2018年高考真题——理科数学(全国卷Ⅰ)+Word版含解析

1 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标 卷 理理科科数数学学 注注意意事事项项 1 答题前 先将自己的姓名 准考证号填写在试题卷和答题卡上 并将准考证号 条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2 选择题的作答 每小题选出答案后 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 3 非选择题的作答 用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内 写在试题卷 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 4 考试结束后 请将本试题卷和答题卡一并上交 一 选择题 本题共一 选择题 本题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一分 在每小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的 项是符合题目要求的 1 设 1 2 1 i zi i 则z A 0B 1 2 C 1D 2 2 已知集合 2 20Ax xx 则A R A 12xx B 12xx C 1 2x xx x D 1 2x xx x 3 某地区经过一年的新农村建设 农村的经济收入增加了一倍 实现翻番 为更好地了解 该地区农村的经济收入变化情况 统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比 例 得到如下饼图 2 则下面结论中不正确的是 A 新农村建设后 种植收入减少 B 新农村建设后 其他收入增加了一倍以上 C 新农村建设后 养殖收入增加了一倍 D 新农村建设后 养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4 记 n S为等差数列 n a的前n项和 若 324 3SSS 1 2a 则 3 a A 12 B 10 C 10D 12 5 设函数 32 1f xxaxax 若 f x为奇函数 则曲线 yf x 在点 00 处的切 线方程为 A 2yx B yx C 2yx D yx 6 在ABC 中 AD为BC边上的中线 E为AD的中点 则EB A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 7 某圆柱的高为 2 底面周长为 16 其三视图如右图所示 圆柱表面上的点 M在正视图上的对应点为A 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B 则在此圆柱侧面上 从M到N的路径中 最短路径的长度为 A 2 17B 2 5C 3 D 2 8 设抛物线 2 4Cyx 的焦点为F 过点 20 且斜率为 2 3 的直线与C交于M N两点 则FM FN A 5B 6C 7D 8 9 已知函数 0 ln0 x ex f x xx g xf xxa 若 g x存在 2 个零点 则a的取值 范围是 A 10 B 0 C 1 D 1 3 10 下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形 此图由三个半圆构成 三个半圆 的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC 直角边AB AC ABC 的三边所围成的区域 记为 黑色部分记为 其余部分记为 在整个图形中随机取一点 此点取自 的概率分别记为 1 p 2 p 3 p 则 A 12 pp B 13 pp C 23 pp D 123 ppp 11 已知双曲线 2 2 1 3 x Cy O为坐标原点 F为C的右焦点 过F的直线与C的两条 渐近线的交点分别为M N 若OMN 为直角三角形 则MN A 3 2 B 3C 2 3D 4 12 已知正方体的棱长为 1 每条棱所在直线与平面 所成的角都相等 则 截此正方体所 得截面面积的最大值为 A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 二 填空题 本题共二 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 分 13 若xy 满足约束条件 220 10 0 xy xy y 则32zxy 的最大值为 14 记 n S为数列 n a的前n项和 若21 nn Sa 则 6 S 15 从 2 位女生 4 位男生中选 3 人参加科技比赛 且至少有 1 位女生入选 则不同的选法 共有 种 用数字填写答案 16 已知函数 2sinsin2f xxx 则 f x的最小值是 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第每个试题考生都必须作答 第 22 23 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 