数学北师大版九年级上册探索三角形相似1.doc

第四章 图形的相似4.1成比例线段（1）(一)阅读课文，理解概念阅读课本第76-78页的内容，理解相关概念，填补下面空白.知识点一：两条线段的比1. 形状相同而_不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“ ”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“ ”得到的.2. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条 就是它们长度的比，即AB:CD= .知识点二：成比例线段 四条线段a,b,c,d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 = ,那么这四条线段a,b,c,d 叫做 ,简称 知识点三：比例的性质如果，那么 = .如果(a,b,c,d 都不等于0),那么 = . (二)参照概念，试做练习1.如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形形状相同的是（ ）2.在比例尺为1：2000的地图上测得A、B两地间的图上距离为5cm，则A、B两地间的实际距离为（）A10m B25m C100m D10000m3.下列四条线段成比例的是（ ）A.1cm，2cm，4cm，6cm B.3cm，4cm，7cm，8cm C.2cm，4cm，8cm，16cm D.1cm，3cm，5cm，7cm4.如图，下列各式中正确的有（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5. 已知，那么下列式子成立的是（ ）A.3x =2yB.xy=6 C. D6.如图,一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即,那么a的值应当是多少？4.1成比例线段（2）(一)阅读课文，理解性质阅读课本第79-80页的内容，理解比例的性质.如果，那么 = .1. 请举例验证上述比例的性质.2.你能证明上述比例的性质吗？若不能，请上网查询并整理相关的证明过程.(二)参照性质，试做练习1.已知,则=_.2.已知（b+f0），则=_3若，则=_4已知:=求:(1)的值； (2)的值4.2平行线分线段成比例(一)阅读课文，理解定理知识点一：平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例 新教材把上述结论作为一个基本事实（公理），不需要证明。而老教材把上述结论作为一个定理，该定理的证明方法有多种，下面提供一种相对简单的证法（面积法）仅供参考： 已知：如图，直线abc，直线m分别交直线a、b、c与点A、B、C，直线n分别交直线a、b、c与点D、E、F. 求证:. 证明：如图，连接AE，BD，BF，CE. ab 同理可证： 又, .备注:利用比例的性质容易推证如下结论亦然成立,请自己试着证明.,等等.提示：“对应线段成比例”中的“对应”，本质上是指线段在图形中所处的位置，例如：上、下、左、右、全部等。因此，根据线段所在的位置记忆比较好,如:，.等等知识点二：平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其它两边(或两边的延长线)相交,截得的对应线段成比例提示：该推论利用“图形平移的性质”容易证明（见下面两幅图）.结论：如图（1）中，DEBC,DE分别交AB、AC于D、E两点，则 如图（2）中，DEBC,DE分别交直线AB、AC于D、E两点，则(二)参照定理，试做练习1.已知两条直线被三条平行线所截，截得线段的长度如图所示，求x的值为_. 2. 如图,两条直线被三条平行线所截.(1) 在图(1)中,AB=5,BC=7,EF=4,则DE=_;(2) 在图(2)中,DE=6,EF=7,AB=5,则AC=_.3. 如图，在ABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DEBC.(1) 如果AD=3.2cm,DB=1.2cm,AE=2.4cm,那么EC的长是_;(2) 如果AB=5cm,AD=3cm,AC=4cm,那么EC的长是_. 第3题图 第4题图4.如图，ABCD，AD与BC交于点O,若OA=3，AD=7，OC=5，则CB=_4.3相似多边形(一)阅读课文，理解概念阅读课本第86-87页的内容，理解相似多边形相关概念，完成下面填空:知识点一：相似多边形的定义及相似比各角分别_、各边_的两个多边形叫做相似多边形相似多边形 的比叫做相似比.“”读作“ ”.在记两个多边形相似时，要把表示对应顶点的字母写在_的位置上.知识点二：相似多边形的性质及判定性质:相似多边形的对应边 ，对应角 判定:(1)边数相同；（2）对应角 ；（3）对应边 ；三个条件缺一不可.(二)参照概念，试做练习1.(1)任意两个等边三角形,(2)任意两个正方形,(3)任意两个正n边形,(4)任意两个菱形,其中相似的有_.(只填写序号)2.判断下面每组两个矩形是否相似,并说明理由.3.一块长3m、宽1.5m的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm.边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？4.两个多边形相似的条件是（ ）A对应角相等 B对应边相等C对应角相等，对应边相等 D对应角相等，对应边成比例5.下列说法中正确的是（ ）A相似形一定是全等形 B不全等的图形不是相似形C全等形一定是相似形 D不相似的图形可能是全等形6若五边形ABCDE五边形MNOPQ，且AB=12，MN=6，AE=7，则MQ=_7.已知如图所示的两个梯形相似，求出未知的x，y，z的长和，的度数4.4.1探索三角形相似的条件（1）(一)阅读课文，探索定理阅读课本第89页的内容，理解三角形相似的判定定理:知识点一：相似三角形的概念_相等、_成比例的两个三角形叫做相似三角形ABC与相似,记作ABC，读作ABC相似于.注意三点：（1）对应性：通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样写容易找出对应角和对应边.（2）顺序性：相似比是有顺序的，若ABC，它们的相似比为k，则ABC时，它们的相似比为.（3）传递性：若ABC,则ABC. 如何判断两个三角形是否相似,若照搬定义显然很繁琐,接下来我们给出常用的三种判定方法.知识点二：三角形相似的判定定理1:定理1:两角分别相等的两个三角形相似. 本定理及另外两个定理的严格证明将在4.5节进行,本节先列举两个特例加以验证,请同学们认真推算. 例1:如图,在ABC和DEF中,A=D=30,B=E=60,请推算下面两个结论:(1)C=F；(2).