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省级联考 省级 联考 2018 广东省 高考 数学 试卷 理科

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2018年广东省高考数学一模试卷（理科） 　 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（　　） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜2} 2． 设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 3． 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（　　） A． B． C． D． 4． 已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（　　） A．0 B．9 C．18 D．27 5． 已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．2 6． 的展开式中，x3的系数为（　　） A．120 B．160 C．100 D．80 7． 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） A．48+8π B．96+8π C．96+16π D．48+16π 8． 已知曲线，则下列结论正确的是（　　） A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 9． 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（　　） A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100 C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100 10． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 11． 已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 12． 设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（　　） A． B．（98，146） C． D．（98，266） 　 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13． 已知单位向量，的夹角为30，则|﹣|=　 　． 14． 设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　 　． 15． 已知sin10+mcos10=2cos140，则m=　 　． 16． 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为　 　． 　 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{an}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． 18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 步数/步 0～3000 3001～6000 6001～8000 8001～10000 10000以上 男生人数/人 1 2 7 15 5 女性人数/人 0 3 7 9 1 规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”． （1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望． （2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率． 19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形． （1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF； （2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值． 20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值． 21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（lnx﹣x+1）． （1）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数； （2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围． 　 （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=． （1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程； （2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式g（x）＜6的解集； （2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围． 　  2018年广东省高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 　 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 已知集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}，B={x|x2＜1}，则A∩B=（　　） A．{x|﹣1＜x＜1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜2} 【分析】解不等式得出集合A、B，根据交集的定义写出A∩B． 【解答】解：集合A={x|﹣1＜1﹣x＜1}={x|0＜x＜2}， B={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}， 则A∩B={x|0＜x＜1}． 