地球流体动力学复习总结.doc

主要概念：1 位势涡度及无粘浅水流体的位势涡度守恒定律位势涡度：在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性的较强的组合物理量，称为位势涡度，且定义为。位势涡度的引入有两种方法：A 可以从涡度方程出发涡度方程： 影响涡度变化的因素可概括为：涡管的倾斜效应，涡管的伸缩效应，斜压性以及摩擦作用。位势涡度方程： 因此，当满足以下三个条件时： 1. 摩擦可忽略2. 是守恒量，3. 仅是 的函数，或流体是正压的则有-Ertel 涡旋定理（位涡守恒定理），位涡是。浅水中引入守恒量 则故浅水位涡守恒B. 从浅水方程出发，按上述方法推导也可得出浅水位涡守恒。2 地转风和热成风地转风：在大尺度旋转流体运动中，其Rossby数的量级O()，在旋转流体水平运动过程中若略去O()以上的量，流体则在科氏力和压强梯度力的作用下达到平衡，此时的运动即为地转运动，此时的风为地转风。风沿等压线的方向，在北半球高压在右。热成风：地转风随高度的变化或为两个等压面之间地转风的差又：， 热成风3 Taylor-proudman定理在均质或正压旋转流体中，流体准定常和缓慢的运动，其速度在沿的方向上将不改变。也就是说，均质或正压旋转流体，准定常和缓慢的运动，其速度将独立于旋转轴的方向，即运动将趋于两维化。4 地球上流体大尺度运动大尺度运动的定义：物理意义：流体相对运动的时间尺度大于地球自转周期，流体在其运动的时间尺度内几乎感不到地球的自转。也就是说，大尺度大气与海洋运动正是他们相对于地球运动的一个小偏差。惯性力/科氏力旋转时间尺度/平流时间尺度相对涡度/牵连涡度相对速度/牵连速度1Rossby数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。5 Brunt-Vaisala频率地球流体是具有层结结构的层结流体。由于受扰抬升或下降的流体元在上升或下降时，其密度按一定的规律随高度变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度变化的。因此，流体元绝热地位移到新高度的时候，这一流体元本身的密度与环境密度差异将促使其产生振荡运动，又称为浮力振荡，其频率为，称作Brunt-Vasala频率。其中，z为高度坐标，是位温。Brunt-Vasala频率为流体层结稳定或静力稳定的稳定度判据。时，层结是稳定的；当时，层结是不稳定的。对于海洋，流体元在小位移中所受的压缩性影响可以忽略，其表达式可简化为 当时为稳定层结，当时，为不稳定层结。6 均质流体和层结流体（三种情况下）的准地转位势涡度方程均质流体的准地转涡度方程：层结流体的准地转位势涡度方程： 大气中天气尺度运动的准地转位涡方程：在无加热时，准地转涡度方程为：相应的流函数形式位涡方程：海洋中天气尺度的准地转位涡方程： 无加热 无加热7 Rossby变形半径，是一个与波动本身性质无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数。（1）Poincare波：在旋转特征周期这一时间尺度上，波速为的浅水重力波传播的特征距离。（2）Kelvin波：在边界处，波振幅取最大值，从边界向内区过渡，振幅呈指数减小。振幅衰减的e-折尺度为。可将Rossby变形半径理解为一个特征距离尺度，在这个距离尺度上，科氏力使自由面变形的趋势与重力（或压强梯度力）使自由面复原的趋势相平衡。（3）准地转位涡守恒方程：准地转近似下的无量纲的位涡为：和两项比较看：，的变化可以忽略， 比Rossby半径小的水平尺度运动可视为刚盖运动（自由面起伏对大尺度运动的高度贡献不大）。，项可忽略，比Rossby半径大的水平尺度运动量级上的相对涡度是次要的。