2021高三数学北师大版（文）：双曲线含解析.doc

教学资料范本2021高三数学北师大版（文）：双曲线含解析编 辑：_时 间：_第七节双曲线最新考纲1.了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程、知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.理解数形结合思想.4.了解双曲线的简单应用(对应学生用书第161页)1双曲线的定义(1)平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|的点的集合叫作双曲线、定点F1、F2叫作双曲线的焦点、两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距(2)集合PM|MF1|MF2|2a、|F1F2|2c、其中a、c为常数且a0、c0.当2a|F1F2|时、M点的轨迹是双曲线；当2a|F1F2|时、M点的轨迹是两条射线；当2a|F1F2|时、M点不存在标准方程1(a0、b0)1(a0、b0)图形性质范围xa或xa、yRxR、ya或ya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点坐标A1(a,0)、A2(a,0)A1(0、a)、A2(0、a)渐近线yxyx离心率e(1、)实、虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴、它的长|A1A2|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴、它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长、b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2(ca0、cb0)2双曲线的标准方程和几何性质3.等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线、其渐近线方程为yx、离心率为e.1过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为、也叫通径2双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.3若P是双曲线右支上一点、F1、F2分别为双曲线的左、右焦点、则|PF1|minac、|PF2|minca.4与双曲线1(a0、b0)有共同渐近线的方程可表示为t(t0)5当已知双曲线的渐近线方程为bxay0、求双曲线方程时、可设双曲线方程为b2x2a2y2(0)一、思考辨析(正确的打“”、错误的打“”)(1)平面内到点F1(0,4)、F2(0、4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(2)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线(m0、n0、0)的渐近线方程是0、即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直、离心率等于.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1双曲线1的焦距为()A5B.C2D1C由双曲线1、易知c2325、所以c、所以双曲线1的焦距为2.2以椭圆1的焦点为顶点、顶点为焦点的双曲线方程为()Ax21B.y21Cx21D.1A设要求的双曲线方程为1(a0、b0)、由椭圆1、得椭圆焦点为(1,0)、在x轴上的顶点为(2,0)所以双曲线的顶点为(1,0)、焦点为(2,0)所以a1、c2、所以b2c2a23、所以双曲线的标准方程为x21.3已知双曲线1(a0)的离心率为2、则a()A2B. C.D1D依题意、e2、2a、则a21、a1.4经过点A(5、3)、且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_1设双曲线的方程为x2y2、把点A(5、3)代入、得16、故所求方程为1.(对应学生用书第162页)考点1双曲线的定义及应用双曲线定义的两个应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线、进而根据要求可求出双曲线方程(2)在“焦点三角形”中、常利用正弦定理、余弦定理、结合|PF1|PF2|2a、运用平方的方法、建立与|PF1|PF2|的关系(1)设P是双曲线1上一点、F1、F2分别是双曲线的左、右焦点、若|PF1|9、则|PF2|等于()A1B17C1或17D以上均不对(2)已知动圆M与圆C1：(x4)2y22外切、与圆C2：(x4)2y22内切、则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1(x)B.1(x)C.1(x)D.1(x)(3)已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点、点P在C上、F1PF260、则|PF1|PF2|等于()A2B4 C6D8(1)B(2)A(3)B(1)根据双曲线的定义得|PF1|PF2|8|PF2|1或17.