故选：B． 【点评】本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题． 　 2． 设复数z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z为纯虚数，则a=（　　） A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【分析】把z=a+4i（a∈R）代入（2﹣i）z，利用复数代数形式的乘法运算化简，由实部为0且虚部不为0求得a值． 【解答】解：∵z=a+4i（a∈R），且（2﹣i）z=（2﹣i）（a+4i）=（2a+4）+（8﹣a）i为纯虚数， ∴，解得a=﹣2． 故选：D． 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 　 3． 如图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各图的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据几何概型的定义分别求出满足条件的面积，作商即可． 【解答】解：由题意此点取自黑色部分的概率是： P==， 故选：A． 【点评】本题主要考查几何概型的概率计算，求出黑色阴影部分的面积是解决本题的关键． 　 4． 已知函数f（x）满足，则函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为（　　） A．0 B．9 C．18 D．27 【分析】根据题意，分析可得函数的解析式，求出其导数f′（x）=24x2﹣6，计算可得f′（1）的值，结合导数的几何意义分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）满足，则f（x）=8x3﹣6x， 其导数f′（x）=24x2﹣6， 则有f′（1）=24﹣6=18，即函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为18； 故选：C． 【点评】本题考查利用导数求函数切线的方程，注意先求出函数的解析式． 　 5． 已知F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，点F到C的一条渐近线的距离为2a，则双曲线C的离心率为（　　） A．2 B． C． D．2 【分析】根据题意，由双曲线的几何性质，分析可得b=2a，进而可得c==a，由双曲线的离心率公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，F是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点， 若点F到C的一条渐近线的距离为2a，则b=2a， 则c==a， 则双曲线C的离心率e==， 故选：C． 【点评】本题考查双曲线的几何性质，注意双曲线的焦点到渐近线的距离为b． 　 6． 的展开式中，x3的系数为（　　） A．120 B．160 C．100 D．80 【分析】利用多项式乘以多项式展开，然后分别求出两项中含有x3的项得答案． 【解答】解：=， ∵x（1+2x）5的展开式中含x3的项为， 的展开式中含x3的项为． ∴的展开式中，x3的系数为40+80=120． 故选：A． 【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题． 　 7． 如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（　　） A．48+8π B．96+8π C．96+16π D．48+16π 【分析】由三视图可得，该几何体是长方体截去两个半圆柱，即可求解表面积． 【解答】解：由题意，该几何体是长方体截去两个半圆柱， ∴表面积为：462+2（46﹣4π）+22π4=96+8π， 故选：B． 【点评】本题考查了圆柱和长方体的三视图，结构特征，面积计算，属于基础题． 　 8． 已知曲线，则下列结论正确的是（　　） A．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称 B．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 C．把C向左平移个单位长度，得到的曲线关于原点对称 D．把C向右平移个单位长度，得到的曲线关于y轴对称 【分析】直接利用三角函数的图象平移逐一核对四个选项得答案． 【解答】解：把C向左平移个单位长度， 可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）=cos2x， 得到的曲线关于y轴对称，故A错误； 把C向右平移个单位长度， 可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）=﹣cos2x， 得到的曲线关于y轴对称，故B正确； 把C向左平移个单位长度， 可得函数解析式为y=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+）， 取x=0，得y=，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故C错误； 把C向右平移个单位长度，可得函数解析式为y=sin[2（x﹣）﹣]=sin（2x﹣）， 取x=0，得y=﹣，得到的曲线既不关于原点对称也不关于y轴对称，故D错误． ∴正确的结论是B． 故选：B． 【点评】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）的图象和性质，是基础题． 　 9． 大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入（　　） A．n是偶数，n≥100 B．n是奇数，n≥100 C．n是偶数，n＞100 D．n是奇数，n＞100 【分析】模拟程序的运行过程，结合退出循环的条件，判断即可． 【解答】解：n=1，s=0， n=2，s=2， n=3，s=4， …， n=99，s=， n=100，s=， n=101＞100， 结束循环， 故选：D． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 　 10． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A=，且2bsinB+2csinC=bc+a．