因此，Rossby波半径又可解释为这样一个特征距离尺度，在此距离上，相对涡度和表面高度起伏对位势涡度有同等重要的贡献。8 Rossby数，Ekman数，雷诺数，Froude数（旋转/层结）惯性力/科氏力旋转时间尺度/平流时间尺度相对涡度/牵连涡度相对速度/牵连速度1Rossby数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。Ekman数：，表示分子粘性力和科氏力之比的无量纲参数。垂直Ekman数: 水平Ekman数: 雷诺数: , 为垂直湍流粘性系数。为垂直涡粘性的雷诺数；为水平涡粘性的雷诺数。Froude数（旋转）：定义，F是表征运动的水平尺度L相对于Rossby变形半径R的大小的一个参数。层结：， 为内Rossby变形半径。其中，为简化重力（）9 群速度在简化条件下，由线性化准地转位涡守恒方程： 和波动的表达式可以得到精确到最低阶的Rossby 波频散关系：以及反映振幅变化的方程：由此可见振幅为的传播速度：，以速度移动的观察者（因为）所看到的振幅为常数，将此速度定义为群速度：（时为频散波）。10 共振三波组对于非线性准地转位涡 方程（无量纲）：Rossby波的特征周期远远地小于质点运动的平流时间尺度。令（为新的无量纲时间变量）即时，为无量纲快变量，其特征值要小些为无量纲慢变量，其特征值要大些无量纲位涡方程则要求表示为：显然非线性项的量纲为：，是否忽略非线性作用的条件是由决定。求解方法是利用对小参数的摄动展开。令得： 是一个线性方程其解可表示为平面波的线性叠加， 略（2。500-2。504）此式说明了第m个波和第n个波相互作用产生了关于方程的强迫项，此强迫项也是一个周期作用，其波矢为：；频率 通过数学处理，可得强迫振荡的振幅：明确：是方程的固有频率；是强迫项的频率；是强迫项的波矢这意味着在强迫作用下出现了第三种波动，且满足：当与无限接近时，会出现共振。非线性问题的解（精确到）：何时才会发生共振呢？第三个波相则要求：，即：三个波矢之和为零。第三个条件可写为：我们称满足上述条件的波矢构成共振三波组。11 平面近似，平面近似平面近似：运动的经向水平尺度远小于地球半径时,，取，把f作为常数处理，称为f 平面近似。平面近似：，考虑了由于地球的球面性引起的f变化的线性部分，f的变化对而言是个小量，但与相对涡度比较已不能忽略。12 球面效应与地形效应等价性（P81）在平面模式中，浅水位涡为：其中，为环境位涡的变化部分。可见，科氏参数随纬度的变化与地形的变化在位涡动力学中具有精确的动力学等价性。球面效应与地形效应动力学等价性相当于。13 Rossby驻波加上纬向流扰动后，流函数为：，为无量纲数代入准地转无界波动的位涡方程，得：取解的形式为：（无界平面波）该解要成为方程的精确非零解应满足频散关系：，当从此频散关系我们可以看出：（1） 若当西风基本流时若， 较快波向东传播；若，Cx0 较慢波向西传播；若，驻波，Rossby驻波波长为当东风基本流时，对于任何波动都是向西传播，不可能出现驻波。总之，稳定的Rossby驻波只有在与同号时，才会在无界区域内出现，而当与反号时，驻波只能在有界的区域即时才会出现。14 旋转减弱时间。旋转流体受扰动后，如去掉产生扰动的外力，则流体运动要调整到地转平衡。延伸到下垫面附近的流体因受到摩擦力的作用在其附近形成Ekman层，能联将从摩擦不起作用的区域流入Ekman层被摩擦消耗掉，流体运动在下垫面摩擦的作用下减弱，最终达到一种静止状态，称为“旋转减弱”，把摩擦引起的涡度随时间的衰减的时间尺度称为“旋转减弱时间”。旋转衰减的机制（1）从相对涡度方面考虑：当正涡度存在时，下Ekman层将把流体向上抽吸到低压内，上Ekman层则向下抽吸，二者联合效应使涡管以的速度被压缩。