又|PF2|ca2、故|PF2|17、故选B.(2)设动圆的半径为r、由题意可得|MC1|r、|MC2|r、所以|MC1|MC2|2、故由双曲线的定义可知动点M在以C1(4,0)、C2(4,0)为焦点、实轴长为2a2的双曲线的右支上、即a、c4b216214、故动圆圆心M的轨迹方程为1(x)、故选A.(3)由双曲线的方程得a1、c、由双曲线的定义得|PF1|PF2|2.在PF1F2中、由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60、即(2)2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|22|PF1|PF2|、解得|PF1|PF2|4、故选B.母题探究1本例(3)中、若将条件“F1PF260”改为|PF1|2|PF2|、试求cosF1PF2的值解根据双曲线的定义知、|PF1|PF2|PF2|2、则|PF1|2|PF2|4、又|F1F2|2cosF1PF2.2本例(3)中、若将条件“F1PF260”、改为0、则F1PF2的面积是多少？解不妨设点P在双曲线的右支上则|PF1|PF2|2a2、由0、得.在F1PF2中、|PF1|2|PF2|2|F1F2|2、即(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|8、|PF1|PF2|2.SF1PF2|PF1|PF2|1.(1)求双曲线上的点到焦点的距离时、要注意取舍、如本例T(1)；(2)利用定义求双曲线方程时、要注意所求是双曲线一支、还是整个双曲线、如本例T(2)1.已知点F1(3,0)和F2(3,0)、动点P到F1、F2的距离之差为4、则点P的轨迹方程为()A.1(y0)B.1(x0)C.1(y0)D.1(x0)B由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支、设其方程为1(x0、a0、b0)、由题设知c3、a2、b2945、所以点P的轨迹方程为1(x0)2已知双曲线x21的两个焦点为F1、F2、P为双曲线右支上一点若|PF1|PF2|、则F1PF2的面积为()A48B24C12D6B由双曲线的定义可得|PF1|PF2|PF2|2a2、解得|PF2|6、故|PF1|8、又|F1F2|10、由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形、因此SF1PF2|PF1|PF2|24.3若双曲线1的左焦点为F、点P是双曲线右支上的动点、A(1,4)、则|PF|PA|的最小值是()A8B9 C10D12B由题意知、双曲线1的左焦点F的坐标为(4,0)、设双曲线的右焦点为B、则B(4,0)、由双曲线的定义知|PF|PA|4|PB|PA|4|AB|4459、当且仅当A、P、B三点共线且P在A、B之间时取等号考点2双曲线的标准方程求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点、且确定了焦点在x轴上或y轴上、则设出相应形式的标准方程、然后根据条件确定关于a、b、c的方程组、解出a2、b2、从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个、也有可能是两个、注意合理取舍、但不要漏解)(2)当焦点位置不确定时、有两种方法来解决：一种是分类讨论、注意考虑要全面；另一种是设双曲线的一般方程为mx2ny21(mn0)求解(1)(20xx荆门模拟)方程1表示双曲线的一个充分不必要条件是()A3m0B1m3C3m4D2m3(2)一题多解已知双曲线过点(2,3)、渐近线方程为yx、则该双曲线的标准方程是()A.1B.1Cx21D.1(3)(20xx天津高考)已知双曲线1(a0、b0)的离心率为2、过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点设A、B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2、且d1d26、则双曲线的方程为()A.1B.1C.1D.1(1)B(2)C(3)C(1)方程1表示双曲线、则(m2)(m3)0、解得2m3.要求充分不必要条件、选项范围是2m3的真子集、只有选项B符合题意故选B.(2)法一：当其中的一条渐近线方程yx中的x2时、y23、又点(2,3)在第一象限、所以双曲线的焦点在x轴上、设双曲线的标准方程是1(a0、b0)、由题意得解得所以该双曲线的标准方程为x21、故选C.法二：因为双曲线的渐近线方程为yx、即x、所以可设双曲线的方程是x2(0)、将点(2,3)代入、得1、所以该双曲线的标准方程为x21、故选C.(3)如图、不妨设A在B的上方、则A、B.其中的一条渐近线为bxay0、则d1d22b6、b3. 又由e2、知a2b24a2、a.双曲线的方程为1. 故选C.