共 一 必考题 共 60 分 分 17 12 分 4 在平面四边形ABCD中 90ADC 45A 2AB 5BD 求cosADB 若2 2DC 求BC 18 12 分 如图 四边形ABCD为正方形 E F分别为AD BC的中点 以 DF为折痕把DFC 折起 使点C到达点P的位置 且PFBF 证明 平面PEF 平面ABFD 求DP与平面ABFD所成角的正弦值 19 12 分 设椭圆 2 2 1 2 x Cy 的右焦点为F 过F的直线l与C交于A B两点 点M的坐标为 20 当l与x轴垂直时 求直线AM的方程 5 设O为坐标原点 证明 OMAOMB 20 12 分 某工厂的某种产品成箱包装 每箱 200 件 每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验 如 检验出不合格品 则更换为合格品 检验时 先从这箱产品中任取 20 件作检验 再根据检 验结果决定是否对余下的所有产品作检验 设每件产品为不合格品的概率都为 01pp 且各件产品是否为不合格品相互独立 记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 fp 求 fp的最大值点 0 p 现对一箱产品检验了 20 件 结果恰有 2 件不合格品 以 中确定的 0 p作为p的值 已知 每件产品的检验费用为 2 元 若有不合格品进入用户手中 则工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用 i 若不对该箱余下的产品作检验 这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X 求EX ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据 是否该对这箱余下的所有产品作检验 6 21 12 分 已知函数 1 lnf xxax x 讨论 f x的单调性 若 f x存在两个极值点 1 x 2 x 证明 12 12 2 f xf x a xx 7 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第 一题计分 一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 10 分 在直角坐标系xOy中 曲线 1 C的方程为2yk x 以坐标原点为极点 x轴正半轴为极轴 建立极坐标系 曲线 2 C的极坐标方程为 2 2 cos30 求 2 C的直角坐标方程 若 1 C与 2 C有且仅有三个公共点 求 1 C的方程 8 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 已知 11f xxax 当1a 时 求不等式 1f x 的解集 若 01x 时不等式 f xx 成立 求a的取值范围 9 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 新课标 卷 理理 数数 答答 案案 一 选择题 1 答案 C 解答 1 2 1 i zii i 1z 选 C 2 答案 B 解答 2Ax x 或 1 x 则 12 R C Axx 3 答案 A 解答 假设建设前收入为a 则建设后收入为2a 所以种植收入在新农村建设前为60 a 新农村建设后为37 2a 其他收入在新农村建设前为4 a 新农村建设后 为5 2a 养殖收入在新农村建设前为30 a 新农村建设后为30 2a 故不正确的是 A 4 答案 B 解答 111111 3 24 3 3 3 249967320 22 adadadadadad 6203dd 51 424 3 10aad 5 答案 D 解答 f x 为奇函数 fxf x 即 1a 3 f xxx 0 1f 切线方程为 yx 选 D 6 答案 A 解答 10 11 131 22 244 EBABAEABADABABACABAC 7 答案 B 解答 三视图还原几何体为一圆柱 如图 将侧面展开 最短路径为 M N 连线的距离 所以 22 422 5MN 所以选 B 8 答案 D 解答 由题意知直线MN的方程为 2 2 3 yx 设 1122 M x yN xy 与抛物线方程联 立有 2 2 2 3 4 yx yx 可得 1 1 1 2 x y 或 2 2 4 4 x y 0 2 3 4 FMFN 0 32 48FM FN 9 答案 C 解答 g xf xxa 存在2个零点 即 yf x 与yxa 有两个交点 xf 的 图象如下 要使得 yxa 与 xf 有两个交点 则有 1a 即 1a 选 C 10 答案 A 11 解答 取 2ABAC 则 2 2BC 区域 的面积为 1 1 2 22 2 S 区域 的面积为 2 3 1 2 22 2 S 区域 的面积为 2 23 12SS 故 12 pp 11 答案 B 解答 渐近线方程为 2 2 0 3 x y 即 3 3 yx OMN 为直角三角形 假设 2 ONM 如图 3 NM k 直线MN方程为 3 2 yx 联立 3 3 3 2 yx yx 33 22 N 即 3ON 3 MON 3MN 故选 B 12 答案 A 解答 