线性代数讲义2.doc

此文档收集于网络，仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除第二章 矩阵矩阵是线性代数的重要组成部分，也是以后各章中计算的重要工具.在矩阵的理论中，矩阵的运算起着重要的作用.我们在这一章里，将要介绍矩阵的基本概念及其运算.2.1 矩阵的定义一、矩阵的定义首先看几个例子.例1 设有线性方程组这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个矩形阵列如下：这个阵列决定着给定方程组是否有解？以及如果有解，解是什么等问题.因此对这个阵列的研究很有必要.例2 某企业生产5种产品，各种产品的季度产值（单位：万元）如表2-1.表2-1 产品产值季度1234518058757864298708584763907590908048870828076这个排成4行5列的产值阵列具体描述了这家企业各种产品各季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.例3 生产m种产品需用n种材料，如果以表示生产第种产品（）耗用第种材料（）的定额，则消耗定额可以用一个矩形表表示，如表2-2.表2-2材料定额产品 这个由行列构成的消耗定额阵列描述了生产过程中产出的产品与投入材料的数量关系.类似这样的数表，我们在自然科学、工程技术和经济管理等不同领域中经常遇到.这种数表在数学上就叫做矩阵.下面我们给出矩阵的定义.定义 由个数排成行列的数表 (2-1-1)叫做行列矩阵，简称矩阵.这个数叫做矩阵A的元素，叫做矩阵A的第行第列元素.一般情形下，用大写字母A，B，C，表示矩阵.为了标明矩阵的行数和列数，可用表示，或记作.二、几种特殊的矩阵1阶方阵当时，即A=时，A称为阶方阵.2对角矩阵主对角线以外的元素都为零的方阵称为对角矩阵，即3单位矩阵主对角线上的元素都是1的阶对角矩阵称为单位矩阵，记为，如4三角矩阵主对角线一侧所有元素都为零的方阵称为三角矩阵，如 或 5零矩阵所有元素都为零的矩阵称为零矩阵.记作，简记O.6行矩阵、列矩阵m=1时的矩阵，即称为行矩阵；n=1时的矩阵，即称为列矩阵.7对称矩阵在矩阵中，若则矩阵A称为对称矩阵，如2.2 矩阵的运算矩阵的意义不仅在于将一些数据排成数表形式，而且在于对它定义了一些有理论意义和实际意义的运算，从而使它成为进行理论研究或解决实际问题的有力工具.一、矩阵的加法、减法首先给出矩阵相等的概念.定义1 在矩阵和中，若它们的对应元素相等，即则称矩阵A与B相等,记为A=B.定义2 设，矩阵称为矩阵A与矩阵B的和或差，记作A+B或A-B，即注意，只有当两个矩阵的行数相同且列数也相同时，这两个矩阵才能进行加法、减法运算. 例1 有两种物资（单位：吨）从3个产地运往4个销地，两次调运方案分别为矩阵A与矩阵B，则从各产地运往各销地两次的物资调运量（单位：吨）为矩阵加法满足以下运算规律：（1）（2）（3）矩阵称为矩阵的负矩阵，记为.显然，有（4）二、数与矩阵的乘法定义3 以数乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵，称为数与矩阵A的积，记作.如果，那么不难证明，数与矩阵乘法满足以下运算规律：(1) (2) (3) (4) (5) (为零矩阵)例2 已知求3A-2B.解例3 已知且,求X.解 三、矩阵与矩阵的乘法先看一个例子.例4 某工厂有三个车间，某月各种原材料的消耗量如表2-3.表2-3 单位：吨原料消耗量车间211516105301342432100又各种原材料每吨价格和加工费如表2-4. 表2-4 单位：元单价原料原料费加工费12514482.5203求各车间某月支出原料费及加工费各为多少元？