已知双曲线的渐近线方程、用渐近线方程设出双曲线方程、运算过程较为简单教师备选例题设双曲线与椭圆1有共同的焦点、且与椭圆相交、其中一个交点的坐标为(、4)、则此双曲线的标准方程是_1 法一：椭圆1的焦点坐标是(0、3)、设双曲线方程为1(a0、b0)、根据双曲线的定义知2a|4、故a2.又b232225、故所求双曲线的标准方程为1.法二：椭圆1的焦点坐标是(0、3)设双曲线方程为1(a0、b0)、则a2b29、又点(、4)在双曲线上、所以1、联立解得a24、b25.故所求双曲线的标准方程为1.1.(20xx湘潭模拟)以双曲线1的焦点为顶点、且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为()Ax2y21B.y21C.1D.1D由题可知、所求双曲线的顶点坐标为(3,0)又因为双曲线的渐近线互相垂直、所以ab3、则该双曲线的方程为1.故选D.2已知双曲线1(a0、b0)的左、右焦点分别为F1、F2、点P在双曲线的右支上、若|PF1|PF2|4b、且双曲线的焦距为2、则该双曲线的标准方程为()A.y21B.1Cx21D.1A由题意可得解得则该双曲线的标准方程为y21.3经过点P(3,2)、Q(6、7)的双曲线的标准方程为_1设双曲线方程为mx2ny21(mn0)、因为所求双曲线经过点P(3,2)、Q(6、7)、所以解得故所求双曲线方程为1.考点3双曲线的几何性质求双曲线的离心率(或其范围)求双曲线的离心率或其范围的方法(1)求a、b、c的值、由1直接求e.(2)列出含有a、b、c的齐次方程(或不等式)、借助于b2c2a2消去b、然后转化成关于e的方程(或不等式)求解(1)(20xx全国卷)设F为双曲线C：1(a0、b0)的右焦点、O为坐标原点、以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P、Q两点若|PQ|OF|、则C的离心率为()A.B. C2D.(2)已知双曲线1(a0、b0)的左、右焦点分别为F1、F2、点P在双曲线的右支上、且|PF1|4|PF2|、则双曲线离心率的取值范围是()A.B.C(1,2D.(1)A(2)B(1)令双曲线C：1(a0、b0)的右焦点F的坐标为(c,0)、则c.如图所示、由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知、PQ是以OF为直径的圆的直径、且PQOF.设垂足为M、连接OP、则|OP|a、|OM|MP|、由|OM|2|MP|2|OP|2、得a2、即离心率e.故选A.(2)由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a、又|PF1|4|PF2|、所以|PF2|、由双曲线上的点到焦点的最短距离为ca、可得ca、解得、即e、又双曲线的离心率e1、故该双曲线离心率的取值范围为、故选B.本例T(2)利用双曲线右支上的点到右焦点的距离不小于ca建立不等式求解、同时应注意双曲线的离心率e1.教师备选例题(20xx沈阳模拟)设F1、F2分别为双曲线C：1(a0、b0)的左、右焦点、P是双曲线C上一点、若|PF1|PF2|4a、且PF1F2的最小内角的正弦值为、则双曲线C的离心率为()A2B3C.D.C不妨设P是双曲线右支上的一点、由双曲线的定义可知|PF1|PF2|2a、|F1F2|2c、所以|PF1|3a、|PF2|a.PF1F2的最小内角的正弦值为、其余弦值为、因为|PF1|PF2|、|F1F2|PF2|、所以PF1F2为PF1F2的最小内角由余弦定理可得|PF2|2|F1F2|2|PF1|22|F1F2|PF1|cosPF1F2、即a24c29a222c3a、所以离心率e.故选C.与渐近线有关的问题与渐近线有关的结论(1)双曲线1(a0、b0)的渐近线方程为yx、双曲线1(a0、b0)的渐近线方程为yx.(2)e21e21.(1)(20xx武汉模拟)已知双曲线C：1(m0、n0)的离心率与椭圆1的离心率互为倒数、则双曲线C的渐近线方程为()A4x3y0B3x4y0C4x3y0或3x4y0D4x5y0或5x4y0(2)(20xx张掖模拟)已知双曲线C：1(a0、b0)的顶点到其一条渐近线的距离为1、焦点到其一条渐近线的距离为、则其一条渐近线的倾斜角为()A30B45 C60D120(1)A(2)B(1)由题意知、椭圆中a5、b4、椭圆的离心率e、双曲线的离心率为、双曲线的渐近线方程为yxx、即4x3y0.故选A.(2)设双曲线1的右顶点A(a,0)、右焦点F2(c,0)到渐近线yx的距离分别为1和、则有即.则1211、即1.设渐近线yx的倾斜角为、则tan 1.所以45、故选B.双曲线中、焦点到一条渐近线的距离等于b是常用的结论教师备选例题(20xx衡水模拟)已知双曲线1(a0、b0)的左、右焦点分别为F1、F2、过点F1作圆x2y2a2的切线、交双曲线右支于点M.若F1MF245、则双曲线的渐近线方程为()AyxByxCyxDy2xA如图、作OAF1M于点A、F2BF1M于点B.因为F1M与圆x2y2a2相切、F1MF245、所以|OA|a、|F2B|BM|2a、|F2M|2a、|F1B|2b.又点M在双曲线上、所以|F1M|F2M|2a2b2a2a、整理得ba.所以.所以双曲线的渐近线方程为yx.故选A.1.已知双曲线1(m