由于截面与每条棱所成的角都相等 所以平面 中存在平面与平面 11 AB D 平行 如图 而在与平面 11 AB D 平行的所有平面中 面积最大的为由各棱的中点构成 的截面EFGHMN 而平面EFGHMN的面积 12233 3 6 22224 S 12 二 填空题 13 答案 6 解答 画出可行域如图所示 可知目标函数过点 2 0 时取得最大值 max 3 2206z 14 答案 63 解答 依题意 11 21 21 nn nn Sa Sa 作差得 1 2 nn aa 所以 n a 为公比为2的等比数列 又 因为 111 21aSa 所以 1 1a 所以 1 2n n a 所以 6 6 1 12 63 12 S 15 答案 16 解答 13 恰有1位女生 有 12 24 12C C 种 恰有2位女生 有 21 24 4C C 种 不同的选法共有12 416 种 16 答案 3 3 2 解答 2sinsin2f xxx f x 最小正周期为 2T 2 2 coscos2 2 2coscos1 fxxxxx 令 0fx 即 2 2coscos10 xx 1 cos 2 x 或cos 1x 当 1 cos 2 为函数的极小值点 即 3 x 或 5 3 x 当cos 1 x x 53 3 32 f 3 3 32 f 0 2 0ff 0f f x 最小值为 3 3 2 三 解答题 17 答案 1 23 5 2 5 解答 14 1 在 ABD 中 由正弦定理得 52 sin45sinADB 2 sin 5 ADB 90ADB 2 23 cos1 sin 5 ADBADB 2 2 ADBBDC coscos sin 2 BDCADBADB coscos sin 2 BDCADBADB 222 cos 2 DCBDBC BDC BD DC 2 2825 52 5 2 2 BC 5BC 18 答案 1 略 2 3 4 解答 1 E F 分别为 AD BC 的中点 则 EFAB EFBF 15 又PF BF EF PFF BF 平面PEF BE 平面ABFD 平面PEF 平面ABFD 2 PF BF BFED PFED 又PF PD ED DPD PF 平面PED PF PE 设 4AB 则 4EF 2PF 2 3PE 过P作PH EF 交EF于H点 由平面PEF 平面ABFD PH 平面ABFD 连结DH 则 PDH 即为直线DP与平面ABFD所成的角 由PE PF EF PH 2 3 2 3 4 PH 而 4PD 3 sin 4 PH PDH PD DP与平面ABFD所成角的正弦值 3 4 19 答案 1 2 2 2 yx 2 略 解答 1 如图所示 将 1x 代入椭圆方程得 2 1 1 2 y 得 2 2 y 2 1 2 A 2 2 AM k 直线AM的方程为 2 2 2 yx 2 证明 当l斜率不存在时 由 1 可知 结论成立 当l斜率存在时 设其 16 方程为 1 yk x 1122 A x yB xy 联立椭圆方程有 2 2 1 1 2 yk x x y 即 2222 21 4220kxk xk 2 12 2 4 21 k xx k 2 12 2 22 21 k x x k 121212 1212 23 4 22 2 2 AMBM yykx xxx kk xxxx 22 22 12 4412 4 2121 0 2 2 kk k kk xx AMBM kk OMAOMB 20 答案 略 解答 1 由题可知 2218 20 1 f pC pp 0 1p 218217217 2020 2 1 18 1 1 2 1 1 10 f pCppppC ppp 当 1 0 10 p 时 0fp 即 f p 在 1 0 10 上递增 当 1 1 10 p 时 0fp 即 f p 在 1 1 10 上递减 f p 在点 1 10 p 处取得最大值 即 0 1 10 p 2 i 设余下产品中不合格品数量为Y 则 4025XY 由题可知 1 180 10 YB 1 18018 10 EYnp 4025 40254025 18490EXEYEY 元 ii 由 i 可知一箱产品若全部检验只需花费400元 若余下的不检验则要 490元 所以应该对余下的产品作检验 21 答案 1 见解析 2 见解析 解答 17 1 1 lnf xxax x 2 2 1 xax fx x 当 22a 时 0 0fx 此时 f x 在 0 上为单调递增 0 即 2a 或 2a 此时方程 2 10 xax 两根为 22 12 44 22 aaaa xx 当 2a 时 此时两根均为负 fx 在 0 上单调递减 当 2a 时 0 此时 f x 在 2 4 0 2 aa 上单调递减 f x 在 22 44 22 aaaa 上单调递增 f x 在 2 4 2 aa 上单调递 减 综上可得 2a 时 f x 在 0 上单调递减 2a 时 f x 在 2 4 0 2 aa 2 4 2 aa 上单调递减 f x 在 22 44 22 aaaa 上单调递增 2 由 1 可得 2 10 xax 两根 12 x x 得 2a 1212 1xxa xx 令 12 0 xx 1 2 1 x x 121122 12 11 ln ln f xf xxaxxax xx 2112 2 lnln xxaxx 1212 1212