信息技术应用收集数据并建立函数模型

巧用数学模型 重庆市城口中学数学教研组 瞿继学 摘要 函数模型是数学模型重要的组成部分之一 MathematicalModel 这个名词早就为科学界 工程界 甚至经济学界所熟知 因为他们就是用这种方法来研究他们要处理解决的问题的 今天人类社会正处在由工业化向信息化社会的过渡的变革 以数字化为特征的信息社会有两个显著特点 随着计算机技术的飞速发展与广泛应用 数学的应用向一切领域渗透 随着计算机技术的飞速发展 科学计算的作用越来越引起人们的广发重视 它已经与科学理论和科学实验并列成为人们探索和研究自然界 人类社会的三大基本方法 为了适应这种社会的变革建立数学模型就应运而生并且成为了一门学科 数学建模时对现实世界的特定对象 为了特定的目的 根据特有的内在规律对其进行必要的抽象 归纳 假设和简化 运用适当的数学工具建立的一个数学结构 而在这门学科中函数是最重要的工具性知识之一 其涉及的内容十分广泛 在生产 生活实际中 有大量的实际问题必须依赖函数的模型加以解决 比如经济中的利润最值问题 生物的细胞分裂文图 测量问题等等 前言 数学模型的历史可以追溯到人类开始使用数字的时代 随着人类使用数字 就不断地建立各种数学模型 以解决各种各样的实际问题 对于广大的科学技术工作者对大学生的综合素质测评 对教师的工作业绩的评定以及诸如访友 采购等日常活动 都可以建立一个数学模型 确立一个最佳方案 建立数学模型是沟通摆在面前的实际问题与数学工具之间联系的一座必不可少的桥梁 在利用数学方法分析和解决实际问题时 要求从实际错综复杂的关系中找出其内在的规律 然后用数学的语言 即数字 公式 图表 符号等刻画和描述出来 然后经过数学与计算机的处理 即计算 迭代等得到定量的结果 供人们进行分析 预报 决策和控制 这种把实际问题进行合理的简化假设归结为数学问题并求解的过程就是建立数学模型 简称建模 而这种成功的方法和技术反映在培养专门人才的大学教学活动中 就是数学建模教学和竞赛 数学建模简而言之就是应用数学模型来解决各种实际问题的过程 也就是通过对实际问题的抽象 简化 确定变量和参数 并应用某些规律建立变量与参数间的关系的数学问题 或称一个数学模型 再借用计算机求解该数学问题 并解释 检验 评价所得的解 从而确定能否将其用于解决实际问题的多次循环 不断深化的过程 例 冒雨前行问题一个雨天 你赶时间需要从家中到学校去 学校离家不远 仅一公里 况且事情紧急 你来不及花时间去翻找雨具 决定碰一下运气 顶着雨去学校 假设刚刚出发雨就大了 但你不打算再回去了 一路上 你将被大雨淋湿 一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走 以减少雨淋的时间 但如果考虑到降雨方向的变化 在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略 试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度 二 生活中的数学模型 1建模准备建模目标 在给定的降雨条件下 设计一个雨中行走的策略 使得你被雨水淋湿的程度最小 主要因素 淋雨量 降雨的大小 降雨的方向 风 路程的远近 行走的速度 2 降雨大小用降雨强度厘米 时来描述 降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度 在这里可视其为一常量 3 风速保持不变 4 以定速度米 秒跑完全程米 2模型假设及符号说明1 把人体视为长方体 身高米 宽度米 厚度米 淋雨总量用升来记 3模型建立与计算 1 不考虑雨的方向 此时 你的前后左右和上方都将淋雨 淋雨的面积 雨中行走的时间 降雨强度 模型中 结论 淋雨量与速度成反比 这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量 从而可以计算被淋的雨水的总量为2 041 升 经仔细分析 可知你在雨中只跑了2分47秒 但被淋了2升的雨水 大约有4酒瓶的水量 这是不可思议的 表明 用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际 原因 不考虑降雨的方向的假设 使问题过于简化 2 考虑降雨方向 人前进的方向 若记雨滴下落速度为 米 秒 雨滴的密度为 雨滴下落的反方向 表示在一定的时刻在单位体积的空间内 由雨滴所占的空间的比例数 也称为降雨强度系数 所以 因为考虑了降雨的方向 淋湿的部位只有顶部和前面 分两部分计算淋雨量 顶部的淋雨量 前表面淋雨量 总淋雨量 基本模型 可以看出 淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关 问题转化为给定 如何选择 使得最小 情形1 结果表明 淋雨量是速度的减函数 当速度尽可能大时淋雨量达到最小 假设你以6米 秒的速度在雨中猛跑 则计算得 情形2 结果表明 淋雨量是速度的减函数 当速度尽可能大时淋雨量达到最小 假设你以6米 秒的速度在雨中猛跑 则计算得 情形3 此时 雨滴将从后面向你身上落下 出现矛盾的原因 我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形 因此 对于这种情况要另行讨论 当行走速度慢于雨滴的水平运动速度 即 这时 雨滴将淋在背上 而淋在背上的雨水量是 淋雨总量为 再次代如数据 得 结果表明 当行走速度等于雨滴下落的水平速度时 淋雨量最小 仅仅被头顶上的雨水淋湿了 若雨滴是以的角度落下 即雨滴以的角从背后落下 你应该以 此时 淋雨总量为 这意味着你刚好跟着雨滴前进 前后都没淋雨 当行走速度快于雨滴的水平运动速度 即 你不断地追赶雨滴 雨水将淋湿你的前胸 被淋得雨量是 淋雨总量为 4结论 若雨是迎着你前进的方向向你落下 这时的策略很简单 应以最大的速度向前跑 若雨是从你的背后落下 你应控制你在雨中的行走速度 让它刚好等于落雨速度的水平分量 5注意关于模型的检验 请大家观察 体会并验证 冒雨前行问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性 模型的阶段适应性 1 甲早8 00从山下旅店出发 沿一条路径上山 下午5 00到达山顶并留宿 次日早8 00沿同一路径下山 下午5 00回到旅店 乙说 甲必在2天中的同一时刻经过同一地点 为什么 2 甲乙两站之间有公交车相通 每隔10分钟甲乙两站相互发一趟车 但发车时刻不一定相同 甲乙之间有一中间站丙 某人每天在随机的时刻到达丙站 并搭乘最先经过丙站的那趟车 结果发现100天中约有90天到达甲站 约有10天到达乙站 问开往甲乙两站的公交车经过丙站的时刻表是如何安排的 三 作业题 解答下面的问题 例如 四只脚呈正方形的椅子能放平吗 椅子问题 解决方法用到了高数中的零点定理 第一章第七节 例如 单 多 变量最优化模型 单变量 解决方法用到了高数中的微分法 第二章第八节 多变量 解决方法用到了高数中的Lagrange乘数法 第六章第四节 建模中用到的高等数学的知识 返回 例如 线性规划 整数规划模型就是线代的一个应用方面 其标准形式 也用到了矩阵及其秩的概念 第三章第二节 例如 数学建模中用到的层次分析法 主成分分析法 都用到线性代数中的特征