相对涡度随时间减小。反之亦然。（2） 从能量角度：Ekman抽吸作用，使内区低压中心的流体向外流动，必定克服压强梯度力做的功，消耗能量，此能量的消耗率为：转化为Ekman层的动能，又进而转化为湍流动能。15 Sverdrup关系Sverdrup关系： 通过行星涡度f拉伸和在行星涡度梯度方向的经向运动构成的涡度平衡，为对混合层下的流体元才有效的局地微分平衡关系。Sverdrup平衡：，由海表的风应力旋度确定流体的经向速度，适用于内区。16 Munk layer，Stommel layer摩擦附属层，惯性边界层17 Ekman上升流（1） 风吹过海洋产生Ekman漂流，漂流与风之间有一夹角。根据一个简单的理论知此夹角为90（北半球向右）。因此当风沿岸界吹的时候，产生的Ekman漂流方向不是向岸，便是离岸，岸界作为障碍存在。北（南）半球岸界在左（右）侧时，沿岸吹的风产生离岸流。此时上层水减少，压力降低，强迫低层的水向上移动以补充离岸流造成的空缺。这种现象称为沿岸上升流。（2） 沿赤道的上升流，沿赤道，稳定的信风总是从东向西吹。在赤道以北，Ekman漂流向右，或者说离开赤道；而在南侧，它偏向左，也是离开赤道。沿赤道必然发生水平辐散，质量守恒要求上升流。（3） 气旋中心会出现Ekman上升流。（4） 在高纬，上升运动通常发生在冰边缘，称之为冰区边缘带。均匀风在冰面和开阔水域上有不同的应力作用；紧接着移动的冰对其下的海洋有应力作用。对风与冰边缘之间特定的角度，流辐散，发生上升流以补偿水平流辐散。方法（掌握）1 尺度分析法合理的估计出一个函数，一个物理作用在问题中量级的大小，根据每个作用的相对大小将一些小项略去，保留重要性较大的项。这样可以使主要因子筛选出来，使复杂的问题得到简化。2 小扰动线性化法3 摄动法4 平面波求解方法5 边界层中坐标变换方法6 Rossby波能量传播图作图法（通过波矢量来表示群速度的一种几何方法） 原理：若：（正数），对于某一频率，波矢必须位于k-l平面的一个圆上，其圆心坐标是，半径是。当一定时，圆心位置与半径完全由频率决定。平均能通量矢量的方向可以用的方向来表示而对于振幅和频率都相同的 Rossby波，能通量也相同。 波矢端落在上的波向右传播能量（波数大，短波） 波矢端落在上的波向左传播能量（波数小，长波）（P122）利用能量传播图表示，反射平面波的关系的步骤： 根据已知x-y平面上入射波的能量方向和角在k-l图上确定点。 连接原点和点确定入射波对应的波矢量 根据入射角=反射角，在k-l图上确定。 连接原点与得到反射波波矢量和平均能通量 将和平行地绘制x-y平面图上，同时绘出和相平面（等相位线），等位相线之间间距与呈反比。主要内容：1 浅水方程的导出（尺度分析法）步骤：1） 确定基本量：T，L，U，D2） 利用质量守恒方程：，进行尺度分析，得到垂直速度尺度应受到的约束条件：故，事实上 远小于。3）估计动量方程各项以简化动量方程。其P是可变压力场尺度，为了保持水平压力梯度项在动量方程中的作用，根据尺度分析，应有：4）根据对垂直速度变化方程的尺度分析，故：讨论：若或更大，上式右边量级为若 ，上式右边量级为。故精确到量级时，大尺度大气海洋运动中 很小可忽略不计。由于垂直运动方程中不可能只有一个大项，故和都可忽略不计。故总压力：，若z=h, P=Po,，h为自由表面的高度。得到水平压力梯度不随z变化。水平运动方程可简化为浅水方程：利用上下边界条件，并对连续方程进行垂直积分，则可将连续方程写成：这就是大气海洋中浅水运动的动力学方程组。2 浅水中的平面波及频散特性和传播特性（小扰动线性化法）基本方程： 平面波：（一）Poincare波：无水平边界，描述方程简化为： （齐次方程）取其解的形式为：将解代入描述方程求其频散关系（重点）。