什么是数学模型

数学建模与数学建模竞赛 单锋沈阳航空工业学院 什么是数学建模数学建模举例数学建模竞赛 什么是数学建模 从包汤圆 饺子 说起 通常 1公斤面 1公斤馅 包100个汤圆 饺子 今天 1公斤面不变 馅比1公斤多了 问应多包几个 小一些 还是少包几个 大一些 问题 圆面积为S的一个皮 包成体积为V的汤圆 若分成n个皮 每个圆面积为s 包成体积为v V和nv哪个大 从包汤圆 饺子 说起 定性分析 V比nv大多少 定量分析 假设 1 皮的厚度一样 2 汤圆 饺子 的形状一样 模型 应用 若100个汤圆 饺子 包1公斤馅 则50个汤圆 饺子 可以包公斤馅 R 大皮的半径 r 小皮的半径 V是nv是倍 1 4 从包汤圆 饺子 说起 数学模型 MathematicalModel 和数学建模 MathematicalModeling 对于一个现实对象 为了一个特定目的 根据其内在规律 作出必要的简化假设 运用适当的数学工具 得到的一个数学结构 建立数学模型的全过程 包括表述 求解 解释 检验等 数学模型 数学建模 数学建模方法 机理分析和测试分析 数学建模的基本方法 机理分析 测试分析 根据对客观事物特性的认识 找出反映内部机理的数量规律 将对象看作 黑箱 通过对量测数据的统计分析 找出与数据拟合最好的模型 机理分析没有统一的方法 主要通过实例研究 CaseStudies 来学习 以下建模主要指机理分析 二者结合 用机理分析建立模型结构 用测试分析确定模型参数 数学建模的方法和步骤 数学建模的一般步骤 模型准备 了解实际背景 明确建模目的 搜集有关信息 掌握对象特征 形成一个比较清晰的 问题 模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的 简化的假设 在合理与简化之间作出折中 模型构成 用数学的语言 符号描述问题 发挥想像力 使用类比法 尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤 模型求解 各种数学方法 软件和计算机技术 如结果的误差分析 统计分析 模型对数据的稳定性分析 模型分析 模型检验 与实际现象 数据比较 检验模型的合理性 适用性 模型应用 数学建模的一般步骤 数学建模的全过程 现实对象的信息 数学模型 现实对象的解答 数学模型的解答 归纳 演绎 表述 求解 解释 验证 根据建模目的和信息将实际问题 翻译 成数学问题 选择适当的数学方法求得数学模型的解答 将数学语言表述的解答 翻译 回实际对象 用现实对象的信息检验得到的解答 实践 现实世界 数学世界 开展数学建模教学的目的 1 培养学生的数学素质和创新能力 培养学生分析问题和解决问题的能力培养学生的想象力培养学生的洞察力培养学生的判断力 培养学生的创新意识 2 培养学生用数学的能力 探索数学教学改革的途径 数学教育应该培养学生两种能力 算数学 计算 推导 证明 和 用数学 实际问题建模及模型结果的分析 检验 应用 传统数学教学体系和内容偏重前者 忽略后者 数学建模引入教学是不打乱现有体系下的教改实验 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透 数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步 越来越受到人们的重视 在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具 数学进入一些新领域 为数学建模开辟了许多处女地 数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理 数学建模 计算机技术 知识经济 数学建模举例 椅子问题 把椅子放在不平的地面上 通常只有三只脚着地 放不稳 然而只要稍挪动几次 就可以使四脚着地放稳了 这个看来似乎与数学无关的现象能用数学语言给出表述 并用数学工具来证实吗 问题的提出 椅子的四条腿一样长 椅子与地面接触处可视为一个点 四脚连线呈正方形 模型假设 地面高度是连续变化的 沿任何方向都不会出现间断 没有像台阶那样的情况 即地面可视为数学上的连续曲面 对于椅子脚的间距和椅子腿的长度而言 地面是相对平坦的 使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地 模型的建立 设A C两脚与地面距离之和为 B D两脚与地面距离之和为 其中 对任何 所满足的条件 不妨设 建立数学模型 化为数学命题 设是的连续函数 且对任意 有 则存在使 模型求解 由介值定理 必存在使 即 但 故 即椅子的四条腿能同时着地 假设条件的本质与非本质 考察四脚呈长方形的椅子 体重问题 问题的提出 问题 人体的体重是怎样随时间变化的 人体的体重会达到平衡吗 如何减肥 在一般情况下 人们每天的进食量是相对固定的 所获得的热量一部分用于自身的新陈代谢 一部分用于劳动和体育锻炼 剩余的热量以脂肪的形式贮藏起来 假设以脂肪的形式贮藏的热量100 地有效 而1kg脂肪含热量10000卡 模型的假设 1每天的进食量是2500卡 2每天用于基本新陈代谢 即自动消耗 的热量是1200卡 在健身训练中 他每天消耗的热量大约是16卡 kg乘上他的体重 kg 5体重是时间t的函数w t 假定w 0 w0 模型的建立 在时间内考虑能量的改变 所以 模型的求解 方程是一个一阶线性非齐次方程 其解为 人体的体重能达到平衡状态 结果分析 进食量 新陈代谢 运动量 与体重有关的因素 1进食量2新陈代谢3运动量 减肥的方法 控制饮食调节内分泌加强运动 人口模型 背景 世界人口增长概况 中国人口增长概况 研究人口变化规律 控制人口过快增长 1 3 3如何预报人口的增长 指数增长模型 马尔萨斯提出 1798 常用的计算公式 x t 时刻t的人口 基本假设 人口 相对 增长率r是常数 今年人口x0 年增长率r k年后人口 随着时间增加 人口按指数规律无限增长 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 阻滞增长模型 Logistic模型 人口增长到一定数量后 增长率下降的原因 资源 环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r 固有增长率 x很小时 xm 人口容量 资源 环境能容纳的最大数量 x t S形曲线 x增加先快后慢 阻滞增长模型 Logistic模型 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报 必须先估计模型参数r或r xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例 美国人口数据 单位 百万 专家估计 阻滞增长模型 Logistic模型 模型检验 用模型计算2000年美国人口 与实际数据比较 实际为281 4 百万 模型应用 预报美国2010年的人口 加入2000年人口数据后重新估计模型参数 Logistic模型在经济领域中的应用 如耐用消费品的售量 阻滞增长模型 Logistic模型 数学建模竞赛 数学建模竞赛的开展情况 20世纪60 70年代进入西方国家的大学 数学建模教材较集中地出现在70年代 20世纪80年代初开始进入我国大学 1987年出版第1本教材 数学模型 姜启源编 高教社 80年代末估计30 40所学校开课 数学系 讲座 1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办 1989年我国大学生开始参加这项竞赛 1992年我国大学生数学建模竞赛开始举办 1999年有26省 市 自治区 460所学校参加 数学建模竞赛与教学相互促进 估计目前开课的学校约400所 各专业 必修课 选修课 讲座 全国大学生数学建模竞赛 1994年起由教育部高教司和CSIAM共同举办 每年一次 9月 全国高校规模最大的课外科技活动 数学建模竞赛培养学生创新精神 提高学生综合素质 竞赛内容 题目由工程技术 管理科学中的实际问题简化而成 没有事先设定的标准答案 但留有充分余地供参赛者发挥其聪明才智和创造精神 竞赛形式 三名大学生组成一队 可以自