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物理课题小论文 之窥视无穷信息工程学院 计算机2001届2班组长：陈显锋（撰写，主讲） 组员：王良（制图，抄录） 谭正海（校验，资料调查） 页：1窥视无穷光在两片镜子中的多重反射现象镜子是与我们日常生活密不可分的一件物品，人们用它来整理自身外部形象。如果没有镜子，那整个世界将是不可想象的，或许我们永远都不能真切的看到自身的模样。所以，从某方面讲，镜子是人眼的扩展，能让人看到视力所不达的地方。当然，也能让人看到假象。人们都有这样的经验，当把两面镜子面对面的放在一起，同时在中间放一个物体时，能在镜中看到无限多个影像。这种有趣的现象就是我们要说的窥视无穷。为了便于观察，我们将利用一块半透半反镜和一块全反镜及一个小灯泡组成的一个系统。首先，我们知道能从镜中看到无限的象，实际上都是实物在两镜中所形成的虚象，而一个镜中的虚象可在另一个镜之中再次形成虚象。（真实情况实际上是实物所发出或通过实物反射的光线在两镜之间来回反射，最终射入人们的眼中，使人看到此虚象。每个虚象都有它特定的反射路程。）因此，虚象彼此之间来回的形成，就使人看到了无穷限的物象。 图1-3注：An表示看到在镜中的第n个虚象，实线表示光线实际通过的路程，虚线表示假想虚象发出的光线通过的路程。假设此物体大小相对两镜的距离很小，即把它看成是一个质点，如图所示，设物体A到两镜的距离为L1，L2。下面我们要解决的问题是：以镜右边的象为研究对象， 求出人眼能看到的虚象的范围，即求出虚象的边界光线。 求出各个虚象到镜和镜的距离。现在先来解决第一个问题，求出各个虚象到镜和镜的距离。由平面镜的对称性，容易求得前面几个虚象关于镜和镜的距离。对虚象A1:到镜的距离L1= L1+2L2 到镜的距离L1= L2 对虚象A2: 到镜的距离L2=3 L1+2L2 到镜的距离L2=2 L1+L2 对虚象A3: 到镜的距离L3=5 L1+4L2 到镜的距离L3=4 L1+3L2 对虚象A4: 到镜的距离L4=7L1+6L2 到镜的距离L4=6L1+5L2 对虚象An:n=1时, 到镜的距离L1+2L2 ; 到镜的距离L2 n=2时， 到镜的距离Ln=(2n-1) L1+(2n-2) L2 到镜的距离Ln=(2n-2) L1+(2n-3) L2 由以上的规律可知公式 (2n-1)和(2n)，下面用归纳法证明： k=2时，以上公式成立 当n=k,有Lk=(2k-1) L1+(2k-2) L2Lk=(2k-2) L1+(2k-3) L2 证n=k+1时，要证Lk+1= 2(k+1)-1 L1+2(k+1)-2 L2Lk+1 2(k+1)-2 L1+2(k+1)-3 L2即证Lk+1=（2k+1）L1+2k L2Lk+1= 2kL1+（2k-1） L2对于虚象Ak，它关于镜成另一虚象AX(x 表示镜左边第x个象，但xk)，而虚象AX到镜的距离，即AX到镜的距离，到即到+ L1+L2，可表示为Ak： SX=(2k-1) L1+(2k-2) L2 SX= (2k-1) L1+(2k-2) L2 +L1+L2 化得：SX=(2k-1) L1+2（k-1）L2 SX=2kL1+2(k-1) L2而虚象AX又关于镜成另一镜像Ak+1，Ak+1到镜的距离即是AX到镜的距离，到即到 的加上L1+L2，可表示如下：Ak+1： Lk+1= 2k L1+(2k-1) L2 +L1+L2 Lk+1=2kL1+2(k-1) L2 化得：Lk+1=(2k+1) L1+2kL2 Lk+1=2kL1+2(k-1) L2故得证，所以，An到，的距离为：An： Ln=(2n-1) L1+2（n-1）L2 Ln=2(n-1) L1+(2n-3)L2 (n2)下面解决第二个问题：同样以镜右边的象为研究对象，因为只要知道镜右边虚象的特性，根据对称性，可知镜左边虚象的特性。对于第一个虚象A1,容易求出其关于人眼可见范围的边界光线，如图1-3所示，可以此边界光线是由A1发出，射向边界范围的两端点，但因为A1是虚象，此两条光线并不是由它发出，而是实物A发出，并通过镜发射得到的，并且A1所发出光线与的交点，即反射点，因此，我们可以画出此光路图，如图1-3。对于虚象A2，它是由虚象A1关于镜所得到的。它到人眼可见范围的光线同样可看作由A2发射向此范围的两个端点，与镜的交点设为A,B,实际上可把此两条光线看作由A1发出的两条光线（与镜交点为A1,B1）经过镜反射得到的，并且反射点为A,B,而由A1发出的两条光线可看作由实物A发出的经镜反射形成的两条光线，并且反射点为A1,B1，因此，我们可以画出光路图，如图1-3。同理，对于虚象An，则光线将在镜与镜间来回反射n次，最后射入人眼，若n=2k-1(k=0,1,2)，则光线最初由实物A出发，射向镜，若n=2k(k=1,2,)，则光线最后亦射入人眼里。通过以上方法，就可从理论上求得形成任何一虚象的边界光线的光路图，人眼只要在边界光线的左边，即可看到此虚象。附加资料：半透半反镜：半透半反镜，又叫分束镜或分光镜，利用光的偏振原理制成的一种特殊的光学仪器，由于光照在镜面上，一部分发生折射，透过镜面，另一部分发生反射，因此，在此镜面，此镜相当于一面普通的反射镜，可以形成物体的象，而在镜子背面，可以看到镜子前面的物体。半透镜可由基底材料 UV级熔凝石英、K9玻璃等制成，同时还需镀膜，比如电子束淀积多层介质膜，除此，分光镜的参数还有：面型，光洁度，倒角，通光孔