例2:如图，已知每个小方格的边长均为1，ABC和EAD的顶点均为格点，容易知道ABC=EAD，ACB=ADE=45，请推算下面两个结论:(1)BAC=AED；(2).(二)参照定理，试做练习1.如图，D，E分别是ABC的边AB，AC上的点，DEBC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.2.有一个锐角相等的两个直角三角形是否相似？为什么？3.顶角相等的两个等腰三角形是否相似？为什么？4.在ABC和DEF中,A=D=70,B=60,E=50,这两个三角形相似吗？为什么？4.4.2探索三角形相似的条件（2）(一)阅读课文，探索定理阅读课本第91页的内容，理解三角形相似的判定定理:定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 本定理的严格证明将在4.5节进行,本节先列举两个特例加以验证,请同学们认真推算. 例:如图，已知每个小方格的边长均为1，ABC和DEF的顶点均为格点，容易知道，在图（1）、（2）中均有ABC=DEF，且，请分别在图（1）、（2）中推算下面结论:(1)BAC=EDF；(2)BCA=EFD；(2).(二)参照定理，试做练习1.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？2.一个直角三角形两条直角边的长分别为6cm，4cm，另一个直角三角形两条直角边的长分别为9cm，6cm，这两个直角三角形是否相似？为什么？3.如图，D，E分别是ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且,求DE的长.4.两边成比例且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？请画图说明自己的观点.4.4.3探索三角形相似的条件（3）(一)阅读课文，探索定理阅读课本第93-94页的内容，理解三角形相似的判定定理.定理3:三边成比例的两个三角形相似. 本定理的严格证明将在4.5节进行,本节先列举两个特例加以验证,请同学们认真推算.例:如图，已知每个小方格的边长均为1，ABC和DEF的顶点均为格点.计算并完成下列填空： 在图（1）中：AB=_，BC=_，CA=_； DE=_，EF=_，FD=_； ，,. 在图（2）中：AB=_，BC=_，CA=_； DE=_，EF=_，FD=_； ，,.猜想：在图（1）中，ABC和DEF相似吗？ 在图（2）中，ABC和DEF相似吗？验证：用量角器测量估算：在图（1）中，ABC=_，DEF=_；BCA=_，EFD=_； CAB=_，FDE=_. 在图（2）中，ABC=_，DEF=_；BCA=_，EFD=_； CAB=_，FDE=_.(二)参照定理，试做练习1.一个三角形三边的长分别为6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形三边的长分别为8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？2.如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？3.如图，ABC和ABC相似吗？你有哪些判断方法？4.如图,在ABC和ADE中，,BAD=20，求CAE的度数.4.4.4黄金分割(一)阅读课文，理解概念阅读课本第95-96页的内容，理解黄金分割相关的概念.1. 在图4-18所示的五角星中，写出你找出的两对相似比不同的相似三角形. 2.黄金分割:一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果（如图4-19），那么称线段AB被点C_，点C叫做线段AB的_，AC与AB的比叫做_3.黄金比: .4.推算黄金比：如图4-19，点C为线段AB的黄金分割点（ACBC)，设AB=1，AC=x，请整理黄金比的求解过程.(二)参照定理，试做练习1.已知点M将线段AB黄金分割(AMBM)，则下列各式中不正确的是( )A.AMBM=ABAM B.AM=AB C.BM=AB D.AM0618AB2.在长度为的线段上找到两个黄金分割点，则等于（）A. B. C. D. 3.采用如下方法可以得到黄金分割点：如图，设AB是已知线段，经过点B作BDAB，使BD=AB；连接DA，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC=AE.点C就是线段AB的黄金分割点.你能说说其中的道理吗?4.5相似三角形判定定理的证明 阅读课本第99-102页的内容，理解相似三角形判定定理的证明,并动手整理证明过程，提升数学素养.在整理过程中，感受命题证明的三个步骤，领悟“转化”、“类比”等数学思想.定理1:两角分别相等的两个三角形相似.定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理3:三边成比例的两个三角形相似.4.6利用相似三角形测高(一)阅读课文，理解原理阅读课本第103-104页的内容，理解利用相似三角形测高的数学原理.方法一：利用阳光下的影子. 数学原理：从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（太阳光是平行光线），即EADABC，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据可得BC=，代入测量数据即可求出旗杆BC的高度.方法二：利用标杆. 数学原理：如图，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G,交标杆EF于H,于是得DHFDGC.因为可以量得AE、AB,观测者身高AD、标杆长EF,且DH=AE DG=AB由得GC=旗杆高度BC=GC+GB=GC+AD.方法三：利用镜子的反射. 数学原理：这里涉及到物理上的反射镜原理，如图，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C，EADEBC且EBCEBC EADEBC,测出AE、EB与观测者身高AD，根据，可求得.(二)参照原理，试做练习1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米（如图），然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为_米. 第1题图 第2题图2.如图是小明设计用手电筒来测量某古城墙高度的示意图点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知ABBD，CDBD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是_米. 3.亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D然后测出两人之间的距CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m（C，D，N在一条直线上），颖颖的身高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？ 4.7.1相似三角形的性质(一)阅读课文，理解定理阅读课本第106-107页的内容，理解相似三角形的性质. 由相似三角形的定义可知：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.下面探讨相似三角形另外的性质: 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 下面是本定理的证明过程，仅供参考.已知:如图,ABC，ABC与的相似比为k.（1）如果CD和是它们的对应高，那么.证明: ABC A =, CD、是高线， ADC =90. ACD =k.（2）如果CD和是它们的对应角平分线,那么. 证明: ABC A =,ACB = CD、分别是ACB、的角平分线. ACD = ACD =k.（3）如果CD和是它们的对应中线，那么. 证明: ABC A =，=k. CD、分别是中线 =k. ACD =k.(二)参照定理，试做练习1.已知ABC，BD和是它们的对应中线，,=4cm，则BD=_cm.2.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2cm和5cm，则这两个三角形的相似比=_cm，在这两个三角形的一组对应中线中，如果较短的中线是3cm，那么较长的中线=_cm.3.ABC,AD和是它们的对应角平分线.已知AD=8cm,=3cm,则ABC与对应高的比=_.4.已知：如图，ABCADE，AE:EC=5:3，BC=6cm，A=40，C=45 （1）求ADE的大小； （2）求DE的长5.如图所示，在等腰三角形ABC中，底边BC=60 cm,高AD=40 cm，四边形PQRS是正方形.（1）ASR与ABC相似吗？为什么？（2）求正方形PQRS的边长.4.7.2相似三角形的性质(一)阅读课文，理解定理阅读课本第109-110页的内容，理解相似三角形的性质.定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 如图，,相似比为k，请参考课本计算与的周长比和面积比. (二)参照定理，试做练习1.判断正误:（1）如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍；（ ）（2）如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍；（ ）2.如图，在方格纸上有和，这两个三角形是否相似？如果相似，与的周长比和面积比分别是多少？3. 如图，在ABC和DEF中，G，H分别是边BC和EF的中点，已知AB=2DE,AC=2DF,BAC=EDF.（1） 中线AG与DH的比是多少？（2） ABC与DEF的面积比是多少？4.如图，将ABC沿BC方向平移得到DEF，ABC与DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是ABC的面积的一半.已知BC=2，求ABC平移的距离.4.8.1图形的位似(一)阅读课文，理解概念阅读课本第113-114页的内容，理解位似多边形等概念，并完成下面填空.一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P所在的直线都经过同一点O，且有_,那么这样的两个多边形叫做_，点O叫做_，实际上，k就是这两个相似多边形的_.下面是图形位似的三个范例：(二)参照概念，试做练习1.下列说法正确的是（ ）A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等；B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似； C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似；D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似.2.如图，四边形ABCD和四边形EFGD是位似图形，它们的位似中心是（ ）A.点E B.点F C.点G D.点D3.已知上图中，AEED=32，则四边形ABCD与四边形EFGD的位似比为（ ）A. 32 B. 23 C. 52 D. 534.如图，已知点O在ABC内，以点O为位似中心画一个三角形，使它与ABC位似，且相似比为.5.如图，已知边长为1的正方形ABCD，以它的两条对角线的交点为位似中心，画一个边长为2并与它位似的正方形. 提示：通过预习，感悟以下几点：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比位似图形的对应点和位似中心在一条直线上.位似图形的对应线段平行或在一条直线上.位似一定相似，相似不一定位似.4.8.2图形的位似(一)阅读课文，领悟规律阅读课本第115-117页的内容，理解平面直角坐标系中位似变换的规律. 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为. 如图，ABC中，A(2，3)、B(-3，1)、C(1，-2),点A、B、C的横、纵坐标都乘2时得到；若点A、B、C的横、纵坐标都乘时，得到.(二)参照规律，试做练习1.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（3，0），B（4，4），C（-2，3），画出四边形OABC以点O为位似中心的位似图形，使它与四边形OABC的相似比是2:1. 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（4，2），B（8，6），C（6，10），D（-2，6）.（1）将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘，得到四边形，画出图形，写出位似中心的坐标及四边形与四边形ABCD的相似比.（2）将点A，B，C，D的横坐标、纵坐标都乘，得到四边形，画出图形，写出位似中心的坐标及四边形与四边形ABCD的相似比. 3.如图，的顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（2，1） （1）作出与关于x轴对称的； 以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出，使. （2）判断的形状，并说明理由图形的