可得出， 时，可以得到以下结论：（讨论）1） 无限平面等深波是二列方向相反，频率大小相同的波动。2） 旋转（地转）使波速增大。频率大于f，周期小于地转周期的一半。即频率大大地超过大尺度大气海洋缓慢地运动频率。3） （其中R为Rossby变形半径=C0/f）短波，浅水重力波，；长波， ，惯性振荡。4） 质点运动的 水平速度矢量的矢端随时间描绘出椭圆的轨迹。因为，故平行方向的最大速度大于垂直于方向的最大速度。流体的运动处于非地转平衡状态。主要发生在沿着压力梯度的方向。5） 位涡守恒线性化形式为：波峰处产生正的相对涡度，波谷处产生负的相对涡度，自由面时升时降。（二）Kelvin波：无限长渠道，描述方程为： 边界条件：受边界条件影响，其解应取为：求其频散关系（将解分别代入描述方程和边界条件，由描述方程得出关于振幅通解，再代入到边界条件中，使其有非零解的充要条件即是频散关系）：分三种情况讨论上式：（1） ，n=1,2有：此波特点是类似于无限平面等深浅水中的平面波，亦是向正，反两个方向传播的，不同之处在于y方向的波数只是的整数倍，不可能任意取值，称为Poincare波。（2） 时特征方程也被满足，此解为一个与旋转参数f无关沿着x方向传播的kelvin 波。，求解为： 特点：1）在波动传播的x方向满足地转平衡，整个波动是非地转的。2）y方向上只有波动振幅的变化且随y的变化呈指数衰减，在y方向上存在一个与波动场无关的特征尺度（Rossby变形半径），也是e-folding scale for the cross channel。波高在观测者的右方最高。3）波动沿正负x方向传播，波峰线与y轴平行。4）kelvin波只能在有界域内出现。5）kelvin波是Poincare波的极限形式。（3）惯性振荡，为（2）中的一种，此时已不能根据 的表达式来得到u，v的解。（三）Rossby波：f-平面的渠道模式， ， 为地形坡度。描述方程：边界条件：波动机制分析（3）设其解：，与Kelvin波相同。欲使有非零解（欲使A，B不同时为零）则必有：即（与平底的有界域波动频散关系的形式一样，但的值不同）讨论：（1） Kelvin波说明：有界是Kelvin波的存在条件，”小”的地形坡度并不影响其存在。（2） 时，略去的项，故有：-（三次代数方程）此方程有两类完全不同的解。第一类 若 快波则：，高频的Poincare 波基本上不受底边界小坡度的影响。第二类 若 慢波（可忽略不计） 地形Rossby波的频率公式，此波是频散波。波动特性：（1）只有f，s均不为零时才存在地形Rossby波，即Rossby波是地形坡度与旋转两种因素联合作用的产物，因此地转与地形坡度同时存在, 才会产生 Rossby波。（2）) 单向传播对于北半球，对于所有的k，位相传播的方向是使的一个跟随波峰一起前进的观测者看到浅流体在它的右方。对于南半球则相反。（3），故小坡度地形Rossby波是低频波。（4）高波数地形Rossby 波与Poincare波以及Kelvin 波相反，频率随波数增加而减小。注：通道中的Poincare波，Kelvin波和Rossby波的频散关系图P68 。3 浅水准地转位涡方程的推导，各项的物理意义（尺度分析，摄动法）借助尺度分析的方法从浅水方程出发，研究满足（1），小Rossby数，（2），时间尺度远大于的运动。从浅水方程出发，实行无量纲化，引入特征量：，方程可写作:令，是一个小量，将未知变量对展开。设（式中等与无关）其他未知量也做类似展开，代入方程。关于的同次幂项须分别平衡，对于两个运动方程：对于：, 无法确定各未知量，地转退化。对于：此式说明：（1） 非地转速度完全由于处于地转平衡的运动和 的加速度及压力场与地转平衡时的压力场偏差产生的。