大纲高三数学全程复习方略：第十五章复数

第十五章 复数基础自测1.（2008浙江理，1）已知a是实数，是纯虚数，则a等于 （ ） A.1 B.-1 C. D.-答案A2.设复数z=a+bi(a,bR)，则z为纯虚数的必要不充分条件是 （ ）A.a=0 B.a=0且b0 C.a0且b=0 D.a0且b0答案A3.满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是 （ ）A.一条直线 B.两条直线C.圆 D.椭圆答案C4.（2008辽宁理，4）复数的虚部是 （ ）A.i B. C.-i D.-答案B5.（2009广西河池市模拟）复数的共轭复数是 .答案 -3+i例1 已知复数z=+(a2-5a-6)i(aR),试求实数a分别取什么值时，z分别为：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数.解 （1）当z为实数时，则有有意义，a=6，即a=6时，z为实数.（2）当z为虚数时，则有a2-5a-60且有意义，a-1且a6且a1.a1且a6.当a(-,-1)(-1,1)(1,6)(6,+)时，z为虚数.（3）当z为纯虚数时，有不存在实数a使z为纯虚数.例2 已知x,y为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i，求x,y.解 设x=a+bi(a,bR)，则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,代入原式，得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,根据复数相等得解得或或或故所求复数为或或或例3 计算：（1）; (2);（3）;(4).解（1）=-1-3i.（2）（3）（4）例4 (12分)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3+2i,-2+4i，试求：（1）表示的复数，所表示的复数；（2）对角线所表示的复数;（3）求B点对应的复数.解（1）=-，所表示的复数为-3-2i.=，所表示的复数为-3-2i. 4分（2）=，所表示的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. 8分（3）=表示的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i,即B点对应的复数为1+6i. 12分1.已知mR，复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时，（1）zR；（2）z是纯虚数；（3）z对应的点位于复平面第二象限；（4）z对应的点在直线x+y+3=0上.解 （1）当z为实数时,则有m2+2m-3=0且m-10得m=-3,故当m=-3时，zR.（2）当z为纯虚数时,则有解得m=0，或m=2.当m=0或m=2时，z为纯虚数.（3）当z对应的点位于复平面第二象限时,则有解得m-3或1m2，故当m-3或1m2时，z对应的点位于复平面的第二象限.（4）当z对应的点在直线x+y+3=0上时,则有+(m2+2m-3)+3=0,得=0，解得m=0或m=-1.当m=0或m=-1时， z对应的点在直线x+y+3=0上.2.已知复数z1=m+(4-m2)i(mR),z2=2cos +(+3sin)i (R).若z1=z2,求的取值范围.解 z1=z2,m+(4-m2)i=2cos+(+3sin)i,由复数相等的条件，得=4-m2-3sin=4-4cos2-3sin=4sin2-3sin=4 (sin-)2-,-1sin1,当sin=时，min=-;当sin=-1时，max=7,-7.3.计算下列各题（1）（2）解 （1）= （2） =i+()1 003=i+i1 003=i+i4250+3=i+i3=i-i=0.4.已知关于x的方程x2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）有实数根b.（1）求实数a，b的值；（2）若复数z满足|-a-bi|-2|z|=0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.解（1）b是方程x2-（6+i）x+9+ai=0 （aR）的实根，（b2-6b+9）+（a-b）i=0，故解得a=b=3.（2）设z=x+yi（x，yR），由|-3-3i|=2|z|，得（x-3）2+(y+3)2=4（x2+y2），即（x+1）2+（y-1）2=8.Z点的轨迹是以O1（-1，1）为圆心，2为半径的圆.如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值.|OO1|=，半径r=2，当z=1-i时，|z|有最小值且|z|min=.一、选择题1.（2008天津理，1）i是虚数单位，等于 （ ） A.-1 B.1 C.-i D.i答案A2.（2008广东文，2）已知0a2，复数z=a+i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 ( )A.（1，5） B.（1，3） C.（1，） D.（1，）答案C3.（2008山东文，2）设z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则等于 （ ） A.i B.-i C.1 D.i答案D4.若(a-2i)i=b-i，其中a、bR,i是虚数单位，则a2+b2等于 （ ） A.0 B.2 C.5 D.答案C5.在复平面上，若一个正方形的三个顶点对应的复数分别是1+2i,-2+i，0，则第四个顶点对应的复数为（ ）A.3+i B.3-i C.1-3i D.-1+3i答案D6.（2009河南新郑二中模拟）设复数z1=1+i,z2=x-i(xR),若z1z2为实数，则x等于 （ ） A.-2 B.-1 C.1 D.2答案C二、填空题7.（2008北京理，9）已知（a-i）2=2i,其中i是虚数单位，那么实数a= .答案 -18. (2008湖北理，11)设z1是复数，z2=z1-i（其中表示z1的共轭复数），已知z2的实部是-1，则z2的虚部为 .答案 1三、解答题9.已知z2=8+6i,求z3-16z-.解 原式=|z|2=|z2|=|8+6i|=10,又由z2=8+6i=（3+i)2,z=(3+i),当z=3+i时，原式=-60+20i;当z=-3-i时，原式=60-20i.10.已知z是复数，z+2i、均为实数（i为虚数单位），且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.解 设z=x+yi(x、yR),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2.(x-4)i.由题意得x=4,z=4-2i.