《高等数学A(2)》教学大纲

高等数学A（2）教学大纲课程编号：1021750总学时：72学分：4.5基本面向：全院非理工学门类本科各专业、49专业所属单位：数理学院高等数学教研室一、本课程的目的、性质及任务 数学是研究客观世界数量关系和空间形式的科学。随着现代科学技术和数学科学的发展，“数量关系”和“空间形式” 具备了更丰富的内涵和更广泛的外延。现代数学内容更加丰富，方法更加综合，应用更加广泛。数学不仅是一种工具，而且是一种思维模式；不仅是一种知识，而且是一种素养；不仅是一种科学，而且是一种文化，能否运用数学观念定量思维是衡量民族科学文化素质的一个重要标志。数学教育在培养高素质科学技术人才中具有其独特的、不可替代的重要作用。本课程是全院非理工学门类本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，同时也是一门工具课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得: (1) 多元函数微积分学(2) 无穷级数；(3) 线性代数等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，目的是为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各教学环节逐步培养学生具有抽象思维和逻辑推理的理性思维能力，综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力以及较强的自主学习能力，逐步培养学生的创新精神和创新能力。二、本课程的基本要求本课程的内容按教学要求的不同，分为三个层次。对概念、理论的要求由高到低分为深刻理解、理解、了解三个层次；对方法、运算的要求由高到低分为熟练掌握、掌握、会三个层次。(一) 向量代数与空间解析几何1、理解二次曲面方程的概念，了解空间曲线方程的概念。2、了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的拄面方程。3、了解曲面的交线在坐标平面上的投影。4、了解二次曲面的分类。(一) 多元函数1、理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3、理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件。4、熟练掌握求多元复合函数一阶偏导数和全微分的方法，会求复合函数的二阶偏导数。（对于求抽象复合函数的二阶导数，只要求作简单训练）5、会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的一阶偏导数（对求二阶偏导数不作要求）。6、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 7、理解二重积分的概念，了解二重积分的性质。8、掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)。 (二) 无穷级数1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念。了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。2、熟练掌握几何级数与P级数的收敛性。3、了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4、了解交错级数的莱布尼兹定理。5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7、熟练掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。10、会利用和的麦克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单函数间接展开成幂级数。11、了解幂级数在近似计算中的简单应用。(三) 线性代数1、行列式(1) 了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式。 (2) 掌握二、三阶行列式的计算法。 (3) 掌握行列式的展开方法，会计算简单的阶行列式。 (4) 理解克莱姆法则并会用它来解未知数个数不太多的线性方程组。 2、矩阵 (1) 理解矩阵概念。(2) 了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质。(3) 掌握矩阵的线性运算、乘法、转置及其运算规律。(4) 理解逆矩阵的概念。(5) 掌握逆矩阵存在的条件与矩阵求逆的方法，掌握可逆矩阵的性质。(6) 熟练掌握矩阵的初等变换。(7) 理解矩阵秩的概念并掌握其求法。(8) 了解满秩矩阵定义及其性质。(9) 了解分块矩阵及其运算。3、线性方程组(1) 理解n维向量的概念。(2) 深刻理解向量组线性相关、线性无关的定义。(3) 了解有关向量组线性相关、线性无关的重要结论，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。