解 我们可以直接计算出各车间支出的原料费用和加工费用为车间的原料费=2112+1514+168+1020=790（元）车间的原料费=5312+014+138+420=820（元）车间的原料费=2412+3214+108+020=816（元）车间的加工费=215+154+162.5+103=235（元）车间的加工费=535+04+132.5+43=309.5（元）车间的加工费=245+324+102.5+03=273（元）上述结果列成表2-5 表2-5单位：元费用车间原料费加工费790235820309.5816273如果用矩阵来表示，则表2-3、表2-4、表2-5分别为从上述分析可以看出，矩阵A、B与C之间的关系是：C中第行第列 元素恰好等于A的第行各元素分别和矩阵B第列对应元素的乘积之和.因此，我们将矩阵C定义为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB, 即 我们将上面例题中矩阵之间的这种关系定义为矩阵的乘法. 定义4 设矩阵的列数与矩阵的行数相同，则由元素构成的m行n列矩阵称为矩阵A与矩阵B的积，记为C=AB或AB.这个定义说明，如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B的乘积C中第行第列的元素，等于矩阵A的第行元素与矩阵B的第列对应元素乘积的和.并且矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数.例5 若求AB.解 我们还可以求一下BA.显然,.例6 若,求AB.解 BA没有意义，因为B的列数不等于A的行数，BA不可进行运算.例7 若，求AB及BA.解 由例5，例6，例7可以看到矩阵的乘法一般不满足交换律.由例6可以看到AB有意义，BA不一定有意义.由例5、例7可以看到，即使AB、BA都有意义，AB与BA也不一定相等.但并不是任何两矩阵相乘都不可以交换，如下面的例8，两矩阵相乘可以交换，但作为统一的运算法则，矩阵乘法交换律是不成立的.由例7还可得出：两个非零矩阵相乘，可能是零矩阵，从而不能从AB=O必然推出A=O或B=O.例8 若，求AB与BA.解 显见，AB=BA.如果两矩阵A与B相乘，有AB=BA，则称矩阵A与矩阵B可交换.矩阵相乘时必须注意顺序，AX称为用X右乘A，XA称为用X左乘A.矩阵乘法具有下列性质：（1）（AB）C=A（BC）（2）k（AB）=（kA）B=A（kB） （其中k为数值）（3）A（B+C）=AB+AC（4）（B+C）A=BA+CA设A是n阶方阵，规定：其中k为正整数，称为A的k次幂.例9 设，求.解 = =四、矩阵的转置定义5 把矩阵A的所有行换成相应的列所得到的矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记为，即若，则.例10 若，则 可见，若A是对称矩阵，则有.矩阵的转置具有下列性质：（1）（2）（3）（4）五、方阵的行列式定义6 由n阶方阵A的元素所构成的行列式（各元素的位置不变），叫做方阵A的行列式，记作.应该注意，方阵与行列式是两个不同的概念，n阶方阵是个数按一定方式排列成的数表，而n阶行列式是这些数（也就是数表A）按一定运算法则所确定的一个数.由A确定的的这个运算满足下述运算规律（设A，B为n阶方阵，k为数值）：（1）（2）（3）由（3）可知，对于n阶方阵A、B，一般说来，但总有 例11 设，求.解法1 所以 解法2 习题2.21 设，求（1）3AB-2A （2）2已知，求X.3计算下列乘积.（1） （2） （3）（4） （5）4设证明：（1）AB=BA=0 （2）AC=A，CA=C （3）ACB=CBA5证明矩阵下列运算性质.（1） （2）（3） （4）AE=EA=A6求下列矩阵的幂.