，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16九章算术是我国古代数学经典名著，其中有这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小.以锯锯之，深一寸，锯道长一尺.问径几何？”其意为：今有圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该木材，锯口深一寸，锯道长尺.问这块圆柱形木材的直径是多少？现有长为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）.已知弦尺，弓形高寸，估算该木材镶嵌在墙体中的体积约为_立方寸.（结果保留整数）注：l丈10尺100寸，.【答案】633【解析】由题意画出图形，求出圆柱的底面半径，进一步求出弓形面积，代入体积公式得答案【详解】如图所示：（寸，则（寸，（寸，设圆的半径为（寸，则（寸，在中，由勾股定理可得：，解得：（寸，即，则则弓形的面积（平方寸）则算该木材镶嵌在墙中的体积约为（立方寸）故答案为：633.【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台体积的求法，关键是对题意的理解，是中档题三、解答题17如图，四棱锥中，为正三角形，且.（1）证明：直线平面；（2）若四棱锥的体积为，是线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明，推出平面；（2）以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，由（1）的结论知，平面，所以则向量与向量所成的角或其补角与直线与平面所成的角互余，计算结果即可.【详解】（1），且，又为正三角形，所以，又，所以，又，/，所以平面.（2）设点到平面的距离为，则，依题可得，以为原点，直线、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，分别求出各点的坐标和向量，由（1）可知平面，故向量是平面的一个法向量，则向量与向量所成的角或其补角与直线与平面所成的角互余.则，则，设，由，可得，解得，即，所以，又由（1）可知，是平面的一个法向量，所以直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面垂直的判定以及用向量法求线面角，考查逻辑思维能力和空间想象能力，属于高考常考题型.18已知数列的前n项和为，且. （1）求数列的通项.（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）；（2） .【解析】(1)利用通项与前n项和的关系求得关于的递推公式满足等比数列,再求得首项与公比即可求得数列的通项.(2) 为差比数列,故考虑用错位相减求和.【详解】解（1）两式相减得,即数列an是等比数列(2) 得【点睛】本题主要考查了通项与前n项和的关系,同时也考查了错误相减求和的方法,属于中等题型.19自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：20以下20,30)30,40)40,50)50,60)60,7070以上使用人数312176420未使用人数003143630（）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；（）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.【答案】（）（）详见解析（）2200【解析】（）随机抽取的100名顾客中，年龄在30，50）且未使用自由购的有3+1417人，由概率公式即可得到所求值；（）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；（）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值【详解】解：（）在随机抽取的100名顾客中，年龄在30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在30,50)且未使用自由购的概率为（）所有的可能取值为1,2,3，,.所以的分布列为123所以的数学期望为.（）在随机抽取的100名顾客中，使用自由购的共有人，所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.【点睛】本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合20已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于点两点，问轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）由面积最大值可得，又，以及，解得，即可得到椭圆的方程，（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形，设，线段的中点为，根据韦达定理求出点的坐标，再根据，即可求出的值，可得点的坐标.【详解】（1）面积的最大值为，则：又，解得：，椭圆的方程为：（2）假设轴上存在点，是以为直角顶点的等腰直角三角形设，线段的中点为由，消去可得：，解得：， 依题意有，由可得：，可得：由可得：，代入上式化简可得：则：，解得：当时，点满足题意；当时，点满足题意故轴上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形【点睛】本题考查了椭圆的方程，直线和椭圆的位置关系，斜率公式，考查了运算能力和转化能力，属于中档题.21已知，函数(1)讨论函数的单调性；(2)若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为、，求的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，（2）由x2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，求出b1b2，再构造函数，利用导数，即可求出b1b2的取值范围【详解】（1），当a0时，f（x）0在x（0，+）上恒成立，f（x）在（0，+）上单调递减；当a0时，时f（x）0，时，f（x）0，即f（x）在上单调递减，在单调递增；（2）x=2是f（x）的极值点，由（1）可知，a=1，设在P（x1，f（x1）处的切线方程为，在Q（x2，f（x2）处的切线方程为若这两条切线互相平行，则，且0x1x26，x1（3，4）令x=0，则，同理，【解法一】，设，g（x）在区间上单调递减，即b1-b2的取值范围是【解法二】，令，其中x（3，4）函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，b1-b2的取值范围是【解法三】x1x2=2（x1+x2），设，则，g（x）0，函数g（x）在区间上单调递增，b1-b2的取值范围是【点睛】本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题22选修44：极坐标与参数方程已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，曲线C：(为参数)，在以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同单位长度的极坐标系，直线l：.()求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；()曲线C上恰好存在三个不同的点到直线l的距离相等，分别求出这三个点的极坐标【答案】()见解析；()见解析.【解析】试题分析： （1）