(4) 了解向量组的极大无关组与向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及其秩。(5) 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件。(6) 理解齐次线性方程组的基础解系及通解等概念。(7) 理解非齐次线性方程组的解的结构及通解等概念。(8) 熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。4、矩阵的特征值(1) 理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量。(2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵对角化的充分条件，会求实对称矩阵的相似对角形。三、本课程与其他课程的关系本课程与概率论与数理统计、线性规划、非线性规划等课程紧密相关，学生修完本课程后所获得的知识在他以后的学习中起着重要的作用，这些知识对同学顺利地学习其它理论课及专业课都是必需的。四、本课程的教学内容第七章 向量代数与空间解析几何（一）空间直角坐标系1、空间点的直角坐标2、空间两点间的距离（二）向量及其线性运算1、向量及其几何表示2、向量的坐标表示（三）平面与直线1、平面及其方程2、直线及其方程（四）曲面及其方程1、柱面与旋转曲面2、二次曲面（五）空间曲线1、空间曲线及其方程2、空间曲线在坐标面上的投影第八章 多元函数微分学（一）多元函数的概念（二）二元函数的极限与连续（三）偏导数与全微分1、偏导数2、全微分（四）微分法1、复合函数的微分法2、隐函数的微分法（五）二元函数的极值第九章 二重积分（一）二重积分的概念与性质（二）二重积分的计算1、直角坐标系下二重积分的计算2、极坐标系下二重积分的计算第十一章 无穷级数（一）无穷级数的概念与性质1、无穷级数的概念2、无穷级数的基本性质（二）任意项级数1、正项级数2、任意项级数，绝对收敛（三）幂级数1、幂级数2、泰勒公式与泰勒级数3、某些初等函数的幂级数展开式4、幂级数的应用举例第十二章 线性方程组的消元法和矩阵的初等变换第十三章 行列式、Cramer法则（一）行列式的定义1、二阶、三阶行列式2、n阶行列式的定义（二）行列式的性质1、行列式的性质2、行列式的计算（三）Cramer法则第十四章 矩阵的运算（一）矩阵的概念及运算1、矩阵的概念2、矩阵的运算（二）特殊的矩阵（三）逆矩阵（四）分块矩阵（五）初等矩阵1、初等矩阵的概念2、用初等变换求逆矩阵（六）矩阵的秩1、矩阵的秩的概念2、用初等变换求矩阵的秩第十五章 线性方程组的理论（一）线性方程组有解的条件（二）n维向量空间（三）向量间的线性关系（四）向量组的秩（五）线性方程组的解的结构第十六章 特征值和特征向量（一）预备知识1、向量的内积2、正交矩阵（二）特征值与特征向量（三）相似矩阵五、本课程的重点、难点及深广度 (一) 多元函数微分学 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念、偏导数和全微分的概念、复合函数的偏导数、二元函数的极值。重积分的概念与性质、重积分的计算。 难点：复合函数的偏导数、二元函数的极值、最值应用问题。(二) 无穷级数 重点：无穷级数收敛、发散以及和的概念、几何级数与P级数的收敛性、正项级数的审敛法、交错级数的莱布尼兹定理、无穷级数的绝对收敛与条件收敛、幂级数的收敛区间的求法、幂级数在其收敛区间内的基本性质、泰勒级数、将简单函数间接展开成幂级数。难点：正项级数的审敛法、泰勒级数。(三) 行列式与矩阵重点：行列式的计算、矩阵的运算、矩阵的秩、矩阵的逆、矩阵的初等变换。难点：行列式的定义、矩阵的逆和秩的概念、矩阵的初等变换。 (四) 线性方程组 重点：向量组线性相关与线性无关的概念，齐次方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件、线性方程组解的结构、用初等变换求线性方程组的通解。 难点：向量组线性相关与线性无关的概念、向量组的极大无关组与向量组的秩的概念、n维向量空间及有关概念、齐次方程组的基础解系及线性方程组解的结构等概念。 (五) 矩阵的特征值 重点：矩阵的特征值与特征向量的概念。难点：矩阵的特征值与特征向量的概念。六、学时分配章次授课内容理论学时第七章第八章第九章第十一章第十二章第十三章第十四章第十五章第十六章向量代数与空间解析几何多元函数微分学二重积分无穷级数线性方程组的消元法和矩阵的初等变换行列式 矩阵的运算线性方程组的理论特征值和特征向量214416268146合 计：72七、教学建议高等数学课程在教学过程中应重基础，重运算。对重要的定义、定理应详细讲解，特别强调基本运算能力的培养，应根据学生的实际情况，对教材中的例题进行选讲、补充。在讲授多元微分学知识时，应注意和一元微分学知识的联系、对应，从已学知识延伸引入新知识，使学生更容易理解、掌握。八、参考资料（一）教材1、吴传生主编，经济数学微积分，高等教育出版社，2003年2、徐文雄主编，高等数学，高等教育出版社，2004年3、吴传生主编，经济数学线性代数，高等教育出版社，2003年（二）参考书1、王丽燕，微