（1）设，求（2）求7若矩阵AB=BA，则称B与A可交换，设，求所有与A可交换的矩阵.2.3 逆矩阵一、逆矩阵的定义矩阵与数相类似，有加、减、乘三种运算.于是，自然会提出矩阵的乘法是否也和数一样存在逆运算呢？解一元线性方程ax=b，当时，存在一个数，使为方程组的解.那么在解矩阵方程AX=B时，是否也存在一个矩阵，使这个矩阵乘以B等于X .这就是我们要讨论的逆矩阵的问题.逆矩阵在矩阵理论和应用中都起着重要的作用.定义1 对于n阶矩阵A，如果存在n阶矩阵B，使得AB=BA=E那么矩阵A称为可逆矩阵，而B称为A的逆矩阵. 如果A可逆，A的逆矩阵是唯一的.因为如果B和都是A的逆矩阵,则有那么 即 所以逆矩阵是唯一的.我们把矩阵A唯一的逆矩阵记作.定义2 若n阶矩阵A的行列式，则称A为非奇异的.为了讨论逆矩阵存在的条件和逆矩阵的求法，先引进伴随矩阵的概念.定义3 设是矩阵的行列式中的元素代数余子式，那么矩阵称为矩阵A的伴随矩阵.定理1 矩阵A存在逆矩阵的充分必要条件是，即A为非奇异矩阵时才有逆矩阵存在.证 必要性：因为A可逆，则有使.因此，即.充分性：若，作矩阵由1.2定理1和定理2，可得，即得AB=E.同理，可证，BA=E.故 二、逆矩阵的性质逆矩阵具有下列性质：（1）（2）（3）（4）（5）下面仅证明性质2，其它性质请读者自己证明.证（2）因为，所以 证毕由定理1,可得由矩阵A的伴随矩阵求逆矩阵的计算方法，求出矩阵A的所有元素的代数余子式；写出伴随矩阵；由便得.这种方法常用于三阶以下的方阵求逆矩阵的问题.例1 求矩阵的逆矩阵.解 因为，所以存在.由于因此 例2 求矩阵的逆矩阵.解 因为所以存在，由于 , 因此例3 试用逆矩阵求解线性方程组.解 令 于是原方程组可写成 AX=B （2-3-1）因为 故存在，且对（2-3-1）式两侧左乘，得即线性方程组的解为.习题2.31 验证矩阵B是矩阵A的逆矩阵.（1）（2）2写出下列初等方阵的逆矩阵。（1）3判断下列矩阵是否可逆，如可逆，求其逆矩阵。（1） （2） （3） （4）(5) (6)4解下列矩阵方程.（1） （2）（3）5证明：如果对称矩阵A为非奇异矩阵，则也是对称的.6证明：如果，但A不是单位矩阵，则A必为奇异矩阵.2.4 矩阵的初等变换由于矩阵的定义和线性方程组有密切的联系.因此，矩阵的许多概念也是由线性方程组的性质而产生的.如从线性方程组的消元法，就可以定义矩阵的行初等变换.用矩阵的初等变换将会使矩阵的概念推至更新、更简洁、更加实用的境界.一、矩阵的初等变换定义1 对矩阵施以下列3种变换，称为矩阵的行初等变换.（1）交换矩阵的两行；（2）以一个非零的数k乘矩阵的某一行；（3）把矩阵的某一行的l倍加于另一行上.把定义1中的行改成列，称为列初等变换.行、列初等变换统称为初等变换，下面主要讨论行初等变换.如果矩阵A经过有限次初等变换变成B，称矩阵B与矩阵A等价，记为.定理 任何非奇异方阵经过初等变换可化为单位阵.例1 试用初等变换将矩阵A化为单位阵解 因为，所以A是非奇异方阵，故有 二、初等阵定义2 单位阵E经过一次初等变换所得到的矩阵，称为初等方阵，简称初等阵.由初等变换的三种形式，可知初等阵也有相应的三种形式：1互换E的i、j两行，记为，即 2用数乘E的第i行，记为,即 3用数k乘第j行加到第i行的各对应元素上，记为，即 三、行初等变换的矩阵表示法不难验证，用初等阵左乘矩阵，就是对矩阵进行一次行初等变换.如设，则有；用三种初等阵，前面定理可以表示成如下矩阵乘积的形式： （2-4-1）其中是对A所用的初等变换所对应的初等阵.E是A的同阶单位矩阵.应该指出，非奇异矩阵经初等变换后得到的矩阵仍然是非奇异矩阵.事实上，设P为初等方阵，A为非奇异矩阵，即，则有，因此，PA是非奇异矩阵.