（2） 非地转运动的水平散度不为零，由于（A）地转运动自由面的起伏（B）底边界起伏所造成的流体柱伸缩来平衡该散度。一级近似方程整理后：，其中物理意义是：相对速度的变率等于非地转运动的辐合，其量级为在近似条件下，由于，故低阶近似中只有行星涡的挤压才有相对涡度的变化。消去得到：既：为准地转位涡守恒方程。地转位涡（）由相对涡度、波高和环境位涡三部分组成。波高的贡献取决于参数F的大小。4 惯性边界流的动力学特点根据准地转位涡方程讨论，若，局地变率远小于平均项：，等线与等线相重合。物理意义：相对涡度与环境涡度之和沿流线是守恒的，涡管的伸缩不会因自由面的变化而是因底边界坡度的变化而变化。引入函数：，一旦确定，即可解出。（解椭圆方程）。若在均匀流的前方置一侧壁（x=0），其中故有由于无穷远处是均匀定常流故， ，而，所以函数为了将非齐次方程变为齐次方程，若令：，则。 的边界条件：；故解的形式可能形如代入方程后得到： -惯性边界流函数，讨论此解：（1）很小时运动几乎是无旋的。此结论可由得出（此时） （2）若较大运动是有旋的。；A 涡度随离侧边界距离的x的增大而呈指数性衰减，随y的变化（地形的变化）而线性增大，底地形的坡度越陡，变化的越快。B值越大，流体沿等深线运动的主导作用越大，流体元（即流体的的运动越是沿等深线的）偏转的位置距边界越近，边界层厚度越薄。C 南北流速随y，的增大而增大，单位厚度由南北但总的输送量为y此仅与地形有关。D 在靠近侧边界的狭窄区域里，流体改变运动方向被引入沿侧壁运动的路径。这个区域为惯性（无粘）边界层，此厚度为。这是因为后，侧边界对流的修正作用就减小到以下。 此层厚度：E 在边界流区域内，尽管流速U可能很大。但是只要S为小量，仍为小量。局地Rossby数： 若其他条件不变，S变号，深度随y的增大而减小的情况下，则不存在惯性边界流，而是产生一个定常的驻波，它在无穷远处对运动有反作用，波长与有关。从中也可得惯性边界流存在的条件是：（若U，f皆为正）5 Rossby波机制能量传播及边界反射的特性6 Ekman层的动力特性（1） Ekman厚度（）为与无关（与大尺度运动无关），仅由及决定（注意实际上与大尺度运动有关）。当表示地球旋转效应的f趋于零时，Ekman层的厚度趋于无穷。Ekman层是旋转与粘性共同作用下流体运动的一个特殊的层。（2） 水平速度的垂直切变造成行星涡旋倾斜引起涡度的变化，将与摩擦阻滞作用产生的涡度相平衡（摩擦作用产生的涡度势必引起水平速度的垂直切变）。（3） 摩擦作用破坏了地转平衡，压强梯度力对流体作功以维持消耗的动能，动能消耗率为： （参考余志豪等p153）。 为维持边界条件不变，必须向大尺度运动提供能量。(4) 在无外界能源供给的条件下，地转流将衰竭，其时间尺度为 为旋转减弱时间(5) 地面速度为地转速度左方。（6）刚体表面施加于流体的总应力：且总的质量通量总的质量通量依赖于，这是由于边界层作为一个整体，它只受气压梯度力，科氏力和下边界摩擦力这三个外力，而在大尺度为地转运动的前提下，压强梯度力恰于地转速度所对应的科氏力相平衡，因此地转偏差所造成的质量输送仅与外摩擦力有关，且垂直于在的右边。这种地转偏差所对应的科氏力在的右边与相平衡。7 有摩擦准地转动力学（内区，上，下边界层区）8 自由面上的Ekman层9 摩擦和地形对准地转位涡守恒的影响10 均质大洋环流模式的推导及各项的物理意义 将大洋分为三层（上表层为薄的Ekman层，中间为特征深度为D的内区，海底为倾斜底表面上的薄Ekman层），此模式的数学表达式为：（根据第三章结论）：(4.1) 其中，相应下边界： (4.2)上边界： (4.3)其中为外应力。因为内区均质，且满足地转关系，u, v, 与z无关。故对方程（4.1）垂直积分，并利用上,下边界条件（4.4）（4