则△ABC的面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由正弦定理和余弦定理即可求出a=，再由余弦定理可得：b2+c2=3+bc，利用基本不等式可求bc≤3，根据三角形面积公式即可得解． 【解答】解：根据正弦定理可得===， ∴sinB=，sinC=， ∵2bsinB+2csinC=bc+a， ∴+=bc+a， ∴b2+c2=abc+a2， ∴b2+c2﹣a2=abc， ∴==cosA= ∴a=， ∴3=b2+c2﹣bc，可得：b2+c2=3+bc， ∵b2+c2≥2bc（当且仅当b=c时，等号成立）， ∴2bc≤3+bc，解得bc≤3， ∴S△ABC=bcsinA=bc≤ 故选：C． 【点评】本题主要考查了余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于中档题． 　 11． 已知抛物线C：y2=x，M为x轴负半轴上的动点，MA，MB为抛物线的切线，A，B分别为切点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0，由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0，分别求出A，B，M的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出 【解答】解：设切线MA的方程为x=ty+m，代入抛物线方程得y2﹣ty﹣m=0， 由直线与抛物线相切可得△=t2+4m=0， 则A（，），B（，﹣）， 将点A的坐标代入x=ty+m，得m=﹣， ∴M（﹣，0）， ∴=（，）•（，﹣）=﹣=（t2﹣）2﹣， 则当t2=，即t=时，的最小值为﹣ 故选：C． 【点评】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及向量的数量积和二次函数的性质，属于中档题 　 12． 设函数，若互不相等的实数a，b，c，d满足f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则2a+2b+2c+2d的取值范围是（　　） A． B．（98，146） C． D．（98，266） 【分析】不妨设a＜b＜c＜d，利用f（a）=f（b）=f（c）=f（d），结合图象可得c的范围，且2a+2b=2，c+d=11，将所求式子转化为c的函数，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围． 【解答】解：画出函数f（x）的图象， 由x≤2时，f（x）=|2x+1﹣2|， 可得2﹣2a+1=2b+1﹣2， 可化为2a+2b=2， 当x＞2时，f（x）=x2﹣11x+30， 可得c+d=11， 令x2﹣11x+30=2， 解得x=4或7， 由图象可得存在a，b，c，d使得f（a）=f（b）=f（c）=f（d）， 可得4＜c＜5，即有16＜2c＜32， 则2a+2b+2c+2d=2+2c+2d=2+2c+， 设t=2c，则t+在（16，32）递减， 可得g（t）=t+∈（96，144）， 则2+2c+的范围是（98，146）． 故选：B． 【点评】本题考查代数式取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13． 已知单位向量，的夹角为30，则|﹣|=　1　． 【分析】根据单位向量的夹角为30即可求出的值，从而可求出的值，进而得出的值． 【解答】解：单位向量的夹角为30； ∴，； ∴=； ∴． 故答案为：1． 【点评】考查向量数量积的运算，以及单位向量的概念． 　 14． 设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为　2　． 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可． 【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图， 则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值， 由解得A（4，﹣2）， 所以z=x+y 的最大值为：2． 故答案为：2． 【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查约束条件的可行域，判断目标函数的最优解是解题的关键． 　 15． 已知sin10+mcos10=2cos140，则m=　﹣　． 【分析】由题意可得m=，再利用三角恒等变换求得它的值． 【解答】解：由题意可得m=== ==﹣， 故答案为：﹣． 【点评】本题主要考查三角恒等变换，属于中档题． 　 16． 如图，圆形纸片的圆心为O，半径为6cm，该纸片上的正方形ABCD的中心为O，E，F，G，H为圆O上的点，△ABE，△BCF，△CDG，△ADH分别是以AB，BC，CD，DA为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以AB，BC，CD，DA为折痕折起△ABE，△BCF，△CDG，△ADH，使得E，F，G，H重合，得到一个四棱锥．当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为　　． 【分析】根据题意，设正方形ABCD的边长为x，E，F，G，H重合，得到一个正四棱锥，四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，即可求解x，从而求解四棱锥的外接球的体积． 【解答】解：连接OE交AB与I，E，F，G，H重合为P，得到一个正四棱锥，设正方形ABCD的边长为x． 则OI=，IE=6﹣． 由四棱锥的侧面积是底面积的2倍， 可得， 解得：x=4． 设 外接球的球心为Q，半径为R，可得OC=，OP=，． ∴． 该四棱锥的外接球的体积V=． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点是球的体积，其中根据已知求出半径是解答的关键． 　 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分. 17．（12.00分）已知公差不为零的等差数列{an}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，求数列{bn}的前n项和Sn． 【分析】（1）公差d不为零的等差数列{an}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列．