四、用行初等变换求逆矩阵如果A可逆，则也可逆，根据上面定理，存在初等矩阵，使那么有 即 式表示对A的行施以若干次初等变换化为E, 表示对E的行施以同样的初等变换化为.于是可以得出一个求逆矩阵的方法如下.作一个n2n的矩阵（）,然后对此矩阵施以行的初等变换，使子块A化为E，则同时子块E化为了.即 例1 求矩阵的逆矩阵.解 作36矩阵于是得到习题2.41用行初等变换把下列矩阵化为阶梯形矩阵.（1） （2）（3） （4）2 用初等变换将下列矩阵化为矩阵D的标准形式.（1） （2） （3）（4） （5）3用初等变换判定下列矩阵是否可逆，如可逆，求其逆矩阵.（1） （2）（3） （4）2.5 矩阵的秩一、矩阵秩的定义定义1 设是矩阵，从A中任取k行k列，位于这些行和列的相交处的元素，保持它们原来的相对位置所构成的k阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子式.例如，矩阵A的第一、三两行，第二、四两列相交处的元素所构成的二阶子式为设A为一个mn矩阵.当A=O时，它的任何子式都为零；当时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零.这时再考察二阶子式，如果A中有二阶子式不为零，则往下考察三阶子式，依次类推.最后必达到A中有r阶子式不为零，而再没有比r更高阶的不为零的子式.这个不为零的子式的最高阶数r，反映了矩阵A内在的重要特性，在矩阵的理论与应用中都有重要意义.例如，A中有二阶子式，但它的任何三阶子式皆为零，即不为零的子式最高阶数r=2.定义2 设A为mn矩阵.如果A中不为零的子式最高阶数为r,即存在r阶子式不为零，而任何r+1阶子式皆为零，则称r为矩阵A的秩，记作秩（A）=r或r(A)=r.当A=O时，规定r(A)=0.显然：.上例中，r(A)=2.很明显，当时称矩阵A为满秩矩阵.例如， 都是满秩矩阵. 例1 求下列矩阵A的秩.解 A的四个三阶子式都为零，即；而二阶行列式故A的不等于零的子式的最高阶数为2，所以r(A)=2.例2 设求.解 显然，A的所有4阶子式都等于零，而三阶行列式故. 二、利用初等变换求矩阵的秩从上述两个例子可见，为了找到矩阵中不为零的最高阶子式，需要计算很多行列式.然而，在例2中很容易看出最高阶不为零的子式是三阶行列式，这种矩阵称为阶梯形矩阵.所谓阶梯形矩阵，就是它的任一行的第一个非零元素所在的列中的下方元素全为零.下面，通过矩阵的行初等变换，将矩阵化为阶梯形矩阵，以便求矩阵的秩.定理 矩阵A经过初等变换后其秩不变.证 按矩阵的三种初等变换可证明：（1）互换矩阵A的任意两行（或两列），矩阵的秩不变.因为互换行列式的两行（或两列），行列式仅改变符号，因此，经初等变换后的每一个子式与原矩阵对应的子式相等或者仅改变正负号，故矩阵的秩不变.（2）用一个非零常数k乘矩阵A的某一行（或列），则矩阵的秩不变.因为行列式的某一行（或列）乘一个非零常数k等于行列式乘以k.因此，经初等变换后的矩阵子式与原矩阵的对应子式或者相等，或者仅相差k倍，故矩阵的秩不变。（3）用一个数k乘矩阵的某一行（或列）的各元素加到另一行（或列）的对应元素上，则矩阵的秩不变.事实上，设矩阵，对A施以下列初等变换得到矩阵B，即因为r(A)=r，所以A中的所有r+1阶子式全为零，在B中的r+1阶子式可分下面三种情况讨论：(1) 若B中r+1阶子式没有第i行元素，那么B中所有r+1阶子式在A中都有，所以，B中不包含第i行的所有r+1阶子式全都为零.(2) 若B中r+1阶子式含有第i，j两行元素，根据行列式性质7，B中r+1阶子式与A中对应的r+1阶子式相等，所以B中所有r+1阶子式为零.(3) 若B中r+1阶子式只含有第i行不含第j行元素，根据行列式性质6和性质4，B中每一个r