利用导数判断函数的单调性高中数学选修1-1课件资源

1 3 1利用导数判断函数的单调性 知识与能力目标 1 理解导数符号与函数的单调性关系 2 会利用导数判断函数的单调性 过程与方法目标 讲练结合 讨论等方法 同时利用提示等方法为学生降低难度情感态度与价值观目标 通过对导数与函数的单调性的关系学习 进一步加强知识的应用能力 教学目标 教学重点导数符号与函数的单调性关系 用导数解决函数的单调性 教学难点导数符号与函数的单调性关系 知识链接 1 函数的单调性 对于任意的两个数x1 x2 I 且当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么函数f x 就是区间I上的增函数 对于任意的两个数x1 x2 I 且当x1 x2时 都有f x1 f x2 那么函数f x 就是区间I上的减函数 2 导数的概念及其四则运算 课前预习 竖直上抛一个小沙袋 沙袋的高度h是时间t的函数 设h h t 其图象如图所示 横轴表示时间t 纵轴表示沙袋的高度h 设沙袋的最高点为A 其横坐标为t t0 先考察沙袋在区间 a t0 的运动情况 根据生活经验 我们知道 在这个区间内 沙袋向上运动 其竖直向上的瞬时速度大于0 即在区间 a t0 我们说在此区间内 函数h h t 是增函数 再考察沙袋在区间 t0 b 的运动情况 在这个区间内 沙袋向下运动 其竖直向上的瞬时速度小于0 即在区间 t0 b 我们说在此区间内 函数h h t 是减函数 用函数的导数判断函数单调性的法则 1 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是增函数 a b 为f x 的单调增区间 2 如果在区间 a b 内 f x 0 则f x 在此区间是减函数 a b 为f x 的单调减区间 我们可以用s t 与瞬时速度v t 的关系来说明这个法则的正确性 当v t s t 0时 s t 是增函数 当v t s t 0时 s t 是减函数 我们还可以用函数曲线的切线斜率来理解这个法则 当切线斜率为正时 切线的倾斜角小于90 函数曲线呈上升状态 当切线斜率为负时 切线的倾斜角小于90 函数曲线呈下降状态 如果函数y f x 在x的某个开区间内 总有f x 0 则f x 在这个区间上是增函数 如果函数y f x 在x的某个开区间内 总有f x 0 则f x 在这个区间上是减函数 例1 如图 设有圆C和定点O 当l从l0开始在平面上绕O点匀速旋转 旋转角度不超过90 时 它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数 它的图象大致是下列四种情况中的哪一种 解 由于是匀速旋转 阴影部分的面积S t 开始和最后时段缓慢增加 中间时段S增速快 图A表示S的增速是常数 与实际不符 图A应否定 图B表示最后时段S的增速快 也与实际不符 图B也应否定 图C表示开始时段与最后时段S的增速快 也与实际不符 图C也应否定 图D表示开始与结束时段 S的增速慢 中间的时段增速快 符合实际 应选D 例2 确定函数f x x2 2x 4在哪个区间内是增函数 哪个区间内是减函数 解 f x x2 2x 4 2x 2 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是增函数 令2x 2 0 解得x 1 当x 1 时 f x 0 f x 是减函数 例3 找出函数f x x3 4x2 x 1的单调区间 解 f x 3x2 8x 1 令3x2 8x 1 0 解此不等式得 或 令3x2 8x 1 0 解此不等式得 因此 区间为f x 的单调减区间 例4 证明函数f x 在 0 上是减函数 证明 f x 1 x 2 x 0 x2 0 0 即f x 0 f x 在 0 上是减函数 例5 求函数y x2 1 x 3的单调区间 解 y x2 1 x 3 2x 1 x 3 x2 3 1 x 2 1 x 1 x 2 2 1 x 3x x 1 x 2 2 5x 令x 1 x 2 2 5x 0 解得0 x y x2 1 x 3的单调增区间是 0 令x 1 x 2 2 5x 0 解得x 0或x 且x 1 x 1为拐点 y x2 1 x 3的单调减区间是 0 达标练习 1 函数y 3x x3的单调增区间是 A 0 B 1 C 1 1 D 1 C 2 设f x x x 0 则f x 的单调增区间是 A 2 B 2 0 C D 0 C 3 函数y xlnx在区间 0 1 上是 A 单调增函数 B 单调减函数 C 在 0 上是减函数 在 1 上是增函数 D 在 1 上是减函数 在 0 上是增函数 C 4 函数y x2 x 3 的减区间是 增区间是 2 0 2 及 0 5 函数f x cos2x的单调区间是 k k k Z 6 函数y 的单调增区间是 0 1 7 证明 函数f x ln cosx 在区间 0 上是增函数 证明 f x cosx tanx 当x 0 时 tanx 0 即f x 0 函数f x ln cosx 在区间 0 上是增函数 8 当x 1时 证明不等式 证明 设f x 显然 f x 在 1 上连续 且f 1 0 f x x 1 0 于是f x 0 故f x 是 1 上的增函数 应有 当x 1时 f x f 1 0 即当x 1时 课堂小结 1 如果