可得=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），解得：d． （2）=（2n+3）•3n﹣1．利用错位相减法即可得出． 【解答】解：（1）公差d不为零的等差数列{an}满足a1=5，且a3，a6，a11成等比数列． ∴=a3•a11，即（5+5d）2=（5+2d）（5+10d），化为：d2﹣2d=0，解得：d=2． ∴an=5+2（n﹣1）=2n+3． （2）=（2n+3）•3n﹣1． ∴数列{bn}的前n项和Sn=5+73+932+……+（2n+3）•3n﹣1． ∴3Sn=53+732+……+（2n+1）3n﹣1+（2n+3）3n， ∴﹣2Sn=5+2（3+32+……+3n﹣1）﹣（2n+3）3n=5+2﹣（2n+3）3n， 解得Sn=（n+1）3n﹣1． 【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 　 18．（12.00分）“微信运动”是一个类似计步数据库的公众账号．用户只需以运动手环或手机协处理器的运动数据为介，然后关注该公众号，就能看见自己与好友每日行走的步数，并在同一排行榜上得以体现．现随机选取朋友圈中的50人，记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下： 步数/步 0～3000 3001～6000 6001～8000 8001～10000 10000以上 男生人数/人 1 2 7 15 5 女性人数/人 0 3 7 9 1 规定：人一天行走的步数超过8000步时被系统评定为“积极性”，否则为“懈怠性”． （1）以这50人这一天行走的步数的频率代替1人一天行走的步数发生的概率，记X表示随机抽取3人中被系统评为“积极性”的人数，求P（X≤2）和X的数学期望． （2）为调查评定系统的合理性，拟从这50人中先抽取10人（男性6人，女性4人）．其中男性中被系统评定为“积极性”的有4人，“懈怠性”的有2人，从中任意选取3人，记选到“积极性”的人数为x；其中女性中被系统评定为“积极性”和“懈怠性”的各有2人，从中任意选取2人，记选到“积极性”的人数为y；求x＞y的概率． 【分析】（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，），由此能求出P（X≤2）和X的数学期望． （2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“，分别求出相应的概率，由此能求出P（x＞y）． 【解答】解：（1）由题意得被系统评为“积极性”的概率为=，X～B（3，）， ∴P（X≤2）=1﹣（）3=， X的数学期望E（X）=3=． （2）“x＞y“包含“x=3，y=2“，“x=3，y=1“，“x=3，y=0“，“x=2，y=1“，“x=2，y=0“，“x=1，y=0“， P（x=3，y=2）==， P（x=3，y=1）==， P（x=3，y=0）==， P（x=2，y=1）==， P（x=2，y=0）==， P（x=1，y=0）==， ∴P（x＞y）=． 【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随时机变量的数学期望的求法，考查二项分布、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题． 　 19．（12.00分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC=2AD=4，E，F分别为线段AB，DC的中点，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立体图形． （1）证明：平面AEFD⊥平面EBCF； （2）若BD⊥EC，求二面角F﹣BD﹣C的余弦值． 【分析】（1）根据AE⊥EF，AE⊥CF可得AE⊥平面BCFE，故而平面AEFD⊥平面EBCF； （2）建立空间坐标系，根据BD⊥EC求出AE，求出平面BDF和平面BCD的法向量即可得出二面角的余弦值． 【解答】（1）证明：∵在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC， E，F分别为线段AB，DC的中点， ∴EF∥AD，∴AE⊥EF， 又AE⊥CF，且EF∩CF=F， ∴AE⊥平面EBCF， ∵AE⊂平面AEFD， ∴平面AEFD⊥平面EBCF． （2）解：由（1）可得EA，EB，EF两两垂直， 故以E为原点建立空间直角坐标系，（如图） 设AE=m，则E（0，0，0），A（0，0，m），B（m，0，0）， F（0，3，0），C（m，4，0），D（0，2，m）， ∴=（﹣m，2，m），， ∵DB⊥EC，∴﹣m2+8=0，∴m=2． ∴=（﹣2，2，2），，， 设面DBF的法向量为，则，即， 令y=4可得：=（3，4，）， 同理可得平面CDB的法向量为， ∴cos＜＞===． 由图形可知二面角F﹣BD﹣C为锐角， ∴二面角F﹣BD﹣C的余弦值为． 【点评】本题考查了面面垂直的判定，二面角的计算与空间向量的应用，属于中档题． 　 20．（12.00分）已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求椭圆C的方程； （2）若直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且满足（其中O为坐标原点）．证明：直线l的斜率为定值． 【分析】（1）由椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程、a，b，c的关系，解方程可得a，b，即可得到所求椭圆方程； （2）由题意可设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0），P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2），联立椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0和韦达定理，以及三角形的面积公式，化简整理，解方程可得直线的斜率，即可得证． 