2019-2020学年高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课件 新人教A版选修1-1

3 3 2函数的极值与导数 1 极值与极值点若函数f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧f x 0 右侧f x 0 类似地 f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 我们把a点叫作函数的 f a 叫作函数的 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 b点叫作函数的 f b 叫作函数的 极小值点 极大值点统称为 极大值和极小值统称为 极值反映了函数在某 的大小情况 刻画的是函数的 性质 极大值点 极大值 极值点 极值 一点附近 局部 2 求函数f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧 那么f x0 是 3 如果f x 在点x0的左右两侧符号不变 则f x0 f x 0 极大值 f x 0 极小值 不是极值 2 已知函数y x3 3x 2 则 a y无极小值 也无极大值b y有极小值0 但无极大值c y有极小值0 极大值4d y有极大值4 但无极小值 答案 c 3 函数y ax3 bx在x 1处有极值 2 则a b的值分别为 a 1 3b 1 3c 1 3d 1 3 答案 a4 函数y x3 6x a的极大值为 极小值为 解题探究 按照求极值的基本方法求出定义域内所有可能的极值点 再按照极值的定义判断在这些点处是否取得极值 求函数的极值 当x变化时 f x f x 变化情况如下表 8设f x 在x0处连续且f x0 0 判别f x0 是极大 小 值的方法是 1 若在x0两侧f x 符号相同 则x0不是f x 的极值点 2 若在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 是极大值 3 若在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 则f x0 是极小值 1 求函数f x x4 x3的极值 例2 已知函数f x x3 3ax2 2bx在点x 1处有极小值为 1 试确定a b的值 并求f x 的单调区间 解题探究 利用 可导函数f x 在x x0处取得极值 则f x0 0 求解 函数极值的应用 8已知函数极值 确定函数解析式中的参数时要注意 1 根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件 所以利用待定系数法求解后必须验证充分性 2 已知函数f x x5 ax3 bx 1 当且仅当x 1或x 1时取得极值且极大值比极小值大4 1 求a b的值 2 求f x 的极大值和极小值 解析 1 f x x5 ax3 bx 1的定义域为r f x 5x4 3ax2 b 当x 1时有极值 5 3a b 0 f 1 a b 2 f 1 a b 极大值比极小值大4 a b 2 a b 4或 a b 2 a b 4 即a b 1或a b 3 利用极值研究方程根的问题 8对于该题中的恒成立问题 一方面可以构造函数 通过判别式确定m的最大值 另一方面可以通过求f x 的最小值来确定m的最大值 方程有零点可以通过导数将函数的大致图象画出来 根据图象求得参数的取值范围 示例 若f x x3 ax2 bx a2在x 1时有极值10 求a b的值 导数为零时不一定有极值 错因分析 可导函数在一点的导数值为0是函数在这一点取得极值的必要条件 而非充分条件 本题忽略了对所得两组解进行检验 从而出现了错误 1 利用导数求函数极值的主要步骤 求f x 解方程f x 0 判断f x 在各根左右两侧的符号 进一步确定函数的极值 如果在点x0两侧的单调性相反 则x0为极值点 否则它不是极值点 2 可导函数的极值点一定是导数为零的点 导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是该点两侧的导数异号 3 一般地 列表分析x y y的变化情况是求极值的有效方法 也可画出导函数图象判断极值情况 1 若函数f x x3 ax2 3x 9在x 1时取得极值 则a等于 a 1b 2c 3d 4 答案 c 解析 f x 3x2 2ax 3 f x 在x 1时取得极值 f 1 6 2a 0 解得a 3 故选c 2 2018年辽宁沈阳一模 设函数f x xex 1 则 a x 1为f x 的极大值点b x 1为f x 的极小值点c x 1为f x 的极大值点d x 1为f x 的极小值点 答案 d 解析 由于f x xex 1 可得f x x 1 ex 令f x x 1 ex 0可得x 1 即函数在 1 上是增函数 令f x x 1 ex 0可得x 1 即函数在 1 上是减函数 所以x 1为f x 的极小值点 故选d 3 已知函数f x 的定义域为 a b 导函数f x 在 a b 上的图象如图所示 则函数f x 在 a b 上的极大值点的个数为 a 1b 2c 3d 4 答案 b 解析 由函数极值的定义和导函数的图象可知f x 在 a b 上与x轴的交点个数为4 但是在原点附近的导数值恒大于零 故x 0不是函数f x 的极值点 其余3个交点都是极值点 其中有2个点满足其附近的导数值左正右负 故极大值点有2个 4 已知x 2是函数f x x3 3ax 2的极小值点 那么函数f x 的极大值为 答案 18 解析 x 2是f x x3 3ax