(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由于(z+ai)2在复平面对应的点在第一象限,所以解得2a6,实数a的取值范围是（2，6）.11.是否存在复数z，使其满足z+2i=3+ai(aR),如果存在，求出z的值；如果不存在，说明理由.解 设z=x+yi(x,yR)，则x2+y2+2i(x-yi)=3+ai.消去x得y2+2y+-3=0,=16-a2.当且仅当|a|4时，复数z存在，此时z=12.设zC，求满足z+R且|z-2|=2的复数z.解 方法一 设z=a+bi(a,bR),则z+=a+bi+=a+bi+R.b=b=0或a2+b2=1.当b=0时,z=a,|a-2|=2,a=0或a=4.a=0不合题意舍去,z=4.当b0时,a2+b2=1. 又|z-2|=2,(a-2)2+b2=4. 由解得a=,b=,z=i.综上可知,z=4或z=i.方法二 z+R,z+=,(z-)-=0,(z-)=0,z=或|z|=1.下同方法一.章末检测十五一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.（2008海南文，3）已知复数z=1-i,则等于 （ ） A.2 B.-2 C.2i D.-2i答案A2.（2008江西理，1）在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案D3.已知复数z=t+i(tR+),且z满足z3R,则实数t的值为 （ ） A. B. C. D. 答案B4.设zC,z=(1-i)2+,则(1+z)7展开形式的第5项是 （ ）A.35i B.-21i C.21 D.35答案D5.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0 (aR)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于 （ ）A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i答案A6.若复数z满足|z+1|+|z-1|=2,那么|z-1+i|的最大值为 （ ） A.1 B. C.2 D.答案D7.（2008全国理，4）设aR，且（a+i）2i为正实数，则a等于 （ ） A.2 B.1 C.0 D.-1答案D8.（2009杭州质检）若z=i，且(x-z)4=a0x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a2等于 （ ） A.-i B.-3+3i C.6+3i D.-3-3i答案B9.若sin2-1+i(cos+1)是纯虚数，则等于 （ ） A.2k-(kZ) B.2 k+(kZ) C. k+(kZ) D.k+(kZ)答案B10.若(mR)为纯虚数，则2 008的值为 （ ） A.-1 B.1 C.-i D.i答案B11.设复数z1=1-2i,z2=1+i,则复数z=在复平面内对应的点位于 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案C12.在复平面内，设向量p1=(x1,y1),p2=(x2,y2),又设复数z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R),则p1p2等于（ ） A. B. C. D.答案D二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13.（2008上海理，3）若复数z满足z=i（2-z）（i是虚数单位），则z= .答案 1+i14.（2009淮北模拟）若复数z=a-+3i为纯虚数，其中aR,i为虚数单位，则的值为 .答案 -i15.定义运算：=ad-bc,则符合条件=1-i的复数z的值为 .答案 -i16.设z=(1+i)2-（其中i是虚数单位），则(1+z)7展开式中的第4项是 .答案 -35i三、解答题（本大题共6小题，共74分）17.（12分）实数x分别取什么值时，复数z=x2+x-6+(x2-2x-15)i对应的点Z在：（1）第三象限；（2）第四象限；（3）直线x-y-3=0上？解 因为x是实数，所以x2+x-6,x2-2x-15也是实数.（1）当实数x满足即-3x2时，点Z在第三象限.（2）当实数x满足即2x5时，点Z在第四象限.（3）当实数x满足(x2+x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即x=-2时，点Z在直线x-y-3=0上.18.（12分）已知复数z=a+bi(a,bR)且a2+b2=25,(3+4i)z是纯虚数，求z的共轭复数.解 方法一 （3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b)i是纯虚数，b=a,代入a2+b2=25,得a=4.a=4时，b=3;a=-4时，b=-3.z=4+3i或z=-4-3i.故所求的z的共轭复数为4-3i或-4+3i.方法二 设(3+4i)（a+bi）=ki(kR，k0),a+bi=a=,b=,代入a2+b2=25,得k=25.k=25时，z=4+3i,=4-3i;k=-25时，z=-4-3i,=-4+3i.19.（12分）设mR，复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i，若z1+z2是虚数，求m的取值范围.解 z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,z1+z2=+(m-15)i-2+m(m-3)i=（-2）+(m-15)+m(m-3)i=（）+(m2-2m-15)i.z1+z2是虚数，m2-2m-150,且m-2.m5，m-3，且m-2 (mR).20.（12分）设z是虚数,=z+是实数，且-12.（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设u=,求证：u是纯虚数.（1）解 设z=a+bi,a,bR且b0,则=z+=a+bi+=（a+）+（b-）i.是实数，b0,a2+b2=1,即|z|=1, =2a.又-12,故-a1.（2）证明 u=,，,-a1,且b0,u是纯虚数.21.（12分）已知复数z1=2+i，2z2=（1）求z2；（2）若ABC三内角A、B、C依次成等差数列，且u=cosA+2icos2，求|u+z2|的取值范围.解 （1）z2=-i.（2）在ABC中，A、B、C依次成等差数列，2B=A+C，B=60，A+C=120，u+z2=cosA+2icos2-i=cosA+i（2cos2-1）=cosA+icosC.|u+z2|2=cos2A+cos2C=1+（cos2A+cos2C）=1+cos2A+cos（240-2A）=1+cos2A-cos（60-2A）=1+cos2A-（cos60cos2A+sin60sin2A）=1+cos2A-（cos2A+sin2A）=1+（cos2A-sin2A）=1+sin（-2A）.0A,-2A,-sin（-2A），|u+z2|2