16届HW高三复习 空间角的求法ppt课件

空间角的求法 空间 角 问题 3 方法 平移法 向量法 1 平移法 在图中选一个恰当的点 通常是线段端点或中点 作a b的平行线 构造一个三角形 并解三角形求角 构造 平行四边形平移法 中位线平移法 构造三角形找中位线 然后利用中位线的性质 将异面直线所成的角转化为平面问题 解三角形求之 补形平移法 在已知图形外补作一个相同的几何体 以利于找出平行线 2 范围 异面直线所成角的范围 注意 结论 2 线线角向量法 经典例题探究 如图 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 求AC1和CB1的夹角 A B C A1 B1 C1 经典例题探究 如图 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 求AC1和CB1的夹角 法1 中位线平移法 A B C A1 B1 C1 D E F G 几何法 作 证 求 经典例题探究 如图 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 求AC1和CB1的夹角 法2 补形 平行四边形平移 法 几何法 作 证 求 经典例题探究 如图 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 求AC1和CB1的夹角 法 补形 平行四边形平移 法 A B C A1 B1 C1 D1 D 几何法 作 证 求 例题探究 如图 正三棱柱 侧棱与底面垂直且底面为正三角形 ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为1 求AC1和CB1的夹角 法 基向量法 1 在图形中取一组基底 2 利用基底表示两直线的方向向量 利用两向量的夹角公式求之 例题探究 如图 正三棱柱 侧棱与底面垂直且底面为正三角形 ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为1 求AC1和CB1的夹角 法4 坐标向量法 1 写出异面直线的方向向量的坐标 2 利用空间两个向量的夹角公式求出夹角 AC1和CB1的夹角为 x y z 设AC1和CB1的夹角为 则 另 直线垂直于平面 则它们所成的角是直角 直线和平面平行 或在平面内 则它们所成的角是0 的角 2 直线与平面所成角范围是 3 斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角 最小值定理 4 求法 几何法 公式法 向量法 1 几何法 作出斜线与射影成的角 论证所作 或所找 的角就所求的角 解三角形求出此角 通常是解由斜线段 垂线段 斜线在平面内的射影所组成的直角三角形 垂线段是其中最重要的元素 它可以起到联系各线段的作用 A B 线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角或其补角的余角 2 线面角向量法 范围 线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角 3 利用公式 其中 是斜线与平面所成的角 是垂线段的长 是斜线段的长 其中出垂线段的长 即斜线上的点到面的距离 既是关键又是难点 为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长 1 定义 由一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 三 二面角 注 二面角是空间图形 平面角是平面图形 在书写时不要写成 AOB为所求二面角 而应写成 AOB为二角的平面角 二面角的范围 2 求法 几何法向量法 1 几何法 将二面角转化为其平面角 要掌握以下三种基本做法 直接利用定义 图4 1 在棱上取点 分别在两面内引两条射线与棱垂直 这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角 利用三垂线定理及其逆定理 图4 2 最常用 三垂线定理 在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 作棱的垂面 图4 3 2 向量法1 注意 两向量的方向 垂直于棱向外 二面角的范围 向量法2 注意 法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 几何法 作 证 求 经典例题探究 如图 正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为 2 求AC1和面ABB1A1所成的夹角法1 解法2步骤 1 求出平面的法向量2 求出直线的方向向量3 求以上两个向量的夹角 锐角 其余角为所求角 设平面ABB1B的法向量 2 求AC1和面ABB1B所成的夹角 x y z 例题探究 如图 正三棱柱 侧棱与底面垂直且底面为正三角形 ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为3 求二面角B AB1 C1的余弦值 解法1 1 在两个半平面内作垂直于棱的两条直线 2 若垂足不重合则平移之 3 解三角形 F G 例题探究 如图 正三棱柱 侧棱与底面垂直且底面为正三角形 ABC A1B1C1的底面边长为a 侧棱长为3 求二面角B AB1 C1的余弦值 解法2 1 以其中一个平面非交线的顶点作另一个平面的垂线 若垂足H在另一个半平面里 则可由第2 3步求该二面角 若不在则求该二面角的补角 G H 2 过垂足作交线的垂线G 连接C1G 可证C1G垂直AB1 3 解直角三角形 3 二面角的大小 解法3步骤 1 求两个半平面的法向量2 求两个法向量的夹角3 当两个法向量同时指向二面角的内 外 部 所求角是法向量的夹角的补角 否则所求角是法向量的夹角 面B AB1的法向量 设面AB1C1的法向量为 x y z 二面角为钝角 所以所求二面角的余弦值为 练习2空间四边形ABCD中 AB BC CD AB BC BC CD AB与CD成600角 求AD与BC所成的角 周二午练 3 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中 AA1 2AB 则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 B C D B1 C1 D1 A O A1 H 练习2如图 在三棱锥V ABC中 VC 底面ABC AC BC D是AB的中点 且AC BC a VDC 当角 变化时 直线BC与平面VAB所成的角的取值范围为 H 解法2 1 在两个半平面内求垂直于棱的两条直线方向向量2 求以上两个向量的夹