【解答】解：（1）由题意可得=，+=1，a2﹣b2=c2， 解得a=2，b=1，c=， 故椭圆C的方程为+y2=1； （2）证明：由题意可得直线l的斜率存在且不为0， 设直线l的方程为y=kx+m，（m≠0）， P，Q的坐标为（x1，y1），（x2，y2）， 令x=0，可得y=m，即|MO|=|m|， 令y=0，可得x=﹣，即|NO|=||， 则S△PMO=|MO|•|y1|，S△QMO=|MO|•|y2|， S△PNO=|MO|•|x1|，S△QNO=|NO|•|x2|， 由， 可得=， 即有﹣2=﹣2， 可得=， 即=（）2=k2， 由y=kx+m代入椭圆+y2=1， 可得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0， 则△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）＞0， 即为1+4k2﹣m2＞0， x1+x2=﹣，x1x2=， y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2 =k2•+km（﹣）+m2 =， 可得=k2•， 即有4k2=1（m≠0）， 可得k=﹣（舍去）， 则直线l的斜率为定值． 【点评】本题考查椭圆方程和性质，主要是离心率和基本量的关系，考查直线方程和椭圆方程联立，运用判别式和韦达定理，同时考查三角形的面积的求法，以及化简整理的运算能力，属于中档题． 　 21．（12.00分）已知函数f（x）=（x﹣2）ex+a（lnx﹣x+1）． （1）讨论f（x）的导函数f（x）零点的个数； （2）若函数f（x）的最小值为﹣e，求a的取值范围． 【分析】（1）令f′（x）=0可得x=1或xex﹣a=0，讨论a的范围得出方程xex﹣a=0的根的情况，从而得出结论； （2）讨论a的范围，分别得出f（x）的最小值，从而得出结论． 【解答】解：（1）f′（x）=（x﹣1）ex+a（﹣1）=（x＞0）， 令g（x）=xex﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）ex＞0， ∴g（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴g（x）＞g（0）=﹣a． ∴当a≤0或a=e时，f′（x）=0只有1个零点， 当0＜a＜e或a＞e时，f″（x）有两个零点． （2）当a≤0时，xex﹣a＞0，则f（x）在x=1处取得最小值f（1）=﹣e， 当a＞0时，y=xex﹣a在（0，+∞）上单调递增，则必存在正数x0， 使得x0e﹣a=0， 若a＞e，则x0＞1，故函数f（x）在（0，1）和（x0，+∞）上单调递增，在（1，x0）上单调递减， 又f（1）=﹣e，不符合题意； 若0＜a＜e时，则0＜x0＜1，设正数b=e∈（0，1）， 则f（b）=（b﹣2）eb+a（lnb﹣b+1）＜aln（e﹣b+1）=a（﹣）=﹣e﹣ab＜﹣e，不符合题意． 综上，a的取值范围是（﹣∞，0]． 【点评】本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题． 　 （二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10.00分）在直角坐标系xOy中，圆C1：（x﹣2）2+（y﹣4）2=20，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C2：θ=． （1）求C1的极坐标方程和C2的平面直角坐标系方程； （2）若直线C3的极坐标方程为θ=，设C2与C1的交点为O、M，C3与C1的交点为O、N，求△OMN的面积． 【分析】（1）根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，整理即可； （2）别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ，求出得ρ1，ρ2的值，从而求出三角形的面积． 【解答】解：（1）∵圆C1的普通方程为x2+y2﹣4x﹣8y=0， 把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程得ρ2﹣4ρcosθ﹣8ρsinθ=0， 故C1的极坐标方程是ρ=4cosθ+8sinθ， C2的平面直角坐标系方程是y=x； （2）分别将θ=，θ=代入ρ=4cosθ+8sinθ， 得ρ1=2+4，ρ2=4+2， 则△OMN的面积为（2+4）（4+2）sin（﹣）=8+5． 【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的转化，考查代入求值问题，是一道中档题． 　 [选修4-5：不等式选讲] 23．已知函数f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|，g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|． （1）求不等式g（x）＜6的解集； （2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围． 【分析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可； （2）问题转化为{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅，求出f（x）的最小值和g（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可． 【解答】解：（1）g（x）=|4x﹣1|﹣|x+2|．g（x）=， 不等式g（x）＜6， x≤﹣2时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：x＞﹣1，不等式无解； ﹣2＜x＜时，1﹣4x﹣x﹣2＜6，解得：﹣＜x＜， x≥时，4x﹣1﹣x﹣2＜6，解得：3＞x， 综上，不等式的解集是（﹣，3）； （2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=﹣g（x2）成立， 所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=﹣g（x），x∈R}≠∅， 又f（x）=3|x﹣a|+|3x+1|≥|（3x﹣3a）﹣（3x+1）|=|3a+1|， 故g（x）的最小值是﹣， 可知﹣g（x）max=，所以|3a+1|≤，解得﹣≤a≤， 所以实数a的取值范围为[﹣，]． 【点评】本题考查函数与方程的综合应用，绝对值不等式的解法问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． 　 第28页（共28页）

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